分段函数的求导法则.ppt

湘潭大学数学与计算科学学院,1,一、一元函数的情形,二、 多元函数的情形,三、 小结,1.4.5 分段函数的求导法则,湘潭大学数学与计算科学学院,2,在讨论分段函数在分界点处的可导性时，,必须用左右导数的定义来判别.,一、一元函数的情形,2. 利用左右导数的定义来判断.,1. 直接根据导数的定义来判断;,湘潭大学数学与计算科学学院,3,湘潭大学数学与计算科学学院,4,所以,因此,于是,湘潭大学数学与计算科学学院,5,注 求分段函数的导数时， 除了在分界点处的导数用导数定义求之外， 其余点仍按初等函数的求导公式即可求得.,湘潭大学数学与计算科学学院,6,例2,解,湘潭大学数学与计算科学学院,7,例3,解,湘潭大学数学与计算科学学院,8,设,解,又,例4,处的连续性及可导性.,湘潭大学数学与计算科学学院,9,解,例5 设,先去掉绝对值,湘潭大学数学与计算科学学院,10,湘潭大学数学与计算科学学院,11,例6 设函数,试确定a、b的值，使f(x)在点x=1处可导.,解 可导一定连续，,f(x)在x=1处也是连续的.,由,要使f(x)在点x=1处连续，必须有,a+b=1.,湘潭大学数学与计算科学学院,12,又,a+b=1.,要使f(x)在点x=1处可导，必须,即,a=2.,故当a=2, b=-1时, f(x)在点x=1处可导.,湘潭大学数学与计算科学学院,13,解 首先，函数F(x)在点x0必须连续，即,其次，因为函数F(x)在点x0必须有一阶导数，,所以必须满足,湘潭大学数学与计算科学学院,14,最后，因为函数F(x)在点x0必须有二阶导数，所以,因此，要使函数F(x)在点x0有二阶导数，当且仅当,湘潭大学数学与计算科学学院,15,注 (1) 在判断分段函数在分界点处的可导性时， 应从导数的定义出发求增量之比的极限， 依据极限的存在性判断函数的可导性； (2) 当函数在分界点两侧的函数表达式不同时， 应分别求出函数在该点处的左右导数，看其 是否存在并相等，从而决定在该点处的可导性； (3) 对于含参数的分段函数，要确定其中参数的值， 一般可通过分界点的连续性，可导性来确定.,湘潭大学数学与计算科学学院,16,由于求偏导数其实质就是求导数， 因此在讨论多元分段函数在分界点处的可导性时， 跟一元函数的情形完全相同， 可根据偏导数的定义来判别.,二、 多元函数的情形,湘潭大学数学与计算科学学院,17,例 8,解,湘潭大学数学与计算科学学院,18,按定义可知：,湘潭大学数学与计算科学学院,19,注 一元函数有“可导必连续”的性质；,湘潭大学数学与计算科学学院,20,其值随k的不同而变化.,湘潭大学数学与计算科学学院,21,例9,设函数f(x,y)=|x-y|g(x,y)，其中g(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，试讨论g(x,y)满足什么条件，,解 (1) 由定义知,湘潭大学数学与计算科学学院,22,只需 g(0,0) = -g(0,0),故g(0,0)=0,同理可得,只需g(0,0)=0.,故需g(0,0)=0.,湘潭大学数学与计算科学学院,23,在g(0,0)=0条件下，由无穷小的性质知上式成立.,湘潭大学数学与计算科学学院,24,分段函数的求导法则的关键所在：,分界点的求导.,三、小结,湘潭大学数学与计算科学学院,25,思考题：,且,存在, 问怎样,选择,可使下述函数在,处有二阶导数,湘潭大学数学与计算科学学院,26,且,存在, 问怎样,选择,可使下述函数在,处有二阶导数,解 由题设,存在, 因此,1) 利用,在,连续, 即,