重庆邮电大学自控原理课件自动控制原理第五章下.ppt

5.2.6 传递函数的实验频域确定 由实测开环波德图求开环传递函数是由已知的开环传递函数求开环波德图的逆过程，方法有共同之处。步骤如下： 1.在需要的频率范围内，给被测系统输入不同频率的正弦信号，测量相应输出的稳态幅值与相位，作出对数幅频特性与相频特性曲线； 2.根据对数幅频特性曲线，由0、20、40dB/dec斜率的线段近似，求出其渐近线； 3.由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K 低频渐近线的表达式为L()=20lgK-20vlg。可首先由低频段的斜率确定v，再由低频段上的一个具体点的坐标确定K，如可代L(1)=20lgK；,2019年7月4日,5.由渐近线的每个转折点确定各典型环节的转折频率；并由渐近线在转折点斜率的变化量确定串联的各典型环节。如若在转折频率处，斜率减小20dB/dec，则必有惯性环节；,2019年7月4日,若在转折频率处，斜率增加20dB/dec，则必有一阶微分环节G(s)=(s+1)；,若在转折频率处，斜率减去40dB/dec，则有振荡环节；,二阶系统的阻尼比可由谐振峰值的大小查表求取,2019年7月4日,2019年7月4日,小结： 1 低频段确定K 、V 斜率确定积分、微分环节个数 起始段（或延长线）在 =1处高度为20lgK， L()=20lgK- 20 V lg a.对一型v=0 起始斜率0 b. 对一型v=1 起始斜率 -20 c. 对二型v=2（起始斜率 -40 ） 2转折频率对应斜率变化确定惯性，振荡，一阶微分，二阶微分。,5.3 频率域稳定判据,2019年7月4日,系统稳定的充分必要条件是系统闭环特征根都具有负实部，即位于s左半平面。在时域分析中判断系统的稳定性，一种方法是求出特征方程的全部根，另一种方法就是使用劳思-赫尔维茨稳定判据（代数判据）。然而，这两种方法都有不足之处，对于高阶系统，非常困难且费时,也不便于研究系统参数、结构对稳定性的影响。 特别是，如果知道了开环特性，要研究闭环系统的稳定性，还需要求出闭环特征方程，无法直接利用开环特性判断闭环系统的稳定性。而对于一个自动控制系统，其开环数学模型易于获取，同时它包含了闭环系统所有环节的动态结构和参数。,2019年7月4日,除劳斯判据外，分析系统稳定性的另一种常用判据为奈奎斯特（Nyquist）判据。Nyquist稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的，是频率法的重要内容，简称奈氏判据。奈氏判据的主要特点有 1.根据系统的开环频率特性，来研究闭环系统稳定性，而不必求闭环特征根； 2.能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）。 3.可用于分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析与设计； 4.基于系统的开环奈氏图，是一种图解法。,2019年7月4日,2019年7月4日,5.3.2 奈奎斯特稳定判据,2019年7月4日,1. 绘制由0变到+ 时的开环幅相频率特性G(j) 由0变到+时的开环幅相频率特性 G(j) 逆时针包围(-1,j0)点的圈数为 N ， 已知系统开环右极点数为 P ，则系统闭环右极点个数为 Z （不包括虚轴上的极点）： Z = P -2 N 当Nyquist曲线G(j) 通过(-l, j0)点时,表明在s平面虚轴上有闭环极点，系统处于临界稳定状态，属于不稳定。,开环频率特性曲线逆时针穿越（-，-1）区间时，随增加，频率特性的相角值增大，称为一次正穿越N+。 反之，开环频率特性曲线顺时针穿越（-，-1）区间时，随增加，频率特性的相角值减小，则称为一次负穿越N-。 频率特性曲线包围(-1,j0)点的情况，就可以利用频率特性曲线在负实轴（-，-1）区间的正、负穿越来表达。,2019年7月4日,2.采用穿越的概念简化复杂曲线包围次数的计算,由0变到+ 时开环频率特性曲线要形成对(-1,j0)点的一次包围，势必穿越（-，-1）区间一次。