高等数学,清华大学出版社.ppt

,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,播放,刘徽,一、概念的引入,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,2、截杖问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,二、数列的定义,例如,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是定义域为正整数集合的函数,播放,三、数列的极限,问题:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过上面演示实验的观察:,如果数列不收敛, 就说数列是发散的.,注意：,几何解释:,其中,数列极限的定义未给出求极限的方法.,例1,证,所以,注意：,例2,证,所以,说明:常数列的极限等于同一常数.,小结:,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.,例3,证,1.唯一性,定理1.3.1 每个收敛的数列只有一个极限.,证,由定义,故收敛数列极限唯一.,四、数列极限的性质,2.有界性,例如,有界,无界,定理1.3.2 收敛的数列必定有界.,证,由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,例4,证,由定义,区间长度为1.,不可能同时位于长度为1的区间内.,3. 数列及其子数列的极限关系,定理 1.3.3,设 是一个数列. 正整数列 满足,则称数列,是数列,的一个子数列.,若数列 的极限为,则它的任一,子数列 都以 为极限.,例,证明数列 发散.,证明,记,则由,及定理1.3.3知数列 发散.,4. 保号性,设 且 或,则存在正整数,使当 时 或,设 且 或,则 或,证明,因,则可取,使得,于是由 知存在正整数,使当,时有,即,对于 的情况也可类似地证明.,用反证法,设若,则由(1)知存在正整数,当 时,这与假设 矛盾.,推论 (保序性),则存在正整数,使当 时有,(1) 设,且,(2) 设,且,则,注意：,例5,证,设,求证,由题设及定理1.3.4知,若,则有,若,则由 知任给,存在正整数,使当 时,从而,即,于是有,总之有,定理 1.3.5 (极限的四则运算),设 是收敛,数列,则 也都是收敛数列,且,如果,则 也是收敛数列, 且,证明,设,(1) 对任给的,存在正整数,使当,时有,又存在正整数,使当,时有,于是当,时有,对上述,这就证明了,(2) 由于 收敛, 故有界:,而,对于任给的,存在正整数,使当,时有,又存在正整数,使当,时有,于是当,时有,这就证明了,(3),先证明当 时,对于,存在正整数,使当,时有,此时有,这表明在 的条件下数列 中至多有有限,项等于零.,在 的情况下又有,现考虑对于任意给定的,根据,知存在正整数,使当,时有,因此当,时有,这表明,再由上述已证明的(2)即得,例 求极限,解,例 求极限,解,由,知,因此,1.3.3 数列极限存在的条件,1.3.6 （夹逼定理）,证,上两式同时成立,例,解,由夹逼定理得,例 证明,证明,令,则当 时,且,由此得,即,于是由夹逼定理即得,例,设,求证,证明,先设,则当 时,由夹逼定理知,当 时,则,于是,因此,令,例,设 是正整数, 求证,证明,先考虑,设,其中,则,而,故,再考虑任意的正整数,记,则,于是,由此得,例,证明,证明,由,及,利用夹逼定理即得,定理 1.3.7 (单调有界定理),若数列,单调上升,有上界:,则该数列收敛; 类似地, 单调下降且有下界的数列,必收敛.,例,设,证明,数列 的单调上升性是明显的,求证 存在.,下面证明其有上界,故由单调有界定理知 存在.,事实上,例 证明数列,收敛, 并求其极限.,证明,设该数列的通项为,则它显然满足,递推公式,为了证明其单调性,考察,根据此式及,由数学归纳法,知数列 是单调上升的.,下面证明,显然,设若,则,由数学归纳法知,根据单调有界定理,数列 收敛.,设其极限为,则由递推公式有,对此式两端求极限, 得到,解得,根据极限的保号性知,注,对这类由递推公式两端取极限来求极限的,题目, 必须首先证明其极限的存在性, 否则会导,致谬误.,例如,则,若直接对上式两端求极限, 就得到,从而,但显然 不能成立.,例 证明下列两个数列的极限存在且相等:,证明,显然数列 是单调上升的.,又因,即 有上界,故 存在, 记为 ,即,对于数列,利用二项式展开, 有,从而,易知,即数列 单调上升.,由式(1.3.7)可以看出,根据单调有界定理,存在, 记为,再由极限,的保序性知,另一方面, 由式(1.3.7)知当 时,固定,令 对上式取极限, 得,再令,即得,总之,思考题,证明,要使,只要使,从而由,得,取,当 时，必有 成立,思考题解答,（等价）,证明中所采用的,实际上就是不等式,即证明中没有采用“适当放大” 的值,从而 时，,仅有 成立，,但不是 的充分条件,反而缩小为,习题 1.3,1 (1)、(2)、(4)、(5)、(7) (2)、(3)、(5) 4、5、6.,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与