2019届高考数学复习三角函数解三角形听课学案理.docx

第三单元 三角函数、解三角形第16讲任意角和弧度制及任意角的三角函数课前双击巩固1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. (2)分类:按旋转方向分为、和零角;按终边位置分为和轴线角.(3)终边相同的角:所有与角终边相同的角,连同角在内,构成的角的集合是S=. 2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.弧度记作rad. (2)公式:角的弧度数的绝对值|=lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算1= rad,1 rad=180蟺弧长公式弧长l=扇形面积公式S=12lr=12|r23.任意角的三角函数(1)定义:设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin =,cos =,tan =yx(x0).(2)几何表示(单位圆中的三角函数线):图3-16-1中的有向线段OM,MP,AT分别称为角的、和.图3-16-1常用结论象限角与轴线角(1)象限角(2)轴线角题组一常识题1.教材改编 终边在射线y=-3x(x0)上的角的集合是.2.教材改编 (1)6730=rad;(2)= .3.教材改编 半径为120 mm的圆上长为144 mm的弧所对圆心角的弧度数是.4.教材改编 若角的终边经过点P(-1,2),则sin -cos +tan =.题组二常错题索引:对角的范围把握不准;由值求角时没有注意角的范围;求三角函数值时没有考虑角的终边所在的象限;求弧长或者扇形面积把角化为弧度数时出错.5.在ABC中,若sin A=22,则A=.6.已知点P(sin -cos ,tan )在第二象限,则在0,2内的取值范围是.7.已知角的终边落在直线y=-3x上,则-=.8.若一扇形的圆心角为72,半径为20 cm,则扇形的面积为cm2.课堂考点探究探究点一角的集合表示及象限角的判定1 (1)设集合M=xx=k2180+45,kZ,N=xx=k4180+45,kZ,那么()A.M=NB.MNC.NMD.MN= (2)已知角的终边在图3-16-2中阴影部分表示的范围内(不包括边界),则所有角构成的集合是.图3-16-2总结反思 把角表示成2k+(kZ,00且a1)的图像过定点P,且角的终边过点P,则sin +cos 的值为()A.75B.65C.55D.35 5(2)2017北京卷 在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin =13,则sin =.总结反思 三角函数定义主要应用于两方面:(1)已知角的终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离,然后用三角函数定义求解三角函数值.特别地,若角的终边落在某条直线上,一般要分类讨论.(2)已知角的某个三角函数值,可依据三角函数值设出角终边上某一符合条件的点的坐标来解决相关问题.考向2三角函数值的符号判定4 (1)使lg(sin cos )+有意义的为()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)若角的终边落在直线y=-x上,则+=. 总结反思 要判定三角函数值的符号,关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角,再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果角不能确定所在象限,那就要进行分类讨论求解.考向3三角函数线的应用5 函数f(x)=1-2cosx+lnsin x-22的定义域为. 总结反思 利用三角函数线解三角不等式,通常采用数形结合的方法,一般来说sin xb,cos xa,只需作直线y=b,x=a与单位圆相交,连接原点与交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的x的范围.强化演练1.【考向1】点P从点22,-22出发,沿单位圆按逆时针方向运动后到达Q点,若的始边在x轴的正方向上,终边在射线OQ上,则sin =()A.1B.-1C.22D.-222.【考向2】已知角的终边在第一象限,点P(1-2a,2+3a)是其终边上的一点,若cos sin ,则实数a的取值范围是.3.【考向3】满足cos -12的角的集合为.第17讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式课前双击巩固1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:.(2)商数关系:.2.诱导公式公式一公式二公式三公式四公式五公式六角+2k(kZ)+-+正弦sin sin cos cos 余弦cos cos sin 正切tan -tan 口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限记忆规律奇变偶不变,符号看象限常用结论1.sin(k+)=(-1)ksin .2.在ABC中:(1)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,tan(A+B)=-tan C;(2)sin A+B2=cos C2,cos A+B2=sin C2.题组一常识题1.教材改编 已知cos =1213,且是第四象限角,则sin 的值为.2.教材改编 已知=-5,那么tan 的值为.3.教材改编 已知sin =33,则cos=.4.