,由0变到+ 时的开环幅相频率特性G(j)对(-1,j0)点的总包围次数为 N = ( N+ -N- ) 利用正、负穿越情况的奈奎斯特稳定判据叙述为： Z = P +2N=P+2( N+ -N- ),2019年7月4日,注意奈氏曲线在 (-1,j0)点以右负实轴上相位有变化不算穿越。,3.半次穿越 奈氏曲线始于或止于(-1,j0)点以左负实轴，称为一个半次穿越，如图所示。,2019年7月4日,2019年7月4日,（图b） （图c） （图d） （图e）,例某系统开环传递函数如下，试判断闭环系统的稳定性。,2019年7月4日,由于曲线始于（-3，j0）点，故顺时针包围（-1，j0）点的次数为1/2，N-=1/2。由于开环右极点数为P=0，故 Z = P-2（ 0-N-） = P+2N- =1 闭环系统有一个右极点，闭环不稳定。,由图可以看出,当由0变到+时, G(j)矢量在(-1,j0)点以左负实轴上正负穿越次数各一次。 Z = P -2（ N+ - N- ） =0。 故由奈氏稳定判据知该闭环系统是稳定的。,2019年7月4日,例 经实验测得某最小相位系统的开环奈氏图如图所示，判断闭环稳定性。,由于为最小相位系统，开环右极点数P=0，且为0型系统，故直接利用开环频率特性G(j)的轨迹判断稳定性。,4.型别v1系统开环频率特性G(j)曲线的处理 在=0附近,幅相特性以为半径,逆时针补画= v90的圆弧，添加圆弧后相当于得到新的开环频率特性G(j)曲线。 此圆弧与实轴或虚轴的交点相当于新的起点，对应=0，原有曲线的起点对应于=0+。注意所指曲线仍为由0变到+时的开环幅相频率特性G(j) 。 当系统的开环奈氏曲线作如上处理后，代入简化奈氏稳定判据即可，且系统在虚轴上的0值开环极点作左极点处理。 Z = P -2（ N+ -N- ）,2019年7月4日,例判断图示系统的闭环稳定性,2019年7月4日,18,例 已知系统的开环传递函数为 试用乃氏稳定判据判别该闭环系统的稳定性。 解：由于开环传递函数在坐标原点处有重极点，由上述的讨论可知，逆时针围绕原点的半径为 的半圆在GH平面上的映射曲线为一半径无穷大的圆，它与乃氏曲线 相连接后的闭合曲线如下张图所示。,19,由图可见，不论K值的大小如何，奈氏曲线总是以顺时针方 向围绕点（-1，j0）旋转， N_=1,N+=0, R-2。由于开环系统P0， 所以Z2，表示该闭环系统总 是不稳定的,且其在s的右半平 面上有2个极点。,20,例58 已知单位反馈系统开环幅相曲线 如图所示，试确定系统闭环稳定时K值的范围。 解: 如图所示，开环幅相曲线与负实轴有三个交点，设交点 处穿越频率分别为 ，,21,系统开环传函 由题设条件 知，和 当取 时 若令 ，可得对应的K值,22,对应地，分别取 和 时，开环幅相曲线分别如图所示，图中按 补作虚圆 弧得半闭合曲线 。,23,根据曲线 计算包围次数，并判断系统闭环稳定性： 闭环系统稳定； 闭环系统不稳定； 闭环系统稳定； 闭环系统不稳定。 综上可得,系统闭环稳定时的K值范围为 和 。 当K等于 和20时， 穿过临界点 ，且在这 三个值的邻域，系统闭环稳定或不稳定，因此系统闭环临 界稳定。,5.3.3 对数频率稳定判据,由于系统开环对数频率特性曲线的绘制较奈奎斯特曲线更为简单、方便，自然使用伯德图来进行系统稳定性判别就更适用。该判据不但可以回答系统稳定与否的问题，还可以研究系统的稳定裕量（相对稳定性），以及研究系统结构和参数对系统稳定性的影响。,2019年7月4日,1、奈氏图与伯德图的对应关系 开环系统幅相频率特性与对数频率特性之间存在如下对应关系: （1）在G(j)平面上, |G(j)|=1的单位圆,对应于对数幅频特性的0分贝线; 单位圆外部如 (-,-1)区段，对应L () 0dB，单位圆内部对应L () 0dB。 （2）从对数相频特性来看, G(j)平面上的负实轴,对应于对数相频特性上的()=-180。 （3） (-1,j0)点的向量表达式为1-180，对应于波德图上穿过0分贝线，并同时穿过()=-180的点。