（浙江专用）高考数学第八章平面解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系教案（含解析）.docx

第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系1直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)相离相切相交图形量化方程观点000几何观点drdrdr2圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|d|r1r2|小题体验1(2018宁波一中月考)若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是()A3，1B1,3C3,1 D(，31，)解析：选C由题意得圆心为(a,0)，半径为.圆心到直线的距离为d，由直线与圆有公共点可得，即|a1|2，解得3a1.实数a的取值范围是3,12已知圆x2y22x2ya0截直线xy20所得弦长为4，则实数a的值是()A2 B4C6 D8解析：选B将圆的方程化为标准方程为(x1)2(y1)22a，所以圆心为(1,1)，半径r，圆心到直线xy20的距离d，又r2d24，即2a24，所以a4.3(2018宁波调研)点P在圆C1：x2y28x4y110上，点Q在圆C2：x2y24x2y10上，则|PQ|的最小值是_；|PQ|的最大值是_解析：把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，分别为(x4)2(y2)29，(x2)2(y1)24.圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径是3；圆C2的圆心坐标是(2，1)，半径是2.圆心距d3.所以|PQ|的最小值是35，|PQ|的最大值为35.答案：35351对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在的情形2两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形小题纠偏1过点(2,3)与圆(x1)2y21相切的直线的方程为_解析：若切线的斜率存在时，设圆的切线方程为yk(x2)3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，得k，所以切线方程为4x3y10，若切线的斜率不存在，则切线方程为x2，也是圆的切线，所以直线方程为4x3y10或x2.答案：x2或4x3y102若圆x2y21与圆(x4)2(ya)225相切，则常数a_.答案：2或0题组练透1直线yxm与圆x2y21在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是()A(，2)B(，3)C. D.解析：选D当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m1；当直线与圆相切时圆心到直线的距离d1，解得m(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1m.2(2018大庆二模)已知P是直线l：kxy40(k0)上一动点，PA，PB是圆C：x2y22y0的两条切线，切点分别为A，B，若四边形PACB的面积最小为2，则k的值为()A3 B2C1 D.解析：选B易知圆C的圆心C(0,1)，半径r1，S四边形PACBPAACPA，当|CP|最小，即CP直线kxy40时，四边形PACB的面积最小，由四边形PACB的面积最小为2，得|CP|min，由点到直线的距离公式得|CP|min，k0，k2.3(2018衡水中学期中考试)若圆(xa)2(ya)28上总存在到原点的距离为的点，则实数a的取值范围是_解析：圆(xa)2(ya)28的圆心(a，a)到原点的距离为|a|，半径r2，且圆(xa)2(ya)28上总存在到原点的距离为的点，2|a|2，1|a|3，解得1a3或3a1，实数a的取值范围是3，11,3答案：3，11,3谨记通法判断直线与圆的位置关系一般有2种方法(1)几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系这种方法的特点是计算量较小(2)代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大，能用几何法，尽量不用代数法锁定考向与圆有关的切线及弦长问题，是近年来高考的一个热点，常见的命题角度有：(1)求圆的切线方程(切线长)；(2)求弦长；(3)由弦长及切线问题求参数 题点全练角度一：求圆的切线方程(切线长)1(2018金华调研)过点(3,1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A2xy50B2xy70Cx2y50 Dx2y70解析：选B过点(3,1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，点(3,1)在圆(x1)2y2r2上，圆心与切点连线的斜率k，切线的斜率为2，圆的切线方程为y12(x3)，即2xy70.角度二：求弦长2(2018全国卷)直线yx1与圆x2y22y30交于A，B两点，则|AB|_.解析：由x2y22y30，得x2(y1)24.圆心C(0，1)，半径r2.圆心C(0，1)到直线xy10的距离d，|AB|222.答案：2角度三：由弦长及切线问题求参数3直线ykx3与圆(x2)2(y3)24相交于M，N两点，若|MN|2，则k的取值范围是()A. B.C. D.解析：选B设圆心C(2,3)到直线ykx3的距离为d，若|MN|2，则d2r22431，即1，解得k.通法在握1圆的切线方程的2种求法(1)代数法：设切线方程为yy0k(xx0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式0进而求得k.