清华大学结构力学第8章位移法.ppt

第八章 位移法,8-1 位移法的基本概念,8-2 等截面直杆的刚度方程,8-3 无侧移刚架和有侧移刚架的计算,8-4 位移法的基本体系,8-5 对称结构的计算,2,8-1 位移法的基本概念,一、关于位移法的简例,只要求出结点B位移，各杆伸长变形即可求出。然后进一步可以求出杆件内力 第一步，分析单杆,（刚度方程）,3,第二步，组装结构,变形协调条件：,节点平衡条件：,即,于是得,基本未知量求出后，每根杆件的位移和轴力可求出。,4,上述方法既可用于超静定结构（n3），又可用于静定结构（n=2）。 位移法要点如下： 基本未知量是结构的结点位移 基本方程是平衡方程 建立基本方程的过程分为两步：a.离散结构，进行杆件分析，得出杆件的刚度方程；b.组装结构，得到基本方程。 杆件分析是结构分析的基础。（刚度法）,5,二位移法计算刚架基本思路,分别分析杆AB和AC. 相对于杆AB和AC, A点分别视为固定支座. 杆AB和AC分别受载荷和支座位移作用.,基本未知量取为A点水平线位移和转角.,6,结点位移是处于关键地位的未知量。 基本思路： 首先把刚架拆成杆件，进行杆件分析杆件在已知端点位移和已知荷载作用下的计算； 其次把杆件组合成刚架，利用平衡条件，建立位移法基本方程，借以求出基本未知量。,7,8-2 等截面直杆的刚度方程,一、符号规则,1杆端弯矩,规定顺时针方向为正，逆时针方向为负。,杆端弯矩的双重身份：,1）对杆件隔离体，杆端弯矩是外力偶，顺时针方向为正，逆时针方向为负。,2）若把杆件装配成结构，杆端弯矩又成为内力，弯矩图仍画在受拉边。,两个问题：已知端点位移下求杆端弯矩；已知荷载作用下求固端弯矩。,8,2结点转角,顺时针为正，逆时针为负。,杆件两端相对侧移，其与弦转角 的正负号一致。而以顺时针方向为正，逆时针方向为负。,3杆件两端相对侧移,9,1. 两端固定梁,二、等截面直杆的刚度方程,10,由上图可得：,即为:,此外，可得杆端剪力为,11,以上矩阵为刚度矩阵, 系数称为刚度系数, 该系数只与截面尺寸和材料性质有关的常数, 称为形常数.,以上就是弯曲杆件的刚度方程。,为紧凑起见，可写成矩阵形式,12,2. 一端固定、一端辊轴支座的梁,13,3. 一端固定、一端滑动支座的梁,14,4. 等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同， 则相应的杆端力也相同。,1),15,2),3),16,1. 两端固定梁,三、固端弯矩,q,单跨超静定梁在荷载作用下产生的杆端弯矩称为固端弯矩。固端弯矩以顺时针方向为正，逆时针方向为负。,17,2. 一端固定、一端辊轴支座的梁,18,3. 一端固定、一端滑动支座的梁,各种单跨超静定梁的固端弯矩可查教材附表。,19,在既有荷载作用，又有端点位移情况下，,杆端弯矩为：,杆端剪力为：,20,四、正确判别固端弯矩的正负号,21,8-3 无侧移刚架和有侧移刚架的计算,一、无侧移刚架的位移法求解,建立位移法方程有两种方法：,1）直接利用平衡条件建立位移法方程。,2）利用位移法基本体系建立位移法方程。,22,解: 取结点角位移B作为基本未知量（铰支座C角位移可不选）， 由上节表可求各杆固端弯矩：,故各杆杆端弯矩如下（各杆的线刚度相等）：,23,取结点B为隔离体，列出力矩平衡方程（位移法基本方程）：,代入，平衡方程写为,由此可求出基本未知量,至此，位移法关键问题得到解决。最后可求出各杆杆端弯矩：,24,组装原则： 1. 结点处各杆变形要协调一致，选取基本未知量时保证结点处的变形协调条件； 2. 装配好的结点满足平衡条件，由基本方程满足。,25,解： 令,例8-3-1 用位移法求图示刚架的M图，各杆EI 相同。,1. 利用平衡条件建立位移法方程,26,2）列出杆端弯矩表达式,27,3）建立位移法方程并求解,由结点B和结点D的平衡条件可得：,28,4）作弯矩图,将求得的 B 、 D 代入杆端弯矩表达式得：,29,（1）在基本未知量中，要包括结点线位移； （2）在杆件计算中，要考虑线位移的影响； （3）在建立平衡方程时，要增加与结点线位移对应的平衡方程。,1.基本未知量的选取,只分析线位移的选取： 不忽略轴向变形，则平面刚架每个结点有两个线位移，上图各有2、3、4个结点，故分别有4、6、8个结点线位移。,二、有侧移刚架的位移法求解,30,引入假设： (1). 忽略轴力产生的轴向变形； (2). 结点转角和各杆弦转角都很微小。 