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第2章 线性系统的数学模型,第2章 线性系统的数学模型,实际存在的自动控制系统可以是电气的、机械的、热力的、化工的，甚至是生物学的、经济学的等等，然而描述这些系统的数学模型却可以是相同。 本章介绍了系统的各类数学模型如微分方程，传递函数，方框图，信号流图的求取以及它们之间的相互关系。最后介绍用MATLAB求取系统的数学模型。,第2章 线性系统的数学模型,系统数学模型的建立，是分析和设计系统的首 要任务，可以有多种形式： 时域中微分方程式 复域中传递函数，结构图 频域中频率特性,描述控制系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式，称为系统的数学模型。,第2章 线性系统的数学模型,数学模型虽然有不同的表示形式，但它们之间可以互相转换，可以由一种形式的模型转换为另一种形式的模型。 建立数学模型的方法 建立系统的数学模型简称为建模。系统建模 有两大类方法，或者说有两种不同的途径。 一类是机理分析建模方法，称为分析法， 另一类是实验建模方法，通常称为系统辨识。,第2章 线性系统的数学模型,同一个系统，可用不同的数学模型来表达。 数学模型的复杂程度可以不同。 如何选择： 既不致造成数学处理上的困难，又不致影响分析的准确性而达不到分析研究的目的。 根据将要应用的系统分析方法，建立相应形式的数学模型。 完全不同物理性质的系统，其数学模型具有相同的形式。 利用电气系统来模拟机械系统进行实验研究。,第2章 线性系统的数学模型,内 容,2.1 线性系统的微分方程 2.2 微分方程的线性化 2.3 传递函数 2.4 方框图 2.5 信号流图 2.6 在MATLAB中数学模型的表示 小 结,第2章 线性系统的数学模型,列写系统微分方程的一般步骤： （1）确定系统的输入、输出变量； （2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各 变量所遵循的物理、化学等定律，列写各变量 之间的动态方程，一般为微分方程组； （3）消去中间变量，得到输入输出变量的微分方程 （4）标准化：将与输入有关的各项放在等号右边， 与输出有关的各项放在等号左边，并且分别按 降幂排列，最后将系数归化为反映系统动态特 性的参数，如时间常数等。, 2.1 线性系统的微分方程,第2章 线性系统的数学模型,例2.1 列写如图2.1所示RC网络的微分方程。 给定输入电压 为系统的输入量， 电容上的电压 为系统的输出量。 设回路电流为i， 则电阻上的电压为 电容上的电压与电流的关系为 由基尔霍夫电压定律，列写回路方程式,图2.1 RC电路,消去中间变量 、i 得 令 为电路时间常数，则,可见RC网络是一阶常系数线性微分方程。,第2章 线性系统的数学模型,例2.2 二阶RC网络系统：,令T1=R1C1，T2=R2C2，T12=R1C2 则得：,可见二阶RC网络是二阶常系数线性微分方程。,第2章 线性系统的数学模型,例2-3 图为一弹簧阻尼系统，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试列写外力F(t)与位移y(t)之间的微分方程。,第2章 线性系统的数学模型,弹簧-质量-阻尼器机械系统：,对于弹簧：,对于阻尼器：,对于质量m：,化为标准形式：,代入后得,式中 k 弹簧系数 f 阻尼系数,第2章 线性系统的数学模型,整理且标准化,令 称为时间常数； 称为阻尼比； 称为放大系数。,得,可见：弹簧-质量-阻尼器机械系统也是二阶常系数 线性微分方程。,第2章 线性系统的数学模型,完全不同物理性质的系统，其数学模型具有相似性！,弹簧-质量-阻尼器系统：,二阶RC无源网络：,第2章 线性系统的数学模型,例2.4 R-L-C串联网络的数学模型,输入输出模型:,返回,第2章 线性系统的数学模型,2.2 微分方程的线性化,实际的物理系统往往有间隙、死区、饱和等各类非线性现象。严格地讲，几乎所有实际物理和化学系统都是非线性的。目前，线性系统的理论已经相当成熟，但非线性系统的理论还远不完善。