(2)几何法：设切线方程为yy0k(xx0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令dr，进而求出k.提醒若点M(x0，y0)在圆x2y2r2上，则过M点的圆的切线方程为x0xy0yr2.2弦长的2种求法(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程在判别式0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l2.演练冲关1一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为()A或 B或C或 D或解析：选D由已知，得点(2，3)关于y轴的对称点为(2，3)，由入射光线与反射光线的对称性，可知反射光线一定过点(2，3)设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.由反射光线与圆相切，得d1，解得k或k.2(2018山西三地五校联考)过原点且与直线xy10平行的直线l被圆x2(y)27所截得的弦长为_解析：由题意可得l的方程为xy0，圆心(0，)到l的距离d1，所求弦长l222.答案：2典例引领(2018浙江五校联考)已知两圆x2y22x6y10，x2y210x12ym0.(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切？(3)当m45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长解：因为两圆的标准方程分别为(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m，所以两圆的圆心分别为(1,3)，(5,6)，半径分别为，(1)当两圆外切时，由，得m2510.(2)当两圆内切时，因为定圆半径小于两圆圆心之间的距离5，所以5，解得m2510.(3)由(x2y22x6y1)(x2y210x12y45)0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x3y230.故两圆的公共弦的长为22.由题悟法解决圆与圆位置关系问题的2大通法(1)处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到即时应用1(2018嘉兴调研)已知圆C1：(x2a)2y24和圆C2：x2(yb)21只有一条公切线，若a，bR且ab0，则的最小值为()A1B3C. D9解析：选D由题可知，圆C1的圆心为(2a,0)，半径为2，圆C2的圆心为(0，b)，半径为1，因为两圆只有一条公切线，所以两圆相内切，所以21，即4a2b21.因为a，bR且ab0，所以(4a2b2)5529，当且仅当，即a2，b2时等号成立所以的最小值为9，故选D.2(2018嘉兴高级中学模拟)圆x2y24与圆(x1)2(y2)24相交所得公共弦所在的直线方程为_；其长度为_解析：由题可得，公共弦所在直线方程为2x4y50，因为圆心(0,0)到直线的距离d，所以公共弦长为2 .答案：2x4y50一抓基础，多练小题做到眼疾手快1圆(x1)2(y2)26与直线2xy50的位置关系是()A相切B相交但不过圆心C相交过圆心 D相离解析：选B由题意知圆心(1，2)到直线2xy50的距离d且21(2)50，所以直线与圆相交但不过圆心2(2018洛阳一模)已知圆C：(x1)2y2r2(r0)，设p：0r3，q：圆上至多有两个点到直线xy30的距离为1，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件解析：选B圆心C到直线xy30的距离d2，当0r1时，圆上没有到直线的距离为1的点；当r1时，圆上恰有一个点到直线的距离为1；当1r3时，圆上有两个点到直线的距离为1.当q成立时，0r3，而p：0r3，qp，而p/ q，p是q的必要不充分条件，故选B.3若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m()A21 B19C9 D11解析：选C圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r11，因为圆C2的方程可化为(x3)2(y4)225m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2(m25)从而|C1C2|5.由两圆外切得|C1C2|r1r2，即15，解得m9.4(2018绍兴五校联考)已知圆O：x2y29，过点C(2,1)的直线l与圆O交于P，Q两点，则当OPQ的面积最大时，直线l的方程为()Axy30或7xy150Bxy30或7xy150Cxy30或7xy150Dxy30或7xy150解析：选D当直线l的斜率不存在时，l的方程为x2，则P，Q的坐标分别为(2，)，(2，)，所以SOPQ222.当直线l的斜率存在时，设l的方程为y1k(x2)，则圆心O到直线l的距离d，由平面几何知识得|PQ|2，则SOPQ|PQ|d2d ，当且仅当9d2d2，即d2时，SOPQ取得最大值.因为2，所以SOPQ的最大值为，此时2，解得k1或k7，此时直线l的方程为xy30或7xy150.故选D.5由直线yx1上的一点向圆(x3)2y21引切线，则切线长的最小值为_. 解析：设直线上一点为P，切点为Q，圆心为M，则|PQ|即切线长，|MQ|为圆M的半径，长度为1，|PQ|.要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线yx1上的点到圆心M的最小距离，设圆心到直线yx1的距离为d，则d2.所以|PM|的最小值为2.所以|PQ| ，即切线长的最小值为.