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文档简介

设,，,一. 利用法向量求二面角的大小的原理:,基本结论 构成二面角的两个平面的法向量的 夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角,图1,图2,，,一. 利用法向量求二面角的大小的原理:,图1,图2,约定，图1中，,的方向对平面而言向内.,的方向对平面而言向内.,的方向对平面而言向内.,的方向对平面而言向外.,图2,二. 如何求平面的一个法向量:,1、定义：如果表示向量,平面的法向量共有两大类（从方向上分）， 无数条。,这时向量,叫做平面的法向量.,的有向线段所在的,直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,记作,个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定,可按如下步骤求出平面的法向量的坐标.,第二步(列):根据,可列出方程组,第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特,的坐标.,且,第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.,殊越好),便得到平面法向量,例题1: 如图3，在正方体ABCD-A1B1C1D1中,G、E、F分别为AA1、AB、BC的中点，求平,面GEF的法向量。,以D为原点建立右手空间直角坐标系，如图所示，,解：,则,不妨设正方体的棱长为一个单位长度,由此得,设平面的法向量为,令y=1,取平面的一个法向量为,注：因为平面的法向量有无数个，方向可上，可下，,模可大可小，我们只要求出平面的某个法向量即可.,例题4. 在长方体ABCDA1B1C1D1中， AB=2，BC=4，AA1=2,点Q是BC的中点， 求此时二面角AA1DQ的大小,解 ： 如图2，建立空间直角坐标系 依题意：A1（0，0，2），Q（2，2，0）， D（0，4，0），,2,4,2,面AA1D的法向量,设面A1DQ的法向量为,则,令a1=1，,则,二面角的平面角为锐角,二面角AA1DQ的大小为,例5 如图5，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD 中，AD/BC，ABC=900，SA面ABCD，,AB=BC=1，,求侧面SCD与面SBA所成的二面角的大小。,解： 以A为原点如图建立空间直角坐标系，,则,1,1,显然平面SBA的一个法向量为,设平面SCD的一个法向量为,则,则,根据题意知，侧面SCD与面SBA所成的 二面角的大小的大小为,评析：因为所求的二面角的交线在图中较难 作出，所以用传统的方法求二面角比较困难，向 量法在这里就体现出它特有的优势,A,D,C,B,S,图5,E,解：延长BA，CD 交于E，则面SCD面SBA=SE.,1,1,1,易求得,F,过A作AFSE于F，连结DF,则DF SE.,A,D,C,B,S,图5,E,1,1,1,F,DFA即为侧面SC
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