自动控制-数学模型,laplace变换.ppt

2.2 系统的传递函数,微分方程传递函数,传递函数是经典控制理论中对线性系统进行研究、分析与综合的基本数学工具。 对标准形式的微分方程进行Laplace变换，可将其化为代数方程。在此基础上前进一步，将此代数方程右端变量的算子除以左端变量的算子，则可获得传递函数。,数学工具拉普拉斯变换与反变换, 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 t0时，f(t)分段连续 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作 拉氏变换基本定理 线性定理 位移定理 延迟定理 终值定理,数学工具拉普拉斯变换与反变换续,初值定理 微分定理 积分定理 拉氏反变换 F(s)化成下列因式分解形式： (a).F(s)中具有不同的极点时，可展开为,(b).F(s)含有共扼复数极点时，可展开为,(c).F(s)含有多重极点时，可展开为,其余各极点的留数确定方法与上同。,一、传递函数,设有线性定常系统，若输入为xi (t )，输出为xo (t),在零初始条件下，即当外界输入作用前，输入、输出的初始条件xi (t )， xo (t)其各阶系数在t=0是的值均为零，即零初始条件,对上式中各项分别求拉氏变换，并令 Xi(s)Lxi(t)，Xo(s)=Lxo(t) 可得s的代数方程为,在外界输入作用前，输入、输出的初始条件为零时，线性定常系统、环节或元件的输出xo(t)的Laplace变换Xo (S)与输入xi (t)的Laplace变换Xi (s)之比，称为该系统、环节或元件的传递函数G（s),(2.2.3),输入 r(t) 输出 c(t),传递函数的主要性质,G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。,传递函数是复变量s的有理真分式函数， mn，具有复变量函数的所有性质。,性质1,性质2,性质3,G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。,如果将,置换,如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。,性质4,如果系统的G(s)未知，可以给系统加上已知的输入，研究其输出，从而得出传递函数，一旦建立G(s)可以给出该系统动态特性的完整描述，与其它物理描述不同。,性质5,传递函数数学模型 是（表示）输出变量和输入变量微分方程的运算模型（operational mode）,传递函数与微分方程之间有关系。,性质6,二、传递函数的零点、极点和放大系数,因式分解传递函数G(s),极点是微分方程的特征跟，因此，决定了所描述系统自由运动的模态。,为传递函数的零点,为传递函数的极点,极点,p和+j是系统传递函数极点，也就是微分方程的特征根，假定所有的极点是负数或具有负实部的复数，即p0, 0,当t 时，上述分量将趋近于零，瞬态响应是收敛的。 在这种情况下，系统是稳定的 系统是否稳定由极点性质决定,根据Laplace变换求解微分方程可知，系统的瞬态响应，由以下形式的分量构成,零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大 零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小 如果零极点重合该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。,放大系数G(0),S=0,Xi(s)=1/s 单位阶跃函数，系统的稳态输出,G(0)决定着系统的稳态输出值，由式(2.2.3)可知,G(0)就是系统的放大系数，它由系统微分方程的常数项决定。,小节,系统传递函数的零点、极点和放大系数决定着系统的瞬态性能和稳态性能。所以，对系统的研究可变成对系统传递函数零点、极点和放大系数的研究。,三、典型环节的传递函数,1.比例环节 输出量与输入量成正比，输出不失真也不延迟而按比例地反映输入的环节称为比例环节 动力学方程,传递函数,电位器将线位移或角位移变换为电压量的装置。 单个电位器用作为信号变换装置。,单位角位移，输出电压(v/rad) E -电位器电源(v) 电位器最大工作角(rad),2.惯性环节（一阶惯性环节）,惯性环节一般包含一个储能元件和一个耗能元件。 动力学方程,传递函数,3.微分环节,输出正比于输入的微分，T为时间常数。 微分环节不能单独存在 动力学方程,传递函数,微分环节的作用,(1)使输出提前 是输入的导数，反映输入的变化趋势 (2)增加系统的阻尼 (3)强化了噪声的作用 对噪声的灵敏度提高，增大了因干扰引起的误差。,4.积分环节,具有输出正比于输入对时间的积分的环节 在系统中凡有储存或积累特点的元件，都有积分环节的特性。 T为积分环节的时间常数 动力学方程,传递函数,5.振荡环节（二阶惯性环节）,传递函数,6.延时环节（迟延环节）,延时环节是输出滞后输入时间但不失真地反映输入的环节 动力学方程,传递函数,四、典型环节及其传递函数 任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。,典型环节通常分为以下六种：,1 比例环节,2 惯性环节,式中 K-增益 特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。 实例：电子放大器，齿轮，电阻(电位器)，感应式变送器等。,式中 T-时间常数 特点：含一个储能元件，对突变的输入,其输出,不能立即复现，输出无振荡。 实例：RC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。,特点： 输出量正比输入量变化的速度，能预示输入 信号的变化趋势。 实例： 测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。,3 微分环节,理想微分 一阶微分 二阶微分,4 积分环节,式中 阻尼比 -自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率） 特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。 实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。,特点： 输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。 实例： 电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。,5 振荡环节,6 纯时间延时环节,式中 延迟时间 特点： 输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。 实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。,五、传递函数环节与负载效应,(1)传递函数框图中的环节和实物不是一一对应 传递函数框图中的环节是根据运动微分方程划分的，一个环节并不一定代表一个物理的元件（物理的环节或子系统），一个物理的元件（物理的环节或子系统）也不一定就是一个传递函数环节； 换言之，也许几个物理元件的特性才组成一个传递函数环节，也许一个物理元件的特性分散在几个传递函数环节之中。 从根本上讲，这取决于组成系统的各物理的元件（物理的环节或子系统）之间有无负载效应。,五、传递函数环节与负载效应（续1）,（2)不要把表示系统结构情况的物理框图与分析系统的传递函数的框图混淆起来。 千万不要不加分析地将物理框图中的每一个物理元件（环节、子系统）本身的传递函数代入到物理框图中的相应框中，并进而将整个框图作为传递函数框图进行数学分析，这就会造成不计及负载效应的错误。 只有组成整个系统的物理的元件（物理的环节或子系统）之间无负载效应时，上述的代入才是正确的，物理框图与传递函数框图才是一致的。,负载效应,忽略负载效应,五、传递函数环节