因此，在工程允许范围内，尽量对所研究的系统进行线性化处理，然后用线性理论进行分析不失为一种有效的方法。,第2章 线性系统的数学模型,当非线性因素对系统影响较小时，一般可直接将系统当作线性系统处理。另外，如果系统的变量只发生微小的偏移，则可通过切线法进行线性化，以求得其增量方程式。,第2章 线性系统的数学模型,非线性函数的线性化，是指将非线性函数在工作点附近展开成泰勒级数，忽略掉高阶无穷小量及余项，得到近似的线性化方程，来替代原来的非线性函数。,第2章 线性系统的数学模型,假如元件的输出与输入之间关系x2=f(x1)的曲线如图，元件的工作点为(x10，x20)。将非线性函数x2= f(x1)在工作点(x10，x20)附近展开成泰勒级数,第2章 线性系统的数学模型,当(x1x10)为微小增量时，可略去二阶以上各项，写成,其中 为工作点(x10，x20)处的斜率，即此时以工作点处的切线代替曲线，得到变量在工作点的增量方程，经上述处理后，输出与输入之间就成为线性关系。,第2章 线性系统的数学模型,图2-8为一铁芯线圈，输入为ui(t)，输出为i(t)。 线圈的微分方程为,第2章 线性系统的数学模型,当工作过程中线圈的电压和电流只在工作点（u0,i0）附近变化时，即有,线圈中的磁通 对 也有增量变化，假如在i0附近连续可微，将在i0 附近展开成泰勒级数，即,因是微小增量，将高阶无穷小量略去，得近似式,第2章 线性系统的数学模型,这就是铁芯线圈的增量化方程，为简便起见，常略去增量符号而写成,返回,第2章 线性系统的数学模型,2.3 传递函数,2.2.1 传递函数,在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统的传递函数。 即，,第2章 线性系统的数学模型,若已知线性定常系统的微分方程为,式中c(t)为输出量，r(t)为输入量 。,设c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对式(2-47)取拉氏变换，得,第2章 线性系统的数学模型,则系统的传递函数为,或写为,传递函数与输入、输出之间的关系，可用图表示。,第2章 线性系统的数学模型,2.2.2 传递函数的特点,1.作为一种数学模型，传递函数只适用于线性定常系统，这是由于传递函数是经拉普拉斯变换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算。,2.传递函数是以系统本身的参数描述的线性定常系统输入量与输出量的关系式，它表达了系统内在的固有特性，只与系统的结构、参数有关，而与输入量或输入函数的形式无关。,第2章 线性系统的数学模型,3.传递函数可以是无量纲的，也可以是有量纲的，视系统的输入、输出量而定，它包含着联系输入量与输出量所必须的单位，它不能表明系统的物理特性和物理结构。许多物理性质不同的系统，有着相同的传递函数，正如一些不同的物理现象可以用相同的微分方程描述一样。,4.传递函数只表示单输入和单输出(SISO)之间的关系，对多输入多输出(MIMO)系统，可用传递函数阵表示。,第2章 线性系统的数学模型,5.传递函数式(2-49)可表示成,式中p1，p2pn为分母多项式的根，称为传递函数的极点；z1、z2、 zn为分子多项式的根，称为传递函数的零点；,第2章 线性系统的数学模型,6.传递函数分母多项式称为特征多项式，记为 而D(s)=0称为特征方程。传递函数分母多项式的阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即nm。这是由于实际系统的惯性所造成的。,第2章 线性系统的数学模型,（1）传递函数只取决于系统或元件的结构和参数， 与输入输出无关； （2）传递函数概念仅适用于线性定常系统，具有复 变函数的所有性质； （3）传递函数是复变量s 的有理真分式，即nm； （4）传递函数是系统冲激响应的拉氏变换； （5）传递函数与真正的物理系统不存在一一对应关 系； （6）由于传递函数的分子多项式和分母多项式的系 数均为实数，故零点和极点可以是实数，也可 以是成对的共轭复数。