则尽管杆件发生弯曲变形，但杆件两端结点之间的距离仍保持不变。,31,因不考虑各杆长度的改变，还可以用几何构造分析的方法确定结点的独立线位移的个数。把所有刚结点（包括固定支座）改为铰结点，则此铰结体系的自由度数就是原结构的独立节点线位移的数目。（为了使此铰结体系成为几何不变而需添加的链杆数）,32,2基本方程的建立 基本未知量分为刚结点角位移和独立结点线位移两类，与此对应，基本方程也分为两类。 如图，基本未知量为刚结点B的转角和柱顶的水平位移。,33,分析各杆两端的位移，可写出各杆的杆端弯矩如下：,34,基本未知量中，每一个转角有一个相应的节点力矩平衡方程，每一个独立结点线位移有一个相应的截面平衡方程。平衡方程个数与基本未知量个数相等，正好求解全部基本未知量。,35,例8-2，求刚架弯矩图，忽略横梁轴向变形。,解：（1）基本未知量 只有一个独立线位移，本例没有刚结点，没有转角基本未知量。,（2）各柱的杆端弯矩和剪力,各柱线刚度为,36,由此知杆端弯矩为,由每柱的平衡求得杆端剪力为,（3）位移法方程 取柱顶以上横梁部分为隔离体，由水平方向平衡条件 ，得,37,代入可求得,（4）杆端弯矩和剪力,（5）根据杆端弯矩可画出弯矩图 （6）讨论 剪力按刚度分配, 然后求弯矩,38,1）未知量：,例8-3-2 用位移法求图示刚架内力图。,解：,2）列出杆端弯矩表达式,39,40,3）建立位移法方程并求解,由结点D平衡：,B,DA柱：,作CE梁隔离体，求柱剪力。,41,EB柱,CE梁,42,解方程组、，得,4）作内力图,43,44, 8-4 位移法基本体系,1位移法基本体系、基本结构 基本未知量统一用 表示。,（1）位移法的基本体系： 在刚结点B加约束控制B的转角（不控制线位移）；在结点C加水平支杆控制结点C的水平位移。 （2）基本结构：在结点B加约束使结点B不能转动；在结点C加水平支杆使结点C不能水平移动。,45,（3）基本体系原结构：简化计算，与力法措施相反，效果相同。,2利用基本体系建立基本方程： （1）基本体系原结构的条件 第一步，控制附加约束，使结点位移全部为0，刚架处于锁住状态，即基本结构。施加荷载，可求出基本结构中内力，同时附加约束产生约束反力（约结构没有）； 第二步，控制附加约束，使基本结构发生结点位移，这时附加约束中的约束反力将随之改变。当结点位移与原结构实际值相等，则附加约束的约束力即完全消失，附加约束将不起作用，基本体系与原结构完全相同。,46,b.单位位移 单独作用相应约束力为,基本体系转化为原结构的条件是： 基本结构在给定荷载以及给定结点位移共同作用下，附加约束中产生的总约束力等于零。,即 为建立位移法基本方程的条件。,（2）基本方程，利用叠加原理,a.荷载单独作用相应约束力为,c.单位位移 单独作用相应约束力为,47,叠加得,，即为位移法基本方程。,3计算过程 （1）基本结构在荷载作用下的计算 先求各杆固端弯矩，作基本结构在荷载作用下的弯矩图 取结点B为隔离体，求得,“先锁住后放松”、“先拆后搭”,48,49,50,51,具有n个基本未知量的问题，位移法基本方程为,上式也称为位移法典型方程。,称为结构的刚度矩阵。,刚度系数，对称矩阵，主系数大于0，副系数,52, 8-5 对称结构的计算,结构对称是指结构的几何形状、支座条件、材料性质及各杆刚度EA、EI、GA均对称。,利用结构对称性简化计算，基本思路是减少位移法的基本未知量。,一、奇数跨刚架,分析与对称轴相交截面的位移条件，在根据对称性取半边结构时，该截面应加上与位移条件相应的支座。,1. 对称荷载,53,对称结构在对称荷载作用下，其内力和变形均对称。,在取半边结构时，B截面加上滑动支座，但横梁线刚度应加倍。,与对称轴相交截面B的位移条件为:,54,55,2反对称荷载,对称结构在反对称荷载作用下，其内力和变形均反对称。,56,57,二、偶数跨刚架,偶数跨刚架不存在与对称轴相交的截面。,1. 对称荷载,58,2. 反对称荷载,59,例8-4-1 作图示结构 M 图。,三、举例,解：,60,M图（FP h）,61,例8-4，求吊桥结构内力图。,解: 取半边结构如图 基本未知量取B点转角和线位移 求固端力,62,求杆端力,杆BC,杆BD,63,列位移法方程,整理得,求解得,计算杆端力,64,绘制内力图,65,8-5 支座移动结构的计算,一、支座移动时的位移法求解,解题思路：,1）锁住结点，即令结点位移未知量等于零；,2）令结构产生已知的支座移动，此时各杆