2018版高中数学第三章立体几何中的向量方法3向量法解决空间角和距离问题学案新人教A版.doc

3.2 立体几何中的向量方法（3）向量法解决空间角和距离问题学习目标1.理解直线与平面所成角、二面角的概念.2.掌握向量法解决空间角和距离问题. 3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲.知识点一利用空间向量求空间角思考1空间角包括哪些角？答案线线角、线面角、二面角.思考2求解空间角常用的方法有哪些？答案传统方法和向量法.梳理空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解.(1)线线角：设两条直线的方向向量分别为a，b，且a与b的夹角为，两条直线所成角为，则cos |cos |.(2)线面角：设n为平面的一个法向量，a为直线a的方向向量，直线a与平面所成的角为，则(3)二面角：转化为分别在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的方向向量的夹角(注意：要特别关注两个向量的方向).如图所示，二面角l的大小为，A，Bl，AC，BD，ACl于A，BDl与B，则，.先求出二面角一个面内一点到另一面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角.如图所示，已知二面角l，在内取一点P，过P作PO，PAl，垂足分别为O，A，连接AO，则AOl成立，所以PAO就是二面角的平面角.先求出二面角的两个半平面的法向量的夹角，然后结合图形与题意判断求出的是二面角的大小，还是它的补角的大小，从而确定二面角的大小.知识点二利用空间向量求距离思考1求点到直线距离的常用方法有哪些？答案(1)找垂线段，求其长度；(2)利用等面积法；(3)借助向量的模，利用数量积的几何意义求解.思考2求点到平面的距离的常用方法有哪些？答案(1)确定垂线段法；(2)等体积法；(3)空间向量法.梳理(1)点到直线的距离已知直线l是由向量a所确定的直线，Pl，P0l，如图，在l上的射影长为|cos，a，则点P0到直线l的距离d.(2)点到平面的距离用空间向量法求点到平面的距离具体步骤如下：先确定平面的法向量，再求点与平面内一点的连线形成的斜线段在平面的法向量上的射影长.如图，设n(a，b，c)是平面的一个法向量，P0(x0，y0，z0)为外一点，P(x，y，z)是平面内的任意一点，则点P0到平面的距离d.线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离，因此，只要掌握点到平面距离的求法，就可解决其他的距离问题.类型一求两条异面直线所成的角例1如图，在三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1平面OAB，O1OB60，AOB90，且OBOO12，OA，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小.解建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，O1(0，1，)，A(，0，0)，A1(，1，)，B(0，2，0)，(，1，)，(，1，).|cos，|.异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.反思与感悟在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解.但应用向量法时一定要注意向量所成角与异面直线所成角的区别.跟踪训练1已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值.解不妨设正方体棱长为2，分别取DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(1，0，2)，F(1，1，2)，则(1，0，2)，(1，1，2)，|，|，1043.又|cos，cos，cos，异面直线AE与CF所成角的余弦值为.类型二求直线和平面所成的角例2已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角.解建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，a)，C1，方法一取A1B1的中点M，则M(0，a)，连接AM，MC1，有(a，0，0)，(0，a，0)，(0，0，a).0，0，则MC1AB，MC1AA1，又ABAA1A，MC1平面ABB1A1.C1AM是AC1与侧面ABB1A1所成的角.由于，(0，a)，02a2，|a，|a，cos，.，0，180，30，又直线与平面所成的角在0，90范围内，AC1与侧面ABB1A1所成的角为30.方法二(0，a，0)，(0，0，a)，.设侧面ABB1A1的法向量为n(，y，z)，n0且n0.ay0且az0.yz0.故n(，0，0).，cos，n，|cos，n|.又直线与平面所成的角在0，90范围内，AC1与侧面ABB1A1所成的角为30.反思与感悟用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角.方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算.跟踪训练2如图所示，已知直角梯形ABCD，其中ABBC2AD，AS平面ABCD，ADBC，ABBC，且ASAB.求直线SC与底面ABCD的夹角的余弦值.解由题设条件知，以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示). 设AB1，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，S(0，0，1).(0，0，1)，(1，1，1).显然是底面的法向量，它与已知向量的夹角90，故有sin cos ，0，90，cos .类型三求二面角例3在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角.解方法一如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设PAABa，ACb，连接BD与AC交于点O，取AD中点F，则C(b，0，0)，B(0，a，0)，.D(b，a，0)，P(0，0，a)，E，O，(b，0，0).0，0.EOF等于平面EAC与平面ABCD的夹角(或补角).cos，.平面EAC与平面ABCD的夹角为45.方法二建系如方法一，PA平面ABCD，(0，0，a)为平面ABCD的法向量，(b，0，0).