重积分的几种计算方法.ppt

,当 R3，有 X=(x, y, z) , d = dv,则,三重积分,1. 直角坐标系下三重积分的计算,直角坐标系下，记体积元素,dv=dxdydz,则,三重积分,(1) 化成一个定积分和一个二重积分,设 D 为 在 xy 平面上投影区域.,y=y1(x),b,a,y=y2(x),例1. 计算,其中是由平面x+y+z=1,与三个坐标面所围闭区域.,解： D: 0 y 1x, 0 x 1,例2. 计算,其中 是由抛物,柱面,及平面y=0, z=0,解： D: 0 y , 0 x ,y=y1(x, z),z,0,y=y2(x, z),Dxz,y,x,x=x2(y, z),z,0,x=x1(y, z),Dyz,y,x,例3. 将,化为三次定积分，其中, 是由 z= x2+y2 和 z=1所围的闭区域.,解：先对 z 积分，将 向 xy 平面投影.,z= x2+y2,x2+y2=1, D: x2+y21,z=1,z=1,x,y,z,0,1,Dxy,z=1,z= x2+y2,解2：先对 y 积分，将 向 xz 平面投影：,z= x2+y2, Dxy: x2 z 1,z=1, 1 x1,z= x2+y2 ,(2) 化为一个二重积分和一个定积分, :(x, y)D(z), z1zz2,例4. 计算,其中 是由 z=x2+y2 和 z=1,所围成的闭区域.,解：D(z): x2+y2z,z0, 1,例5. 计算,解： D(x): 0 y 1x, 0 z 1xy,x : 0 x 1,其中 是由平面 x+y+z=1,与三个坐标面所围闭区域.,2. 利用柱面坐标计算三重积分,M (r, , z),x=rcos,y=rsin,z=z,(0r+, 02, z+),r,z,M,y,x,柱面坐标的三组坐标面分别为,r=常数,=常数,z=常数,= r,故 dxdydz=rdrddz,例1. 计算,其中 由,与 z=1 所围闭区域.,解：, D: x2+y21, z =r,z=r,z=1,D,例2. 计算, =(x, y, z) | x2+y2+z21, z0.,解：,D: x2+y21,例3. 再解例1,其中是 由,与 z=1 所围闭区域.,解：用 = 截 得 D(),而 0 2 故,原积分=,x,z,y,例4. 再解例2,其中 =(x, y, z) | x2+y2+z21, z0.,解：用 = 截 得 D(),而 0 2 故,原积分 =,x,y,z,0,3. 利用球面坐标计算三重积分,M (r, ,),x=OPcos ,z= r cos,(0r+, 0, 02),y= OPsin ,= r sin cos,= rsin sin,球面坐标的三组坐标面：,r =常数, =常数, =常数,dxdydz= r2sin drdd,例5. 计算,其中 =(x, y, z) | x2+y2+z21, z0.,解：x2+y2+z2=1 r=1,而 0 2 故,用 = 截 得 D(),原积分,x,y,z,0,z,例6.,和 x2+y2+z2=a2 所围成闭区域.,解： x2+y2+z2=a2 r