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1(2018合肥一模)设圆x2y22x2y20的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|2，则直线l的方程为()A3x4y120或4x3y90B3x4y120或x0C4x3y90或x0D3x4y120或4x3y90解析：选B当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x0，联立方程得或|AB|2，符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx3，圆x2y22x2y20，即(x1)2(y1)24，其圆心为C(1,1)，圆的半径r2，圆心C(1,1)到直线ykx3的距离d .d22r2，34，解得k，直线l的方程为yx3，即3x4y120.综上，直线l的方程为3x4y120或x0.故选B.2若直线l：ykx1(k0)与圆C：x24xy22y30相切，则直线l与圆D：(x2)2y23的位置关系是()A相交 B相切C相离 D不确定解析：选A因为圆C的标准方程为(x2)2(y1)22，所以其圆心坐标为(2,1)，半径为，因为直线l与圆C相切所以，解得k1，因为k0，所以k1，所以直线l的方程为xy10.圆心D(2,0)到直线l的距离d，所以直线l与圆D相交3(2018温州调研)过点P(1，2)作圆C：(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为()Ay ByCy Dy解析：选B圆(x1)2y21的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC|2为直径的圆的方程为(x1)2(y1)21，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y10，即y.4(2018台州调研)已知圆C1：(xa)2(y2)24与圆C2：(xb)2(y2)21 相外切，则ab的最大值为()A.B.C. D2解析：选C由圆C1与圆C2相外切，可得213，即(ab)29，根据基本不等式可知ab2，当且仅当ab时等号成立，即ab的最大值为.5过点(，0)引直线l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率为()A. BC D解析：选B由SAOB|OA|OB|sinAOBsinAOB，可知当AOB时，AOB的面积最大，为.此时点O到直线AB的距离d.设直线AB的方程为yk(x)(k0)，即kxyk0.则d，解得k.6(2019台州模拟)已知kR，点P(a，b)是直线xy2k与圆x2y2k22k3的公共点，则ab的最大值为()A15 B9C1 D解析：选B由题意得，且k22k30，解得3k1.因为2ab(ab)2(a2b2)4k2(k22k3)3k22k332，所以当k3时，2ab取得最大值18，即ab取得最大值9.7已知直线xya0与圆心为C的圆x2y22x4y40相交于A，B两点，且ACBC，则实数a的值为_解析：由x2y22x4y40得(x1)2(y2)29，所以圆C的圆心坐标为C(1,2)，半径为3，由ACBC，可知ABC是直角边长为3的等腰直角三角形，故可得圆心C到直线xya0的距离为，由点到直线的距离公式可得，解得a0或a6.答案：0或68(2018衡水周测)若点P在圆C1：(x2)2(y2)21上，点Q在圆C2：(x2)2(y1)24上，则|PQ|的最小值是_解析：因为圆C1：(x2)2(y2)21的圆心坐标为C1(2,2)，半径r11，圆C2：(x2)2(y1)24的圆心坐标为C2(2，1)，半径r22，则|C1C2|521，所以两圆的位置关系是相离又点P在圆C1上，点Q在圆C2上，则|PQ|的最小值是|C1C2|(r1r2)532.答案：29已知直线l：ykx1，圆C：(x1)2(y1)212.(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长解：(1)证明：因为不论k为何实数，直线l总过定点P(0,1)，而|PC|2，所以点P(0,1)在圆C的内部所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点(2)由平面几何知识知过圆内定点P(0,1)的弦，只有与PC(C为圆心)垂直时才最短，而此时点P(0,1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|22，即直线l被圆C截得的最短弦长为2.10已知圆C：x2y22x4y10，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.(1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；(2)求满足条件|PM|PO|的点P的轨迹方程解：把圆C的方程化为标准方程为(x1)2(y2)24，圆心为C(1,2)，半径r2.(1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x1，C到l的距离d2r，满足条件当l的斜率存在时，设l的方程为y3k(x1)，即kxy3k0，则2，解得k.切线l的方程为y3(x1)，即3x4y150.综上，满足条件的切线l的方程为x1或3x4y150.(2)设P(x，y)，则|PM|2|PC|2|MC|2(x1)2(y2)24，|PO|2x2y2，|PM|PO|，(x1)2(y2)24x2y2，整理得2x4y10，点P的轨迹方程为2x4y10.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1两圆x2y22axa240 和x2y24by14b20恰有三条公切线，若aR，bR且ab0，则的最小值为()A1 B3C. D.解析：选Ax2y22axa240，化为标准形式为(xa)2y24，x2y24by14b20，化为标准形式为x2(y2b)21.