设平面AEC的法向量为m(x，y，z).由得x0，yz.取m(0，1，1)，cosm，.平面AEC与平面ABCD的夹角为45.反思与感悟(1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.跟踪训练3若PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC，求二面角APBC的余弦值.解如图所示建立空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，B(，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，故(0，0，1)，(，1，0)，(，0，0)，(0，1，1)，设平面PAB的法向量为m(x，y，z)，则令x1，则y，故m(1，0).设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则令y1，则z1，故n(0，1，1)，cosm，n.又二面角APBC是钝二面角，二面角APBC的余弦值为.类型四向量法解决距离问题命题角度1点线距离例4在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离.解以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图.设DA2，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，(1，2，1)，(1，0，2).|，110(2)(2)11，在上的投影为.点A到直线EF的距离d.反思与感悟用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)建立空间直角坐标系.(2)求直线的方向向量.(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影.(4)利用勾股定理求点到直线的距离.另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.跟踪训练4如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCDABCD，AB1，BC2，AA3，求点B到直线AC的距离.解AB1，BC2，AA3，A(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，(1，2，3).又(0，2，0)，在上的投影为.点B到直线AC的距离d.命题角度2点面距离例5已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG2，求点B到平面EFG的距离.解建立如图所示的空间直角坐标系，则G(0，0，2)，E(4，2，0)，F(2，4，0)，B(4，0，0)，(4，2，2)，(2，4，2)，(0，2，0).设平面EFG的一个法向量为n(x，y，z).由得xy，z3y.取y1，则n(1，1，3).点B到平面EFG的距离d.反思与感悟利用向量法求点到平面的距离的一般步骤(1)建立空间直角坐标系.(2)求出该平面的一个法向量.(3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量.(4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离.跟踪训练5在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点，AA1AB2.(1)求证：A1C平面AB1D；(2)求点C1到平面AB1D的距离.(1)证明如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA所在直线为x轴，y轴，过点D且与AA1平行的直线为z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，C(1，0，0)，B1(1，0，2)，A1(0，2)，A(0，0)，C1(1，0，2)，(1，2)，(1，2)，(0，0).设平面AB1D的一个法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则y0，x2.n(2，0，1).n12()0(2)10，n.A1C平面AB1D，A1C平面AB1D.(2)解由(1)知平面AB1D的一个法向量n(2，0，1)，且(1，2)，点C1到平面AB1D的距离d.命题角度3线面距离与面面距离例6在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为直角梯形，ABCD且ADC90，AD1，CD，BC2，AA12，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离.解如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A1(1，0，2)，A(1，0，0)，E(0，1)，C(0，0).过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF，B(1，2，0)，(0，2，0)，(1，1).设平面ABE的一个法向量为n(x，y，z)，则y0，xz，不妨取n(1，0，1).(0，0，2)，A1B1到平面ABE的距离d.反思与感悟(1)求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可.(2)将两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可.跟踪训练6已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离.解以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，(0，1，1)，(1，0，1)，(1，0，0).设平面A1BD的一个法向量为n(x，y，z)，则令z1，得y1，x1，n(1，1，1).点D1到平面A1BD的距离d.平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.1.在一个二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，1，3)，(2，2，4)，则这个二面角的余弦值为()A. B. C. D.或答案D解析由，知这个二面角的余弦值为或，故选D.2.