,传递函数的性质,第2章 线性系统的数学模型,传递函数的表示方式,（1）有理分式形式,（2）零极点形式,第2章 线性系统的数学模型,（3）时间常数形式,第2章 线性系统的数学模型,2.2.3 典型环节的传递函数,控制系统由许多元件组合而成，这些元件的物理结构和作用原理是多种多样的，但抛开具体结构和物理特点，从传递函数的数学模型来看，可以划分成几种典型环节，常用的典型环节有比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节、延迟环节等。,第2章 线性系统的数学模型,动态方程：c(t)=Kr(t) 传递函数：G(s)=K,1、比例环节,r(t),c(t),例：,其他如齿轮系统、电位器、纯电阻电路等。,比例环节,第2章 线性系统的数学模型,2、惯性环节,例：,很多实际系统都可近似看作惯性环节。,动态方程： 传递函数：,第2章 线性系统的数学模型,第2章 线性系统的数学模型,惯性环节实例很多，如图所示的R-L网络，输入为电压u，输出为电感电流i，其传递函数,式中,第2章 线性系统的数学模型,3、积分环节,例：,特点：输出量等于输入量对时间的积分，即：如果输入量消失，则累积就停止，但输出量并不消失而是维持在原数值上。所以积分环节具有记忆功能。,动态方程： 传递函数：,第2章 线性系统的数学模型,积分环节的单位阶跃响应为:,它随时间直线增长，当输入突然消失，积分停止，输出维持不变，故积分环节具有记忆功能，如图所示。,第2章 线性系统的数学模型,4、振荡环节,称为阻尼比， 1 时传递函数有一对共轭复数极点，响应为衰减振荡型。 ：决定振荡幅度 T：决定响应快慢,例：,（复阻抗法）,第2章 线性系统的数学模型,振荡环节的单位阶跃响应（K=1, T=1）,第2章 线性系统的数学模型,振荡环节的单位阶跃响应（K=1,=0.6）,第2章 线性系统的数学模型,5、微分环节,动态方程： 传递函数：,例：,特点：反映输入的变化率，有超前作用，常用来改善动态性能。 注意：微分对信号的高频噪声很敏感，实际使用时通常需加惯性环节,第2章 线性系统的数学模型,如图所示，理想微分环节实际上难以实现，因此我们常采用带有惯性的微分环节，其传递函数,其单位阶跃响应为,第2章 线性系统的数学模型,曲线如下图所示，实际微分环节的阶跃响应是按指数规律下降，若K值很大而Td值很小时，实际微分环节就愈接近于理想微分环节。,第2章 线性系统的数学模型,一阶微分环节：,二阶微分环节：,第2章 线性系统的数学模型,6、延迟环节(纯滞后环节),例：,滞后时间越大，控制难度越大,第2章 线性系统的数学模型,需要指出，在实际生产中，有很多场合是存在迟延的，比如皮带或管道输送过程、管道反应和管道混合过程，多个设备串联以及测量装置系统等。迟延过大往往会使控制效果恶化，甚至使系统失去稳定。,第2章 线性系统的数学模型,惯性环节从输入开始时刻就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值,惯性环节与延迟环节的区别：,延迟环节从输入开始后在0时间内没有输出，在t =之后，才有输出。,第2章 线性系统的数学模型,线性系统的基本环节,放大环节（比例环节）：,积分环节：,微分环节：,惯性环节：,振荡环节：,一阶微分环节：,二阶微分环节：,滞后环节（纯时滞环节）：,一个系统或一个元件（线性连续）总可以由一个或几个基本环节组成。 有些基本环节在实际中可以单独存在，但像各种微分环节实际上是不能单独存在的。,返回,第2章 线性系统的数学模型, 2.4 方框图,在控制工程中，为了便于对系统进行分析和设计，常将各元件在系统中的功能及各部分之间的联系用图形来表示，即方框图和信号流图。,第2章 线性系统的数学模型,2.4.1方框图,方框图也称方块图或结构图，具有形象和直观的特点。系统方框图是系统中各元件功能和信号流向的图解，它清楚地表明了系统中各个环节间的相互关系。 构成方框图的基本符号有四种，即信号线、比较点、传递环节的方框和引出点。,第2章 线性系统的数学模型,第2章 线性系统的数学模型,2.4.2系统方框图的构成,对于一个系统在清楚系统工作原理及信号传递情况下，可按方框图的基本连接形式，把各个环节的方框图，连接成系统方框图。