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二重积分在极坐标系下的计算,一、二重积分的极坐标计算公式,二、典型例题,适用范围,直角坐标与极坐标的关系,其中 0 r +, 0 2,(或 - ),考虑典型小闭区域 曲边四边形区域,一、二重积分的极坐标计算公式,二重积分的变量从直角坐标到极坐标的变换公式,计算方法化为二次定积分 (通常先对 后对 积分),二重积分化为二次积分几种常见的情形,二重积分化为二次积分几种常见的情形,二重积分化为二次积分几种常见的情形,若 f 1 则可求得D 的面积,思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、典型例题,例.求,其中D：x2+y2 1,解：一般, 若D的表达式中含有x2+y2时，可考虑用 极坐标积分。,令x=rcos, y=rsin, 则,x2+y2 1的极坐标方程为r = 1.,由(2),D*: 0 r 1, 0 2,另由几何意义：,例1.计算,其中D: x2+y2a2(a0).,解：D 如图,由于D关于x轴，y 轴都对称，,即f (x, y)也关于x轴，y轴对称.,故,从而，原式,注：本题若用直角函标计算，会遇到,而这个积分是“积不出”的。,例1.,方法二,方法一,例2,0,x,y,D,例2,方法二,解,例3,例4,解,积分区域关于坐标轴对称,被积函数关于坐标轴对称.,例5,例6,解,内容小结,(1) 二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形 :,若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,(2) 一般换元公式,且,则,极坐标系情形: 若积分区域为,在变换,下,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3) 计算步骤及注意事项, 画出积分域, 选择坐标系, 确定积分序, 写出积分限, 计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,( 先积一条线, 后扫积分域 ),充分利用对称性,应用换元公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 设,且,求,提示:,交换积分顺序后, x , y互换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 交换积分顺序,提示: 积分域如图,机动 目录 上页 下页 返回 结束,计算二重积分应注意的问题,1、由被积函数和积分区域D适当地选取坐标系， 当D是圆域，环域（或其一部分）或被积函数为型时采用极坐标系下计算，否则采用直角坐标。,适当地选取坐标系，,适当地选取积分次序，,2、由积分区域D的形状特点适当地选取积分次序， 极坐标系下一般先对r后对积分， 直角坐标系下一般由X还是Y型区域决定。,准确地确定积分限
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