教材改编 求值:sin(-1200)cos 1290=.题组二常错题索引:平方关系没有考虑角的象限导致出错;扩大角的范围导致出错;不会运用消元的思想;k形式没有把k按奇数和偶数进行分类讨论导致出错.5.已知ABC中,cosAsinA=-125,则cos A等于.6.已知cos32+=-35,且是第四象限角,则cos(-3+)=.7.已知=5,则sin2-sin cos =.8.已知A=+(kZ),则A的值构成的集合是.课堂考点探究探究点一三角函数的诱导公式1 (1)已知f()=,则f=()A.12B.22C.32D.-12(2)2017邢台一中月考 已知cos(75+)=13,则sin(-15)+cos(105-)的值是()A.13B.23C.-13D.-23 总结反思 (1)已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解.转化过程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用.(2)对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限,防止符号及三角函数名出错.式题 (1)2017龙岩六校联考 sin 300+tan 600的值是()A.-32B.32C.-12+3D.12+3(2)若sin-=13,则cos+=.探究点二同角三角函数的基本关系考向1切弦互化2 (1)2017亳州三模 已知x,tan x=-43,则cos-x-等于()A.35B.-35C.-45D.45(2)2017江西重点中学一联 设0,且sin+=35,则tan+的值是()A.34B.-34C.43D.-43 总结反思 同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值,主要利用商数关系tan =和平方关系1=sin2+cos2.考向2“1”的变换3 (1)2017常德一中期中 已知tan x=2,则2sin2x-sin xcos x+cos2x的值为.(2)2017桂林模拟 已知sin x-cos x=15,x0,则tan x=. 总结反思 对于含有sin2x,cos2x,sin xcos x的三角函数求值题,一般可以考虑添加分母1,再将1用“sin2x+cos2x”代替,然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于tan 的式子,从而求解.考向3和积转换4 若sin +cos =-13,00)的最大值是3,则它的最小值是.3.教材改编 函数y=2cos x在-,0上是函数,在0,上是函数.4.教材改编 函数f(x)的定义域为0,1,则f(cos x)的定义域为.题组二常错题索引:忽视y=Asin x(或y=Acos x)中A对函数单调性的影响;忽视函数的定义域;忽视正、余弦函数的有界性;忽视限制条件.5.函数y=1-2cos x的单调递减区间是.6.函数y=cos xtan x的值域是.7.函数y=-cos2x+3cos x-1的最大值为 .8.设sin x+sin y=13,则M=sin x+sin2y-1的最大值与最小值分别为.课堂考点探究探究点一三角函数的定义域1 (1)函数f(x)=1+log12x+tanx+的定义域是.(2)函数y=lg(sin x)+cosx-12的定义域为. 总结反思 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式(组), 借助三角函数线或三角函数图像来求解.式题 (1)函数y=sinx-cosx的定义域为.(2)函数f(x)=-2tan2x+的定义域是.探究点二三角函数的值域或最值2 (1)函数y=2sin-(0x9)的最大值与最小值之和为()A.2-3B.0C.-1D.-1-3(2)函数 y=cos 2x+2cos x的值域是()A.-1,3B.-32,3C.-32,-1D.32,3 总结反思 常见三角函数值域(最值)问题的求解方法:形如y=asin x+bcos x+c的三角函数,化为y=Asin(x+)+k的形式,再求最值(值域);形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可设t=sin x,化为关于t的二次函数求值域(最值);形如y=asin xcos x+b(sin xcos x)+c的三角函数,可设t=sin xcos x,化为关于t的二次函数求值域(最值).式题 (1)函数y=|sin x|+sin x的值域为()A.-1,1B.-2,2C.-2,0D.0,2(2)函数y=cos x-sin x+4sin xcos x的最大值是.探究点三三角函数的性质考向1三角函数的周期性3 (1)2017淮北一中期中 函数f(x)=sin3x+的最小正周期是.(2)下列函数中,周期为的偶函数为()A.y=sin 4xB.y=cos 2xC.y=tan 2xD.y=sin-4x总结反思 对于函数y=Asin(x+)+k或y=Acos(x+)+k,其最小正周期T=.考向2三角函数的对称性4 (1)函数y=2sin2x+的图像()A.关于原点对称B.关于点-,0对称C.关于y轴对称D.关于直线x=对称(2)2017潍坊三模 若直线x=54和x=94是函数y=cos(x+)(0)图像的两条相邻对称轴,则的一个可能取值为()A.B.C.D. 总结反思 (1)对于函数y=Asin(x+),其图像的对称轴一定经过函数图像的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断x=x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.