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文档简介

,1、向量与数的乘法（数乘）：,数与向量的乘积符合下列运算规律：,（1）结合律：,（2）分配律：,两个向量平行的充要条件:,按照向量与数的乘积的定义，有,(2)数轴与向量的关系：,2、说明,x 横轴,y 纵轴,z 竖轴,坐标原点 O,1、空间直角坐标系,右手系,一、空间直角坐标系,坐标面,坐标面,坐标面,空间直角坐标系的3张坐标面和8个卦限,坐标原点-O,坐标平面-每两个坐标轴确定的平面,坐标轴x 轴、y轴、z轴,x oy 平面，,y oz 平面，z ox 平面.,若干概念,卦限,这些坐标平面把空间分成八个部分，每一个称为一个卦限.,x、y、z 轴的正半轴的卦限称为第 I 卦限.,x,y,z,O,从第 I 卦限开始，,从 Oz 轴的正向向下看，,按逆时针的方向,，先后出现的卦限依次称为第 、 卦限;,第、 、 、 卦限下面的空间部分依次称为第 、 卦限.,思考题,在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪 个卦限？,A:; B:; C:; D:;,空间中的点M,三元有序数组,特殊点的坐标特征:,坐标轴上的点、坐标面上的点,2、空间点的直角坐标,称为点M的空间直角坐标.,例1 求起点为A(1,-1,3)，终点为B(2,3,-5)的向量的 坐标表示式和坐标分解式.,解,二、利用坐标作向量的线性运算,例3. 已知两点,在AB直线上求一点 M , 使,解: 设 M 的坐标为,如图所示,及实数,得,即,说明: 由,得定比分点公式:,点 M 为 AB 的中点 ,于是得,中点公式:,三、向量的模、方向角,1. 向量的模与两点间的距离公式,证,原结论成立.,例4,的三角形是一个等腰三角形。,例5. 在 z 轴上求与两点,等距,解: 设该点为,解得,故所求点为,及,思考:,(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?,(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?,离的点 .,提示:,(1) 设动点为,利用,得,(2) 设动点为,利用,得,且,2. 方向角与方向余弦,两向量的夹角,零向量与任何向量都平行.,向量的方向角与方向余弦,例6. 已知两点,和,的模 、方向余弦和方向角 .,解:,计算向量,例7,解：,四、 向量在轴上的投影,定义 设已知空间一点A以及一轴 l，通过点A作轴 l 的垂直平面，那么平面与轴 l 的交点A叫做点A在轴 l上的投影.,向量在轴上的投影,， 轴l叫做投影轴,证,性质1 (投影定理),向量的投影具有下列性质：,性质1的说明：,投影为正；,投影为负；,投影为零；,(4) 相等向量在同一轴上投影相等；,性质2,由下面图形很容易证明该性质.,推广：,性质3,向量与数的乘积在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘积，即 Prjl=Prjl,例8,解：,练
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