,例2-5 图中为一无源RC网络。选取变量如图所示，根据电路定律，写出其微分方程组为,第2章 线性系统的数学模型,在零初始条件下，对等式两边取拉氏变换，得,第2章 线性系统的数学模型,RC网络方框图,各环节方框图,第2章 线性系统的数学模型,例2-6 图中为电枢电压控制的直流他励电动机,描述其运动方程为,第2章 线性系统的数学模型,零初始条件下，对式中两边取拉氏变换,第2章 线性系统的数学模型,将同一变量的信号线连接起来，将输入Ua(s)放在左端，输出(s)放在图形右端，得系统方框图如图所示。,第2章 线性系统的数学模型,2.4.3环节间的连接,环节的连接有串联、并联和反馈三种基本形式。,1.串联：在单向的信号传递中，若前一个环节的输出就是后一个环节的输入，并依次串接如图2-32所示，这种联接方式称为串联。,n个环节串联后总的传递函数 :,第2章 线性系统的数学模型,即环节串联后总的传递函数等于串联的各个环节传递函数的乘积。,环节的串联,第2章 线性系统的数学模型,2.并联：若各个环节接受同一输入信号而输出信号又汇合在一点时，称为并联。,如图2-34所示。由图可知,总的传递函数为,环节的并联,第2章 线性系统的数学模型,3.反馈：若将系统或环节的输出信号反馈到输入端，与输入信号相比较，就构成了反馈连接，如图所示。如果反馈信号与给定信号极性相反，则称负反馈连接。反之，则为正反馈连接，若反馈环节H(s)=1称为单位反馈。,反馈连接,第2章 线性系统的数学模型,反馈连接后，信号的传递形成了闭合回路。通常把由信号输入点到信号输出点的通道称为前向通道；把输出信号反馈到输入点的通道称为反馈通道。,对于负反馈连接，给定信号r(t)和反馈信号b(t)之差，称为偏差信号e(t) 即,通常将反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比，定义为开环传递函数，即,开环传递函数=,第2章 线性系统的数学模型,输出信号C(s)与偏差信号E(s)之比，称为前向通道传递函数，即,前向通道传递函数=,而系统输出信号C(s)与输入信号R(s)之比称为闭环传递函数，记为(s)或GB(s)。,第2章 线性系统的数学模型,得闭环传递函数为,对于正反馈连接，则闭环传递函数为,第2章 线性系统的数学模型,结构图包含四个基本元素：,信号线：带有箭头的直线， 箭头表示信号传递 方向。,引出点（测量点）：引出或者测量信号的位置。,这里的信号引出与测量信号一样，不影响原信号， 所以也称为测量点。,比较点（综合点）：对两个或者两个以上的信号进 行代数运算。,方块：表示对输入信号进行的数学变换。对于线性定 常系统或元件，通常在方框中写入其传递函数。,第2章 线性系统的数学模型,几种基本的结构框图,第2章 线性系统的数学模型,2.4.4方框图的变换和简化,有了系统的方框图以后，为了对系统进行进一步的分析研究，需要对方框图作一定的变换，以便求出系统的闭环传递函数。方框图的变换应按等效原则进行。所谓等效，即对方框图的任一部分进行变换时，变换前、后输入输出总的数学关系式应保持不变。除了前面介绍的串联、并联和反馈连接可以简化为一个等效环节外，还有信号引出点及比较点前后移动的规则。,第2章 线性系统的数学模型,比较点后移,结构图的变换法则,第2章 线性系统的数学模型,比较点前移,第2章 线性系统的数学模型,比较点合并,第2章 线性系统的数学模型,引出点前移,第2章 线性系统的数学模型,引出点后移,第2章 线性系统的数学模型,例2-7化简图(a)所示系统方框图，并求系统传递函数,第2章 线性系统的数学模型,第2章 线性系统的数学模型,图2-37 (a)是一个交错反馈多路系统，采用引出点后移或前移，比较点前移等，逐步变换简化，可求得系统的闭环传递函数为,例2-8 试化简如图2-37 (a)所示系统的方框图，并求闭环传递函数。,第2章 线性系统的数学模型,图2-37 方框图的变换与简化,第2章 线性系统的数学模型,返回,第2章 线性系统的数学模型,2.6 在MATLAB中数学模型的表示,控制系统的数学模型在系统分析和设计中是相当重要的,在线性系统理论中常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间表达式等,而这些模型之间又有着某些内在的等效关系。