深圳大学数学与计算科学学院

李国：数值分析课程教学大纲深圳大学数学与计算科学学院课程教学大纲（2006年10月重印版）课程编号 22143115 课程名称 数值分析 课程类别 专业必修 教材名称 数值分析 制 订 人 李国 审 核 人 陈之兵 2005年 4 月修订一、课程设计的指导思想（一）课程性质1课程类别：专业必修课2适应专业：信息与计算科学专业3开设学期：第六学期4学时安排：周学时3，总学时545学分分配：3学分 （二）开设目的数值分析是一门研究求解数值问题的方法与理论的学科。通过本课程的学习，使得所学者具备转化数学问题为数值问题的基本素质；具备对数值问题构造或者选择合适求解方法的基本素质；具备对数值方法进行理论分析的基本数值。为从事数值计算领域的工作打下坚实的基础。（三）基本要求掌握数值方法的基本思想、基本概念和基本方法；能够熟练地把一些基本的数学问题转化为数值问题；理解数值分析中一些基本数值方法的构成原理，并能够熟练应用之求解问题；能够对基本的数值方法进行合理的理论分析。（四）主要内容误差分析，一元函数的插值与逼近，数值积分与微分，微分方程初值问题的求解，一元非线性方程的求解，求解线性方程组的直接法与迭代法，矩阵的特征值问题。（五）先修课程数学分析，高等代数，常微分方程（六）后继课程微分方程数值解，以及有关研究生课程等（七）考核方式闭卷考试（八）使用教材李庆扬，王能超，易大义. 数值分析. 武汉：华中科技大学出版社，1986年第三版.（九）参考书目（1） 蒋尔雄.数值逼近. 上海：复旦大学出版社，2004（2） 曹志浩.数值线性代数. 上海：复旦大学出版社，1996（3） 易大义、沈云宝、李有法.计算方法. 杭州：浙江大学出版社，2002年第二版（4） M.T.Heath. Scientific Computation: an Introductory Survey. 北京：清华大学出版社，2001，Second Edition二、教学内容第一章 绪论教学目的 宏观上把握什么是数值问题，数值方法的一般技巧。建立误差的概念，并能够对其进行基本分析。主要内容第一节 数值分析的对象与特点第二节 误差来源与误差分析的重要性第三节 误差的基本概念第四节 数值运算中误差分析的方法与原则教学要求理解：理解绝对误差、相对误差、有效数字的概念，以及它们之间的关系。掌握：掌握误差传播的计算方法，以及对一些基本的函数进行恒等变形以增加计算精度的技巧。了解：数值分析的一般技巧。第二章 插值法教学目的 引导学习者理解插值的不同提法、基本的插值思想，掌握基本的插值方法，并可根据实际问题的要求，能够推导出相应的插值函数，并计算截断误差。主要内容第一节 引言第二节 拉格朗日插值第三节 逐次线性插值第四节 均差与牛顿插值公式第五节 差分与等距节点插值公式第六节 埃尔米特插值第七节 分段与低次插值第八节 三次样条插值*教学要求理解：理解插值基函数、插值法、截断误差、差分、差商等基本概念。掌握：掌握拉格朗日插值与牛顿插值这两种形式不同而实质相同的插值方法及其截断误差估计方法。了解：了解分段低次插值、埃尔米特插值、三次样条插值的概念，它们之间的的联系，及其计算方法。第三章 函数逼近与计算教学目的 引导学习者基于与函数插值不同的角度，理解函数逼近之寻求原函数的替代函数的基本思想。阐明数值逼近的基本问题、基本方法，并在此观点下处理曲线拟合问题。主要内容第一节 引言与预备知识第二节 最佳一致逼近多项式第三节 最佳平方逼近第四节 正交多项式第五节 函数按正交多项式展开第六节 近似最佳一致逼近多项式*第七节 曲线拟合的最小二乘法第八节 傅立叶逼近与快速傅立叶变换*教学要求理解：理解内积、函数正交、最佳平方逼近、最佳一致逼近等基本概念；理解最佳一致逼近的切比雪夫定理；理解勒让德多项式、切比雪夫多项式的构造原理与性质。掌握：掌握最佳平方逼近的一般方法以及按勒让德多项式的展开的方法，掌握其误差的计算方法；掌握函数的最佳一次逼近多项式的以及利用切比雪夫多项式求高次多项式的低一阶逼近的方法。了解：从函数逼近的角度了解曲线拟合与傅立叶逼近。