弹性力学第四章.ppt

复习,典型轴对称问题解法：,（1）圆环或圆筒受均布压力,边界条件：,位移单值条件,B=0,（2）压力隧洞,rrR,Rr,六个条件,位移单值条件,光滑接触,边界条件,工程结构中常开设孔口，最简单的为圆孔。,本节研究小孔口问题，应符合:,（1）孔口尺寸弹性体尺寸，,故孔口引起的应力扰动局限于小范围内。,（2）孔边距边界较远（1.5倍孔口尺寸）,孔口与边界不相互干扰。,48 圆孔的孔口应力集中,当弹性体开孔时，在小孔口附近，将发生应力集中现象。,1.带小圆孔的矩形板，四边受均布拉力q，图(a)。,将外边界改造成为圆边界，作圆 则圆边界上点的应力与无孔时相同，即A的直角坐标应力：,由直角坐标到极坐标的转换公式，得A点的极坐标应力,令q1=0, q2= -q，且取 r/R=0有,问题简化为：,2. 左右受q拉，上下受q压,对三角形单元体有,由公式(4-7)，有A点(圆周)的应力(边界条件),应力分量,推测,将函数,带入相容方程,可得：,即：,做Euler变换：,写出特征方程,一实根r对应解的一项：,一对相等的实根r对应解的两项：,一对共轭复根,对应解的两项：,得应力分量：,代入,得应力函数,代入(4-5),求得系数,边界条件：,将A、B、C、D带入式，得:,(418),3. 左右受q1拉，上下受q2拉,特例：单向受拉板（长柱体）令q1=q, q2= 0, 基尔斯（G. Kirsch）解,讨论：,（1）孔边应力，,最大应力 3q ，最小应力-q。,（2) y 轴 上应力，,可见，距孔边1.5D处 ，由于孔口引起的应力扰动5%。,（3） x 轴 上应力，,同样，距孔边1.5D处 ，由于孔口引起的应力扰动5%。,4.小孔口应力集中的特点：,（1）集中性孔口附近应力远处的应力，,孔口附近应力无孔时的应力。,（2）局部性应力集中区域很小，约在距孔边,1.5倍孔径（D）范围内。此区域外的应力扰动，一般5%。,（3）凹角的角点应力高度集中，曲率半径愈小，应力愈大。,因此，工程上应尽量避免接近直角的凹角出现。,如正方孔 的角点，,角点曲率半径,5.一般小孔口问题的分析：,相应于孔中心的应力,附近应力,主应力,任意形状薄板（或长柱）受面力 作用，在距边界较远处有一小孔，只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力,（1）假设无孔，求出结构在孔心处的 、 、 。,（2）求出孔心处主应力,（3）在远处的均匀应力场 作用下，求 出孔口附近的应力。,注：以上近似方法虽然并非严格的力学推导，但实验证实是可行的。,例：在薄板内距边界较远的某一点处，应力分量sx=sy=0, txy=q, 如果该处有一个小圆孔，试求孔边的最大正应力。,解：该点的两个主应力为：,则该问题可转化为：,由4-18式:,孔边只有环向正应力,在薄板内距边界较远的某一点处，应力分量sx=sy=txy=q, 如果该处有一个小圆孔，试求孔边的最大正应力。,解：该点的两个主应力为：,则该问题可转化为：,由基尔斯（G. Kirsch）解答得：,孔边只有环向正应力,4-9 半平面体在边界上受集中力,1. 应力函数和应力,采用半逆解法,如图所示，无限大半平面体，在其边界上受集中力F（实际为沿厚度方向的分布力，单位是N/m，量纲为MT-2）。求其应力和位移。,用量纲分析法，由于F的量纲为MT -2，应力的量纲为L-1MT -2，r为长度量纲, b、 j无量纲，因此应力可能取为F/r乘以j 的某一函数的形式。,代入相容方程：,解得：,由于,不影响应力，可以略去。,所以取：,对应的应力为：,应力边界条件为：,x,b,F,y,显然满足。,x,b,F,y,由圣维南原理，在原点附近应有：应力的合力等于F。,为此如图绕P点作任意小半径r的半圆，则：,由此解得：,应力分量得解答为：,利用极坐标与直角坐标的应力转换式（4-7），可求得,（4-23）,或将其改为直角坐标表示，有,（4-24）,代入物理方程：,当F垂直作用时：,2. 竖直力作用下的位移,再代入几何方程：,(a),(b),(c),积分式（a）得，,(d),将式（d）代入式（b），有,积分上式，得,(e),将式（d）(e) 代入式（c） 得，,(d),(e),(c),要使上式成立，须有：,以上方程求解参见4-5,可解得：,由于问题的对称性，所以有：,可得：,即H=K=0,所以位移解答为：,其中的I无法再由边界条件确定，它实际上代表的是物体的刚体位移。,3. 边界沉陷计算,任意M点的下沉量：,由于常数 I 无法确定，所