MATLAB主要使用传递函数和状态空间表达式来描述线性时不变系统(Linear Time Invariant简记为LTI)。,第2章 线性系统的数学模型,2.6.1传递函数,单输入单输出线性连续系统的传递函数为,其中mn。G(s)的分子多项式的根称为系统的零点,分母多项式的根称为系统的极点。令分母多项式等于零,得系统的特征方程:,D(s)=a0sn+a1sn1+an1s+an=0,第2章 线性系统的数学模型,因传递函数为多项式之比,所以我们先研究MATLAB是如何处理多项式的。MATLAB中多项式用行向量表示,行向量元素依次为降幂排列的多项式各项的系数,例如多项式P(s)=s3+2s+4 ,其输入为,P=1 0 2 4,注意尽管s2项系数为0,但输入P(s)时不可缺省0。,MATLAB下多项式乘法处理函数调用格式为,C=conv(A,B),第2章 线性系统的数学模型,例如给定两个多项式A(s)=s+3和B(s)=10s2+20s+3,求C(s)=A(s)B(s),则应先构造多项式A(s)和B(s),然后再调用conv( )函数来求C(s),A =1,3; B =10,20,3； C = conv(A,B) C = 10 50 63 9 即得出的C(s)多项式为10s3 +50s2 +63s +9,第2章 线性系统的数学模型,MATLAB提供的conv( )函数的调用允许多级嵌套,例如 G(s)=4(s+2)(s+3)(s+4) 可由下列的语句来输入,G=4*conv(1,2,conv(1,3,1,4),第2章 线性系统的数学模型,有了多项式的输入,系统的传递函数在MATLAB下可由其分子和分母多项式唯一地确定出来,其格式为,sys=tf(num,den),其中num为分子多项式，den为分母多项式,num=b0,b1,b2,bm； den=a0,a1,a2,an；,第2章 线性系统的数学模型,对于其它复杂的表达式,如,可由下列语句来输入,num=conv(1,1,conv(1,2,6,1,2,6); den=conv(1,0,0,conv(1,3,1,2,3,4); G=tf(num,den),Transfer function:,第2章 线性系统的数学模型,2.6.2传递函数的特征根及零极点图,传递函数G(s)输入之后,分别对分子和分母多项式作因式分解,则可求出系统的零极点,MATLAB提供了多项式求根函数roots(),其调用格式为,roots(p),其中p为多项式。,第2章 线性系统的数学模型,例如,多项式p(s)=s3+3s2+4,p=1,3,0,4; %p(s)=s3+3s2+4 r=roots(p)%p(s)=0的根 r=-3.3533 0.1777+1.0773i 0.1777-1.0773i,反过来,若已知特征多项式的特征根,可调用MATLAB中的poly( )函数,来求得多项式降幂排列时各项的系数,如上例,poly(r) p = 1.0000 3.0000 0.0000 4.0000,第2章 线性系统的数学模型,而polyval函数用来求取给定变量值时多项式的值,其调用格式为,polyval(p,a) 其中p为多项式;a为给定变量值,例如,求n(s)=(3s2+2s+1)(s+4)在s=5时值：,n=conv(3,2,1,1,4); value=polyval(n,-5) value=66,第2章 线性系统的数学模型,p,z=pzmap(num,den) 其中, p传递函数G(s)= numden的极点 z传递函数G(s)= numden的零点 例如,传递函数,传递函数在复平面上的零极点图,采用pzmap()函数来完成,零极点图上,零点用“。”表示,极点用“”表示。