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文档简介

Chapter 2(9),多元函数的极值及应用,教学要求：,1. 理解多元函数极值和条件极值的概念;,3. 会求二元函数的极值, 会用拉格朗日乘数法求条件极值;,2. 掌握多元函数极值存在的必要条件, 了解二元函数极值存在的充分条件;,4. 会求简单多元函数的最大值和最小值, 并会解决一些简单的应用问题.,1.二元函数极值的定义,极大值与极小值统称为极值.,若引进点函数, 则,(1),(2),(3),2.极值存在的必要条件和充分条件,定理1（极值存在的必要条件）,Proof.,注意:,(4)驻点,极值点（可偏导函数）,定理2（极值存在的充分条件）,Solution.,(1) 闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值:,将函数 f (x,y) 在D内的所有驻点处的函数值与在D 的边界上的函数值相互比较，其中最大的就是最 大值，最小的就是最小值.,(2) 实际问题则根据问题的实际意义来判断, 若问题 存在最值，且只有唯一一个驻点，则该驻点必为 所求的最值点.,Solution.,ex3. 把一个正数a表为三个正数之和，使其乘积最大， 求这三个数.,Solution.,1. 条件极值,自变量除了受其定义域限制外还有别的条件限制， 这种情况下的极值称为条件极值.,相应地，前面讨论的极值称为无条件极值.,条件极值与无条件极值的区别和联系，例如,Solution.,(1) 显然函数在（0，0）点处取得极小值.,可见，两种极值不同，但条件极值可转化为无条件 极值来求，,称为“降元法”；,并非所有条件极值都能用“降元法”解，,为此必须介绍新的方法.,2. 拉格朗日乘数法,说明F(x, y,)的可能极值点为上述方程组确定的(x, y).,注意:,(1) 拉格朗日乘数法:,解出(x,y)即为可能极值点.,判断是否为极值点通 常由实际问题来定.,解出(x,y,z)即为
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