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3.2 向量与向量的线性组合,一、向量及线性运算,定义1 n个有次序的数a1, a2, an所组成的数组称为 n维向量，这n个数称为该向量的分量，第i个 数ai称为第i个分量.,n维行向量,记号：常用字母, a, b等表示向量,n维列向量,把列(行)向量写成行(列)向量可用转置记号, 例,可写成 =(b1,b2,bn)T,向量组：若干同维数的列向量（行向量）所组成的集合.,负向量：,向量的减法：,向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算.,向量的运算与矩阵的运算相同.,向量的线性运算与矩阵的运算规律相同，亦满足下面 八条运算规律：,定义4 n维向量的全体所组成的集合,称为实n维向量空间.,例1,二、向量组的线性组合,考察线性方程组,令,则方程组可表示为如下向量形式：,于是，方程组是否有解，就相当于是否存在一组数 k1,k2,kn使得下列线性关系式成立：,证明：线性方程组,有解的充要条件是：其系数矩阵与增广矩阵的秩相等. 即：r(A)=r().,对于行向量有相同结论：设向量,j=1,2n,向量 可由向量组 线性表示的充要条件 为：, 若k，则称向量与成比例, 零向量是任一向量组的线性组合,事实上，有, 向量组中每一向量都可由该向量组线性表示,例 判断向量 与 是否各为 向量组 的线性组合.若是， 写出其表达式.,向量组 中任一向量 均为此向量组的线性组合,三、向量组间的线性表示,定义 设有两向量组,若向量B中的每一个向量都能由向量组A线性表示，则 称向量组B能由向量组A线性表示. 若向量组A与向量 组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价.,若向量组B能由向量组A线性表示，则存在,使得下式成立：,故,线性表示的系数矩阵,即：设有向量组 若向量组B能由向量组A线性表示的充分必要 条件为存在 s行t列矩阵P使得,定理 若向量组A可由向量组B线性表示，向量组B可由 向量组C线性表示，则向量组A可由向量组C线性 表示.,向量组等价的性质：,(1)自反性 任一向量与自身等价.,(2)对称性 若向量组(A)与(B)等价，则向量组(B)与(A)等价.,(3)传递性 若向量组(A)与(B)等价，向量组(B)与(C)等价， 则向量组(A)与(C)等价
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