其调用格式为,第2章 线性系统的数学模型,用MATLAB求出G(s)的零极点,H(s)的多项式形式,及G(s)H(s)的零极点图,numg=6,0,1; deng=1,3,3,1; z=roots(numg) z=0+0.4082i 00.4082i %G(s)的零点 p=roots(deng) p=1.0000+0.0000i 1.0000+0.0000i %G(s)的极点 1.0000+0.0000i,第2章 线性系统的数学模型, n1=1,1;n2=1,2;d1=1,2*i; d2=1,-2*i;d3=1,3; numh=conv(n1,n2); denh=conv(d1,conv(d2,d3); printsys(numh,denh),numh/denh=,%H(s)表达式,pzmap(num,den) %零极点图 title(pole-zero Map),第2章 线性系统的数学模型,零极点图如图所示 ：,第2章 线性系统的数学模型,2.6.3 控制系统的方框图模型,若已知控制系统的方框图,使用MATLAB函数可实现方框图转换。,1.串联 如图所示G1(s)和G2(s)相串联,在MATLAB中可用串联函数series( )来求G1(s)G2(s),其调用格式为 num,den=series(num1,den1,num2,den2) 其中：,第2章 线性系统的数学模型,2.并联 如图所示G1(s)和G2(s)相并联,可由MATLAB的并联函数parallel( )来实现,其调用格式为,num,den=parallel(num1,den1,num2,den2),其中：,第2章 线性系统的数学模型,3.反馈,反馈连接如图所示。使用MATLAB中的feedback( )函数来实现反馈连接,其调用格式为,num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,sign),式中：,sign为反馈极性,若为正反馈其为1,若为负反馈其为1或缺省。,第2章 线性系统的数学模型,例如 G(s)= ,H(s)= ,负反馈连接。,numg=1,1;deng=1,2; numh=1;denh=1,0; num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,1); printsys(num,den),num/den=,第2章 线性系统的数学模型,MATLAB中的函数series,parallel和feedback可用来简化多回路方框图。另外,对于单位反馈系统,MATLAB可调用cloop( )函数求闭环传递函数,其调用格式为,num,den=cloop(num1,den1,sign),第2章 线性系统的数学模型,2.6.4 控制系统的零极点模型,传递函数可以是时间常数形式,也可以是零极点形式,零极点形式是分别对原系统传递函数的分子和分母进行因式分解得到的。MATLAB控制系统工具箱提供了零极点模型与时间常数模型之间的转换函数,其调用格式分别为,z,p,k= tf2zp(num,den) num,den= zp2tf(z,p,k),其中第一个函数可将传递函数模型转换成零极点表示形式,而第二个函数可将零极点表示方式转换成传递函数模型。,第2章 线性系统的数学模型,例如 G(s)=,用MATLAB语句表示：,num=12241220;den=24622; z,p,k=tf2zp(num,den) z= 1.9294 0.03530.9287i 0.03530.9287i,第2章 线性系统的数学模型,p=0.95671.2272i 0.95671.2272i 0.04330.6412i 0.04330.6412i k=6,即变换后的零极点模型为 G(s)=,第2章 线性系统的数学模型,可以验证MATLAB的转换函数,调用zp2tf()函数将得到原传递函数模型。 num,den=zp2tf(z,p,k) num = 0 6.0000 12.0000 6.0000 10.0000 den = 1.0000 2.0000 3.0000 1.0000 1.0000,即,第2章 线性系统的数学模型,2.6.5 状态空间表达式,状态空间表达式是描述系统特性的又一种数学模型,它由状态方程和输出方程构成,即 x(t)=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)+Du(t),式中 x(t)Rn 称