维向量及其运算向量组的线性相关性.ppt

一. n维向量空间,分量为复数的向量称为复向量.,分量全为实数的向量称为实向量，,1. n 维向量,这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 个数 称为第 个分量。,以后我们用小写希腊字母 来代表向量。,例如：,向量通常写成一行：,有时也写成一列：,称为行向量。,称为列向量。,分量全为零的向量 称为零向量。,2. 向量的运算和性质,就称这两个向量相等，记为,向量加法：向量,称为向量,的和，记为,向量减法：,满足运算律：,注：,（3）,确定飞机的状态，需 要以下6个参数：,飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z),机身的水平转角,机身的仰角,机翼的转角,所以，确定飞机的状态，需用6维向量,维向量的实际意义,若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？,思考题,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组,例如,一、线性表示,向量组 , , ， 称为矩阵A的行向量组,反之，由有限个同维的向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,线性方程组,向量间的线性运算关系：,方程1加方程2可以消去方程3，,说明方程3多余,定义,任意一个n维向量a都能由n维单位坐标向量组 e1,e2,en线性表示.,定义2 设两个n维向量组 a1, a2, a3,as (II) b1, b2, b3, ,bt 如果(I)组中每一个向量ai (i=1,2,s)都能由向量组(II)线性表示，则称向量组(I)可以由向量组(II)线性表示. 如果两个向量组可以相互线性表示，则称这两个向量组等价.,例如，对于向量组 a1=(1,0) , a2=(0,1) (II) b1=(1,1) , b2=(2,3),易证 a1=3b1-b2 , a2= -2b1+b2 b1=a1+a2 , b2=2a1+3a2,由于这两个向量组能相互表示，因此它们等价,向量组的等价具有性质： 自反性 任一向量组与其自身等价. 对称性 若向量组(I)与(II)等价，则向量组(II)也与(I)等价. 3. 传递性 若向量组(I)与(II)等价，向量组(II)与(III)等价，则向量组(I)与(III)等价.,满足,注意,定义3,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关,二、线性相关性,方法 从定义出发,整理得线性方程组,三、线性相关性的判定,例 研究下列向量组的线性相关性,解:,整理得到,线性相关性在线性方程组中的应用,解,例2,解,例3,证,定理2 向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示,设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示.,即有,故,因 这 个数不全为0，,故 线性相关.,必要性,设 线性相关，,则有不全为0的数 使,因 中至少有一个不为0，,不妨设 则有,即 能由其余向量线性表示.,证毕.,定理3,说明,说明,定理4 设向量组a1, a2, a3,as线性无关，如果向量组 a1, a2, , as, b线性相关，那么b必能由a1,a2, , as线性表示，而且表达式是唯一的.,证：,因 线性相关，,则有不全为0的数 使,因 中至少有一个不为0，,故 则,即 能由其余向量线性表示.,若 则有,且 中至少有一个不为0，,从而 线性无关，矛盾,下面证 的表达式是唯一的.,因为 线性无关，所以,如果,. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；,. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方