(2)函数图像的对称性与周期T之间有如下结论:若函数图像相邻两条对称轴分别为x=a与x=b,则周期T=2|b-a|;若函数图像相邻两对称中心分别为(a,0),(b,0),则周期T=2|b-a|;若函数图像相邻的对称中心与对称轴分别为(a,0)与x=b,则周期T=4|b-a|.考向3三角函数的单调性5 (1)2017衡阳八中期中 在下列给出的函数中,以为周期且在0,上是减函数的是()A.y=cosx2B.y=cos(-2x)C.y=sinD.y=tan(2)已知0,函数f(x)=cosx-在,上单调递减,则的取值范围是()A.12,54B.12,34C.0,12D.(0,2 总结反思 (1)形如y=Asin(x+)的函数的单调性问题,一般是将x+看成一个整体,再结合图像利用y=sin x的单调性求解;(2)如果函数中自变量的系数为负值,要根据诱导公式把自变量系数化为正值,再确定其单调性.强化演练1.【考向2】2017三明质检 已知函数f(x)=sin(x+)-3cos(x+)|0,0),x0,+)AT=f=1T= 2.用五点法画y=Asin(x+)一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:xx+y=Asin(x+)0A0-A03.函数y=sin x的图像经变换得到y=Asin(x+)的图像的步骤图3-19-1题组一常识题1.教材改编 函数y=sin x的图像上所有点的横坐标不变, 纵坐标伸长为原来的2倍得到的图像对应的函数解析式是.2.教材改编 某函数的图像向右平移个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y=sinx+蟺4,则原函数的解析式是.3.教材改编 若函数f(x)=sin x(00,若函数f(x)=sin cos 在区间上单调递增,则的取值范围是.7.若f(x)=2sin(x+)+m对任意实数t都有f=f,且f=-3,则实数m=.8.已知函数f(x)=sin(x+)0,|0)个单位长度.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于x加减多少值.式题 (1)2017雅安三诊 把函数y=sin x的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向右平移个单位长度,所得图像的函数解析式为()A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin(2)为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图像,可以将函数y=2cos 3x的图像()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度探究点二函数y=Asin(x+)的图像与解析式2 (1)2017马鞍山三模 已知函数y=Asin(x+)(A0,0,-0,|0,0)的解析式主要从以下三个方面考虑:(1)根据最大值或最小值求出A的值.(2)根据周期求出的值.(3)根据函数图像上的某一特殊点求出的值.式题 已知函数f(x)=2sin(x+)(0,|0,-0,00,0)的解析式的一般步骤.(1)求A,B.确定函数的最大值M和最小值m,则A=M-m2,B=M+m2.(2)求.确定函数的周期T,则=2蟺T.(3)求.常用方法如下:代入法:把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入.五点法:确定值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.式题 2017长安一中质检 已知函数f(x)=2sin(x+)0,|的部分图像如图3-19-7所示,若f(0)=3,且=-8,B,C分别为最高点与最低点.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若将f(x)的图像向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图像,求函数g(x)在区间0,上的最大值和最小值.图3-19-7探究点四三角函数模型的简单应用4 有一个半径为4 m的水轮(如图3-19-8),水轮的圆心O距离水面2 m,已知水轮逆时针转动,且每分钟转动4圈,当水轮上的点P从水中浮现(即到达图中点P0)时开始计时.(1)将点P距离水面的高度h(m)表示为时间t(s)的函数;(2)在水轮转动一圈的过程中,有多长时间点P距水面的高度超过4 m.图3-19-8 总结反思 (1)解三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式,可以根据给出的已知条件确定模型f(x)=Asin(x+)+k中的待定系数.(2)把实际问题“翻译”为函数f(x)所满足的条件,通过数学运算得到相关结论,最后把数学结论“翻译”为实际问题的答案.式题 某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acos(x-6)(x=1,2,3,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28 ,12月份的月平均气温最低,为18 ,则10月份的月平均气温为.第20讲两角和与差的正弦、余弦和正切课前双击巩固两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式S():sin()=.(2)公式C():cos()= .