已知三棱锥OABC，OAOB，OBOC，OCOA，且OA1，OB2，OC2，则点A到直线BC的距离为()A. B. C. D.3答案B解析以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意可知A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，(1，2，0)，(0，2，2)，|，.点A到直线BC的距离d.3.已知在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值是()A. B. C. D.答案A解析以D为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.设AA12AB2，则B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，C1(0，1，2)，故(1，1，0)，(0，1，2)，(0，1，0)，设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则y2，x2，所以n(2，2，1).设直线CD与平面BDC1所成的角为，则sin |cosn，|.4.设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(5，4，8)，则点D到平面ABC的距离为 .答案解析设平面ABC的一个法向量为n(x，y，z).n0，n0，即令z2，则n(3，2，2).又(7，7，7)，点D到平面ABC的距离为d.5.在矩形ABCD中，AB1，BC，PA平面ABCD，PA1，则PC与平面ABCD所成的角是 .答案30解析建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，C(1，0)，(1，1)，平面ABCD的一个法向量为n(0，0，1)， 所以cos，n，又因为，n0，180，所以，n120，所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60，所以斜线PC与平面ABCD所成角为30.1.向量法求角(1)两条异面直线所成的角可以借助这两条直线的方向向量的夹角求得，即cos |cos |.(2)直线与平面所成的角可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即sin |cos |或cos sin .(3)二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角.2.向量法求距离(1)求P，Q两点间的距离，可转化为求的模.(2)点到平面距离的求法：设n是平面的法向量，B是平面外一点，A是平面内一点，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为d.(3)线面距离、面面距离均可转化为点面距离，利用(2)中的方法求解.40分钟课时作业一、选择题1.若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于()A.30 B.150 C.30或150 D.以上均错答案A解析异面直线所成角的范围是(0，90，所以l1与l2这两条异面直线所成的角为18015030.2.已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角为()A.45 B.135 C.45或135 D.90答案C解析cosm，n，即m，n45.所以两平面所成二面角为45或18045135.3.设直线l与平面相交，且l的方向向量为a，的法向量为n，若a，n，则l与所成的角为()A. B. C. D.答案C解析线面角的范围是.a，n，l与法向量所在直线所成角为，l与所成的角为.4.已知在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB1与ED1所成角的余弦值为()A. B. C. D.答案A解析A(2，2，0)，B1(2，0，2)，E(0，1，0)，D1(0，2，2)，(0，2，2)，(0，1，2)，|2，|，0242，cos，AB1与ED1所成角的余弦值为.5.如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA平面ABCD，PAADAC，点F为PC的中点，则二面角CBFD的正切值为()A. B. C. D.答案D解析如图所示，连接BD，ACBDO，连接OF.以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PAADAC1，则BD.所以B，F，C(0，0)，D(，0，0).结合图形可知，且为平面BOF的一个法向量，由，可求得面BCF的一个法向量为n(1，).所以cosn，sinn，所以tann，.6.如图，已知矩形ABCD与ABEF全等，DABE为直二面角，M为AB中点，FM与BD所成角为，且cos .则AB与BC的边长之比为()A.11 B.1 C.2 D.12答案C解析设ABa，BCb，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则相关各点坐标为F(b，0，0)，M(0，0)，B(0，a，0)，D(0，0，b).(b，0)，(0，a，b)，所以|，|，|cos，|，整理得，45260，解得2或(舍).所以.二、填空题7.在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n(2，2，1).已知点P(1，3，2)，则点P到平面OAB的距离d .答案2解析d2.8.若两个平面，的法向量分别是n(1，0，1)，v(1，1，0)，则这两个平面所成的锐二面角是 .答案60解析cosn，v且n，v0，180，n，120.故两平面所成的锐二面角为60.9.如图，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD90，且PAAD2，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为 .答案解析建立如图所示空间直角坐标系，则E(0，0，1)，F(1，2，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0).(1，2，1)，(2，2，0)，故cos，.10.在空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC，则cos，的值为 .答案0解析()|cos |cos |(|)0.c