依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和，则123，即a24b29，所以1，当且仅当，即ab时取等号，故的最小值为1.2(2018宁波十校联考)已知直线l：4x3y100，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方(1)求圆C的方程；(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设圆心C(a,0)，则2a0或a5(舍去)所以圆C的方程为x2y24.(2)当直线ABx轴时，x轴平分ANB成立当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk(x1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k21)x22k2xk240，所以x1x2，x1x2.若x轴平分ANB，则kANkBN002x1x2(t1)(x1x2)2t02t0t4，所以当点N为(4,0)时，能使得ANMBNM总成立故当点N为(4,0)时，使得x轴平分ANB.命题点一直线的方程、两条直线的位置关系1(2013天津高考)已知过点P(2,2) 的直线与圆(x1)2y25相切，且与直线axy10垂直，则a()AB1C2 D.解析：选C由切线与直线axy10垂直，得过点P(2,2)与圆心(1,0)的直线与直线axy10平行，所以a，解得a2.2(2018北京高考)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos ，sin )到直线xmy20的距离当，m变化时，d的最大值为()A1 B2C3 D4解析：选C由题知点P(cos ，sin )是单位圆x2y21上的动点，所以点P到直线xmy20的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离又直线xmy20恒过点(2,0)，所以当m变化时，圆心(0,0)到直线xmy20的距离的最大值为2，所以点P到直线xmy20的距离的最大值为3，即d的最大值为3.3(2016上海高考)已知平行直线l1：2xy10，l2：2xy10，则l1，l2的距离为_解析：因为l1l2，所以两直线的距离d.答案：命题点二圆的方程、直线与圆的位置关系1(2015北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A(x1)2(y1)21 B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22解析：选D圆的半径r，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x1)2(y1)22.2(2015全国卷)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A. B.C. D.解析：选BA(1,0)，B(0，)，C(2，)，ABBCAC2，ABC为等边三角形，故ABC的外接圆圆心是ABC的中心，又等边ABC的高为，故中心为，故ABC外接圆的圆心到原点的距离为.3(2016全国卷)已知直线l：xy60与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|_.解析：如图所示，直线AB的方程为xy60，kAB，BPD30，从而BDP60.在RtBOD中，|OB|2，|OD|2.取AB的中点H，连接OH，则OHAB，OH为直角梯形ABDC的中位线，|OC|OD|，|CD|2|OD|224.答案：44(2018江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若0，则点A的橫坐标为_解析：法一：设A(a,2a)，则a0.又B(5,0)，故以AB为直径的圆的方程为(x5)(xa)y(y2a)0.由题意知C.由解得或D(1,2)又0，(5a，2a)，(5a，2a)a25a0，解得a3或a1.又a0，a3.法二：如图，AB为圆C的直径，ADBD，BD为B到直线l的距离，且BD2.CDACBC，CDAB，ABBD2，设A(a,2a)，a0，则AB2，解得a1或a3.又a0，a3.答案：35(2016全国卷)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若|AB|2，则圆C的面积为_解析：圆C：x2y22ay20化为标准方程为x2(ya)2a22，所以圆心C(0，a)，半径r，因为|AB|2，点C到直线yx2a，即xy2a0的距离d，由勾股定理得22a22，解得a22，所以r2，所以圆C的面积为224.答案：46(2017江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A(12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2y250上若20，则点P的横坐标的取值范围是_解析：设P(x，y)，则(12x，y)(x，6y)x(x12)y(y6)20.又x2y250，所以2xy50，所以点P在直线2xy50的上方(包括直线上)又点P在圆x2y250上，由解得x5或x1，结合图象，可得5x1，故点P的横坐标的取值范围是5，1答案：5，17(2015全国卷)一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_解析：由题意知a4，b2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，2)，右顶点的坐标为(4,0)由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，2)，(4,0)三点设圆的标准方程为(xm)2y2r2(0m4，r0)，则解得所以圆的标准方程为2y2.答案：2y28(2016全国卷)已知直线