(3)公式T():tan()=.常用结论1.两角和与差的正切公式的变形:tan tan =tan()(1tan tan ).2.二倍角余弦公式的变形:sin2=1-cos2伪2,cos2=1+cos2伪2.3.一般地,函数f()=asin +bcos (a,b为常数)可以化为f()=a2+b2sin(+)或f()=a2+b2cos(-).题组一常识题1.教材改编 sin 75的值为.2.教材改编 已知cos =-35,则sin+的值是.3.教材改编 cos 65cos 115-cos 25sin 115=.4.教材改编 已知tan =13,tan =-2,则tan(-)的值为.题组二常错题索引:忽略角的范围,用错公式的结构;用错两角和与差的正切公式中分子、分母上的符号;方法选择不当致误.5.已知tan+=17,则cos 的值是.6.化简:12sin x-32cos x=.7.计算:=.8.若+=,则1+tan(-)(1-tan )的值为.课堂考点探究探究点一两角和与差的三角函数公式1 (1)若sin(+)=2sin(-)=12,则sin cos 的值为()A.38B.-38C.18D.-18(2)2017惠州模拟 已知0,cos+=-23,则cos =. 总结反思 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用,的三角函数表示的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.式题 (1)2017德州二模 已知cos =35,cos(-)=7210,且0,那么=()A.B.C.D.(2)2017肇庆二模 已知tan ,tan 分别是lg(6x2-5x+2)=0的两个实根,则tan(+)=.探究点二两角和与差公式的逆用与变形2 (1)2017常德一中期中 已知sin +cos =13,sin -cos =12,则sin(-)=.(2)2017长沙三模 已知-=,tan -tan =3,则cos(+)的值为. 总结反思 常见的公式变形:(1)两角正切的和差公式的变形,即tan tan =tan()(1tan tan );(2) asin +bcos =a2+b2sin(+)tan =ba.式题 (1)2017淮北一中期中 sin 42cos 18-cos 138cos 72=.(2)(1+tan 20)(1+tan 21)(1+tan 24)(1+tan 25)=.探究点三角的变换问题3 (1)2017宜春四校联考 已知tan(+)=25,tan-=14,则的值为()A.1318B.16C.1322D.322(2)2017龙岩六校联考 已知,0cos ;当角的终边在直线y=x的下方区域时,sin cos .式题 2017合肥一模 已知sin 2-2=2cos 2,则sin2+sin 2=.探究点二三角函数式的求值考向1给值求值2 (1)2017厦门一中模拟 已知cos =-725,(,2),则sin+cos=.(2)已知cosx-=13,则cos2x-+sin2-x的值为()A.-19B.19C.53D.-53 总结反思 给值求值是指已知某个角的三角函数值,求与该角相关的其他三角函数值的问题,解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来.考向2给角求值3 求值:cos20掳cos35掳1-sin20掳=()A.1 B.2C.2D.3总结反思 该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值.考向3给值求角4 已知,-0)图像的两条相邻对称轴之间的距离为.(1)求函数y=f(x)图像的对称轴方程;(2)若函数y=f(x)-13在(0,)上的零点为x1,x2,求cos(x1-x2)的值. 总结反思 (1)求三角函数解析式y=Asin(x+)(A0,0)时要注意的取值范围.(2)根据二倍角公式进行计算时,如果涉及开方,则要注意开方后三角函数值的符号.式题 已知函数f(x)=2sin x(3cos x-sin x).(1)求函数f(x)在-,上的值域;(2)在ABC中,f(C)=0,且sin B=sin Asin C,求tan A的值.第22讲正弦定理和余弦定理课前双击巩固1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公式asinA=2R(其中R是ABC的外接圆的半径)a2=,b2=,c2=定理的变形a=2Rsin A,b=,c=,abc=cos A=,cos B=,cos C=2.在ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsin Absin Aab解的个数3.三角形面积公式(1)S=12ah(h表示边a上的高);(2)S=12bcsin A=12acsin B=12absin C;(3)S=12r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).常用结论1.三角形内角和定理:在ABC中,A+B+C=;变形:A+B2=-C2.2.三角形中的三角函数关系:(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C;(3)sin A+B2=cos C2;(4)cos A+B2=sin C2.3.三角形中的射影定理在ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.题组一常识题1.教材改编 在ABC中,B=45,C=60,c=2,则最短边的边长等于.2.教材改编 在ABC中,已知a=5,b=23,C=30,则c=.3.