《数值微积分》PPT课件.ppt

通知,数值分析上机考试时间改为 2010年1月6日(第18周周三)上午10:05-11:05 共60分钟 在图文信息中心3号机房,引子,定积分计算：用原函数(不定积分) 无法找到原函数F(x) 怎么办？,第五章 数值微积分,5.1 数值积分公式 5.2 数值积分的余项 5.3 复化求积法与步长的选取 5.4 数值微分法,5.1 数值积分公式,机械求积 Newton-Cotes公式 代数精度 Gauss求积公式,1. 机械求积,原理：定积分曲边梯形的面积 理论基础：积分中值定理 f( )=?,矩形公式与梯形公式,左矩形 右矩形 中矩形 梯形,机械求积一般公式,问题 适当取求积节点 和求积系数 A0, , An，计算函数值 f(x0), f(xn), 近似解 误差 T(f ) - Q(f ),2. Newton-Cotes公式,插值型求积公式: P(x)是f(x)的一个插值函数(linear, Lagrange, Hermite, spline等) Newton-Cotes公式: 采用等距节点Lagrange插值,低阶Newton-Cotes公式,梯形公式 (n=1) Simpson公式 (n=2) Cotes公式 (n=4) 数值稳定性: n8时，Cotes系数非负,3 代数精度,定义： 若机械求积公式 对所有幂函数f(x)=1,x,x2xm准确，则称它具有m次代数精度。 性质：若具有m次代数精度， 则对所有次数不超过m次的多项式准确。 代数精度：梯形公式 (n=1)1次， Simpson公式 (n=2)3次，Cotes公式 (n=4)5次。 n为奇数时，n阶Newton-Cotes公式的代数精度为n； n为偶数时，n阶Newton-Cotes公式的代数精度为n+1。,用代数精度构造插值公式,例题 求A1, A2及x2，使求积公式 代数精度尽量高 解： 得 A1=1/4, A2 =3/4，x2 =2/3,4 Gauss求积公式,考虑将节点也视为待定参数，此时机械求积公式 的待定参数达2n+2个，从而可期望代数精度达到2n+1，称此类高精度的求积公式为Gauss公式，而对应节点称为Gauss点。 一点Gauss (n=0) (中矩形公式) -1,1上的两点Gauss公式,-1,1上的Gauss点,n次Legendre多项式 定理5.1 -1,1上n阶Gauss点恰为n次Legendre多项式的根。,一般区间a,b上的积分,变换到-1,1 一般区间a,b上的两点Gauss公式,5.2数值积分的余项,引理5. 1 （积分中值定理）若f(x), g(x)均在a,b上连续且不变号,则存在a,b 使 左矩形公式余项(证明: 用Taylor公式) 中矩形公式余项(证明: 用Taylor公式),低阶情形,梯形公式余项(证明: 用积分中值定理) Simpson公式余项(证明: 用积分中值定理+Hermite插值),一般情况,Newton-Cotes系列公式余项 Gauss系列公式余项,5.3 复化求积法与步长的选取,复化求积原理 定步长梯形法,2阶收敛性,定步长Simpson法 P119 例5.13(Simpson法精度高),4阶收敛性,变步长梯形法,递推关系 逐级计算而在增加新节点时, 不浪费原先的计算量, 并且可由|T2n(f) Tn(f)| 控制计算精度。,xi-1,xi,xi-1/2,Romberg公式,由|R2n(f) Rn(f)| 控制计算精度, j i= 1,2,由|Tii (f) Ti- 1 i-1 (f)| 控制计算精度.,自适应步长法,根据被积函数的陡缓自动选择局部步长 考虑某区间ak,bk, 记hk= bk ak, 从a, b开始按=|0.1(S2-S1)| 检查精度，若满足精度则以S2为计算结果，否则分成两个小区间各自重复逐步上述过程，每个小区间精度用/2。这样重复下去，直至每个分段部分达到相应精度（步长为h=(b-a)/2k时精度/2k） 不同段的步长可能是不一样的，积分结果为每一小段积分的总和。,例5 .15,这里共使用了6个区间，调用函数13次，如果用等步长Simpson法达到该精度，需要调用函数17次。主要原因是自适应步长利用了函数的陡缓自动选择局部步长，变化快的地