第四章 数值积分与数值微分教学目的 引导学习者从函数插值的观点推出机械求积公式，并顺序导出牛顿柯特斯公式，复化公式与龙贝格公式，理解关于方法的代数精度的概念，并应用它们求解问题。主要内容第一节 引言第二节 牛顿柯特斯公式第三节 龙贝格算法第四节 高斯公式第五节 数值微分教学要求理解：理解插值型机械求积、代数精度等基本概念。掌握：掌握推导牛顿柯特斯公式、复化梯形公式、复化梯形的递推公式以及龙贝格公式的方法，并用之于求解数值积分问题。了解：了解高斯求积公式的基本思想，并会用待定系数法确定具体的公式；了解数值微分的基本思想。第五章 常微分方程数值解法教学目的 引导学习者理解常微分方程数值求解的提法，并能够推导出基本的公式，应用之，并进行初步的理论分析。主要内容第一节 引言第二节 尤拉方法第三节 龙格库塔方法第四节 单步法的收敛性和稳定性第五节 线性多步法第六节 方程组和高阶方程的情形第七节 边值问题的数值解法*教学要求理解：理解常微分方程初值问题数值求解的基本概念：单步法、多步法、显式、隐式、精度、单步法收敛性、稳定性的概念等。掌握：掌握尤拉类方法与龙格库塔方法的推导，精度的求法，以及它们的应用。了解：了解基于数值积分的构造出的亚当姆斯显、隐式多步公式，了解基于泰勒展式的构造方法，了解化高阶为方程组的方法。第六章 方程求根教学目的 引导学生理解迭代法的基本思想，收敛性、收敛速度的概念；从不同推导出牛顿迭代法，并应用之解实际问题。主要内容第一节 根的搜索第二节 迭代法第三节 牛顿法第四节 弦截法与抛物线法第五节 代数方程求根*教学要求理解：理解迭代法及其收敛性、收敛速度，牛顿迭代法的构成思想。掌握：掌握牛顿法、弦截法，并应用于一些实际问题的求解。了解：了解如何利用牛顿法解多项式方程。第七章 解线性方程组的直接方法教学目的：引导学生从消元、矩阵分解的不同角度理解并掌握解线性代数方程组的直接法主要内容第一节 引言第二节 高斯消去法第三节 高斯主元素消去法第四节 高斯消去法的变形第五节 向量和矩阵的范数第六节 误差分析教学要求理解：理解向量与矩阵范数、条件数等基本概念。掌握：掌握高斯消去法及其各种改进（列选主元的消去法，全选主元的消去法）；从矩阵分解的角度，掌握几种矩阵分裂格式，并与此形成高斯消去法及其在特殊情况的各种变形（平方根法，追赶法）的方法。了解：利用范数理论对线性方程组进行误差分析。第八章 解线性方程组的迭代法教学目的从矩阵分裂的角度理解并掌握解线性方程组的雅可比、高斯塞德尔、超松弛迭代法；掌握基本的收敛性原理；对特殊的系数矩阵，了解对它们的收敛性分析。主要内容第一节 引言第二节 雅可比迭代法与高斯塞德尔迭代法第三节 迭代法的收敛性第四节 解线性方程组的超松弛迭代法教学要求理解：理解迭代法收敛性的充要条件、充分条件；对于对称正定、对角占优不可约矩阵，理解各种迭代法的收敛性质。掌握：从矩阵分裂的角度掌握解线性方程组的雅可比，高斯-塞德尔，超松弛迭代法第九章 矩阵的特征值与特征向量计算*教学目的 引导学生理解并掌握各种计算方法的适用范围及其推导主要内容第一节 引言第二节 幂法与反幂法第三节 雅可比方法第四节 豪斯荷尔德方法第五节 QR算法基本要求 了解：了解幂法、反幂法。掌握：掌握雅可比方法与QR方法。 注：根据各课程的具体情况编写，但必须写明各章教学目的、要求、内容提要。三、课时分配及其它（一）课时分配课程总教学时数为54学时，安排在第四学期，分单双周上课，共18周。具体分配如下第一章 绪论 2学时第二章 插值法 8学时第三章 函数逼近与计算 8学时第四章 数值积分与数值微分 6学时第五章 常微分方程数值解法 8学时第六章 方程求根 6学时第七章 解线性方程组的直接方法 8学时第八章 解线性方程组的迭代法 6学时第九章 矩阵的特征值与特征向量计算 2学时带*部分可根据实际进度，作选讲内容。（二）考核要求1. 成绩评价平时成绩（含考勤、作业与测验）占30%，期末（卷面）成绩占70%。2命题说明题型应多样化，设计适当的开放性问题。基本题(主要考查学生对数值分析基本概念、基本方法与基本理论的理解）占30、计算题(主要考查学生对数值分析基本方法的具体、灵活