高等数学第六章定积分的应用习题.ppt

,一、定积分应用的类型,1几何应用,平面图形的面积,特殊立体的体积,平面曲线弧长,旋转体的体积,平行截面面积为已知立体的体积,2物理应用,变力作功,水压力,引力,二、构造微元的基本思想及解题步骤,1. 构造微元的基本思想,无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。,元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、 “以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须 是无穷小量之间的代替。将局部 上所对 应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成 定积分 ,2. 在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤：,选取适当的坐标系；,三、典型例题,1. 几何应用,定积分的几何应用包括求平面图形的面积、特殊立体的 体积和平面曲线的弧长。解决这些问题的关键是确定面积元 素、体积元素和弧长元素。,在 上求出微元解析式,把所求的量表示成定积分,确定积分变量和变化范围 ；,【例1】求由 所围成图形的面积。,分析：在直角坐标系下,由给定曲线所围成的几何图形 如图所示。 如果取 为积分变量, 则,解：(1) 确定积分变量和积分区间：,的交点为 和 ,取 为积分变量, 则,由于曲线 和,（2）求微元：任取,如果将图形上方直线的纵坐标记为 ,将图形下方抛物线的纵坐标记为 ,那么， 就是区间 所对应的矩形的面积。因此,（3） 求定积分：所求的几何图形的面积表示为,计算上面的积分得：,分析：曲线的方程为参数方程，围成图形如图所示，,设区间 所对应的曲边梯形面积为,如果取 为积分变量,则 .,解: (1) 确定积分变量和积分区间：选取 为积分变量，,(2) 求微元： , ,(3) 求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：,【例3】设由曲线 ， 及 围成,平面图形 绕 轴, 轴旋转而成的旋转体的体积。,解: (一) 求 绕轴旋转而成的旋转体的体积,（1）确定积分变量和积分区间：绕 轴旋转如图,（2）求微元：对,取 为积分变量,则,（3）求定积分：绕 轴旋转而成的旋转体的体积表示为,计算积分得：,（1）确定积分变量和积分区间：绕 轴旋转如图,取 为积分变量, 则,(二) 求绕 轴旋转而成的旋转体的体积,（2）求微元：对,旋转体的体积元素,是 对应的矩形绕 轴所得的旋转体体积, 即,（3）求定积分：绕 轴所得的旋转体的体积表示为,计算积分得:,【例4】 计算底面是半径为2 的圆，而垂直于底面上一条固定 直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积。,建立如图所示的坐标系，,解: (1) 确定积分变量和积分区间：,则底圆方程为,取 为积分变量, 所以,（2）求微元：因为过点 的截面为等边三角形（如图）， 其边长为 高为,所以截面积为,因此, 对 所对应的体积元素为,（3） 求定积分：所求立体的体积为,分析：所给定的曲线弧如图所示。,对 把区间 上,所对应的曲线段长 用切线段长,代替，则得到弧长的微元 的解析式.,取积分变量为 则,取 为积分变量,则,解: (1) 确定积分变量和积分区间：计算两曲线的交点 的横坐标得,由于,从而,(3) 求定积分：所求的曲线弧长可表示成定积分计算得,【例7】求星形线 的全长.,解: (1) 确定积分变量和积分区间:,取参数 为积分变量,(3) 求定积分：所求的曲线弧长可表示成定积分计算得,则所求曲线弧长为,注：若曲线用极坐标的形式表出，也可转化为直角坐标 来做，但积分时要注意积分上下限的确定。,6.3 定积分在物理学上的应用,定积分的物理应用包括作功、水压力和引力等问题。本节 仅给出作功、水压力和引力问题的例子。,重点强调应用元素法如何确定功元素、水压力元素和引力元素。 特别指出的是，在应用定积分解决物理应用方面的问题时，选 取合适的坐标系，有利于积分式的简化，从而实现计算简单。,一、变力沿直线所作的功,求物体沿直线从a移动到b时，变力F(x)所作的功W,由定积分的物理意义,变力所作的功,功的元素：,一个单,求电场力所作的功 .,解:,当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为,则功的元素为,所求功为,位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a b) ,在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下,例1.,例2.,解:,建立坐标系如图.,压强 p 与体积 V 成反比 , 即,功元素为,故作用在活塞上的力为,所求功为,恒温时,建立坐标系如图.,解:,例3.,设水的密度为,一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?,x,( kN ),这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为,故所求功为,( kJ ),二、水压力,面积为 A 的平板,设水密度为 ,在水深 h 处的压强:,当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受压力因平板上各点处处于不同水深所以压强不等, 从而问题就需用积分解决 .,平板一侧所受的压力为,小窄条x , x +dx 上各点的压强近似为, 的液体 , 求桶的一个端面所受的压力.,解: 建立坐标系如图.,端面圆的,故压力元素,端面所受压力为,方程为,一水平横放的半径为R 的圆桶, 内盛半桶密度为,例4.,取 x 为积分变量, 其变化区间为 0, R ,三、引力,质量分别为,的质点 , 相距 r ,二者间的引力 :,大小:,方