教材改编 在ABC中,已知a2-c2+b2=ab,则C等于.4.教材改编 在ABC中,已知a=32,b=23,cos C=13,则ABC的面积为.题组二常错题索引:在ABC中角与角的正弦的关系;正弦定理求角时解的个数;余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应关系.5.在ABC中,若sin A=sin B,则A,B的关系为;若sin Asin B,则A,B的关系为.6.在ABC中,若A=60,a=43,b=42,则B等于.7.在ABC中,a=2,b=3,C=60,则c=,ABC的面积等于.8.在ABC中,角A,B,C满足sin Acos C-sin Bcos C=0,则三角形的形状为.课堂考点探究探究点一利用正弦余弦定理解三角形1 2017成都三诊 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c-a=2bcos A.(1)求角B的大小;(2)若b=23,求a+c的最大值. 总结反思 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系;(3)涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解.式题 (1)2017合肥二模 在锐角ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,若a=3,则b2+c2的取值范围是()A.(5,6B.(3,5)C.(3,6D.5,6(2)2017天津南开区三模 如图3-22-1,在ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=3BD,BC=2BD,则sin C的值为.图3-22-1探究点二利用正弦余弦定理判定三角形的形状2 2017襄阳五中一模 如图3-22-2所示,图3-22-2在ABC中,D是BC的中点,已知BAD+C=90,则ABC的形状是. 总结反思 判断三角形形状实质上是在缺少部分条件的情况下解三角形,此时三角形的各个元素虽然不能具体确定,但可以确定其中某些元素的等量或者不等量关系,据此对三角形形状作出判断.式题 在ABC中,若sin A=2cos Bsin C,则ABC的形状是.探究点三与三角形面积有关的问题3 2017山西吕梁一模 已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足cos2B-cos2C-sin2A=-sin Asin B,sin(A-B)=cos(A+B).(1)求角A,B,C;(2)若a=2,求三角形ABC的边长b的值及三角形ABC的面积. 总结反思 (1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值),一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积,再代入公式求解;(2)若已知三边,可先求一个角的余弦值,再求正弦值,代入公式得面积;(3)若求面积的最值,一般表示为一个内角的三角函数,利用三角函数的性质求解,或结合基本不等式求解.式题 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a(sin A-sin B)=(c-b)(sin C+sin B).(1)求角C;(2)若c=7,ABC的面积为332,求ABC的周长.第23讲正弦定理和余弦定理的应用课前双击巩固1.仰角和俯角:与目标线在同一铅垂平面内的和目标视线的夹角,目标视线在水平视线的叫仰角,目标视线在水平视线的叫俯角,如图3-23-1(a)所示.2.方位角:指从顺时针转到目标方向线的水平角,如图3-23-1(b)中B点的方位角为.图3-23-13.方向角:相对于某正方向的,如北偏东,即由正北方向顺时针旋转到达目标方向(如图3-23-1(c),其他方向角类似.4.坡角:坡面与所成的二面角的度数(如图3-23-1(d)所示,坡角为).坡比:坡面的铅直高度与之比(如图3-23-1(d)所示,i为坡比).题组一常识题1.教材改编 海上有A,B,C三个小岛,A,B相距53海里,从A岛望C和B成45视角,从B岛望C和A成75视角,则B,C两岛间的距离是海里.2.教材改编 某人向正东方向走了x km后,向右转150,然后沿新方向走了3 km,结果他离出发点恰好3 km,那么x的值为.3.教材改编 如图3-23-2所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为,则tan 等于. 图3-23-24.教材改编 如图3-23-3所示,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D.现测得BCD=,BDC=,CD=s,并在点C处测得塔顶A的仰角为,则塔高AB=.图3-23-3题组二常错题索引:仰角、俯角概念不清;方向角概念不清;方位角概念不清;不能将空间问题转化为解三角形问题.5.在某次测量中,在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60,C点的俯角是70,则BAC=.6.如图3-23-4所示,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40的方向,灯塔B在观察站南偏东60的方向,则灯塔A相对于灯塔B的方向角是.图3-23-47.已知点A在点B的南偏西20的方向,若以点B为基点,则点A的方位角是.8.如图3-23-5所示,为了测量某塔AB的高度,在一幢与塔AB相距20 m的楼顶上测得塔顶