,2019年7月4日,2、穿越在波德图上的含义 （1）穿越：在L()0dB的频率范围内，相频特性曲线穿过-180；在L()0dB的频率范围内，相频特性曲线穿过-180不是穿越。,2019年7月4日,正、负穿越的定义和前面的定义实际上是一致的。,3、对数幅频特性曲线的奈氏判据 根据上述对应关系，结合使用正、负穿越情况的稳定判据，在伯德图上使用奈奎斯特稳定判据时，就是在L() 0dB的频率范围内，根据相频曲线穿越-180的相位线的次数对系统稳定性做出判定。可将对数频率特性判断闭环系统稳定性的奈氏稳定判据表述如下: 设开环传递函数在右半s平面上的极点数为P，则 L() 0dB的频率范围内，当频率增加时对数相频特性曲线对 -180的相位线的正、负穿越次数为N+与N- ，闭环右极点个数为 Z = P-2N=P-2（ N+ - N- ）,2019年7月4日,例设系统的开环传递函数如下，系统开环对数频率特性曲线如图所示，试判别闭环系统的稳定性。,2019年7月4日,解：由系统开环传递函数可知，开环系统是稳定的，即P=0，在L() 0dB的频率范围内，相频特性曲线()不穿越-180的相位线，,即正、负穿越次数差为0，由Z = P-2N可知，Z=0，故闭环系统稳定。,对于型别v1（v为系统开环传递函数在原点处的极点数）的系统，应将Bode图对数相频特性在0处附加一段自上而下的、变化范围为-v90的曲线与相频特性曲线在0处相连。相频特性经过处理后，再使用上述稳定性判据。,2019年7月4日,2019年7月4日,5.4 稳定裕度,2019年7月4日,2019年7月4日,当系统处于稳定状态，且接近临界稳定状态时，虽然从理论上讲，系统是稳定的,但实际上，系统可能已处于不稳定状态。其原因可能是在建立系统数学模型时，采用了线性化等近似处理方法；或系统参数测量不准确；或系统参数在工作中发生变化等。 因此要求系统保有一定的相对稳定性（稳定裕度），这样才可以保证不致于分析设计过程中的简化处理，或系统的参数变化等因素而导致系统在实际运行中出现不稳定的现象。 系统稳定裕度用于表征系统的相对稳定程度，经常作为控制系统的频率域性能指标。,通常用相角裕量和幅值裕量表示系统稳定裕度。,2019年7月4日,根据奈氏判据，对于开环稳定的最小相位系统，根据开环幅相曲线 相对 点的位置不同，对应闭环系统的稳定性有三种情况：,(1)当开环幅相曲线 包围点 时，闭环系统不稳定；,2019年7月4日,(2)当开环幅相曲线 通过点 时，闭环系统处于临界稳定状态； (3)当开环幅相曲线 不包围点 时，闭环系统稳定。 可见，开环幅相曲线靠近 点的程度表征了系统的相对稳定性，幅相曲线距离 点越远，闭环系统的相对稳定性越高。开环幅相曲线越靠近 点，系统阶跃响应的振荡就越强烈，系统的相对稳定性就越差。,即：,相位裕度：开环系统频率特性的幅值为1时，系统的开环系统频率特性的相位角与 之和，记为,系统的幅值穿越频率 满足：,1 相位裕度,或,2019年7月4日,相角稳定裕度的物理意义在于：对于闭环稳定的最小相位系统，在=c处，系统的相角如果再减小角度，系统将处于临界稳定状态；减小的角度大于后，系统将不稳定。为了使最小相位系统是稳定的，必须为正值。 稳定系统0，越大，系统相对稳定性越高。 相位裕度是设计控制系统时的一个重要依据，描述系统的阻尼程度。,稳定系统,不稳定系统,正相位裕量,负相位裕量,正相位裕量,负相位裕量,称为相位穿越频率 满足：,增益裕度：开环系统频率特性的相位角为 时，系统开环频率特性幅值的倒数。,即：,2 增益裕度(幅值裕度),2019年7月4日,幅值稳定裕度的物理意义为：对于闭环稳定的最小相位系统，若系统在相角穿越频率g 处幅值增大hg 倍（或对数幅值上升Lh分贝），则系统将处于临界稳定状态。稳定系统hg 1， Lh(dB)0， hg越大，相对稳定性越高。,以分贝数表示时：,对非最小相位系统，只有 0且hg1时，才能判断系统的稳定性。对最小相位系统，有时仅需两者之一即可，一般取 。,稳定系统,不稳定系统,增益裕量如果用分贝表示增益裕量（单位为 ），定义为：,正增益裕量,负增益裕量,1相位裕量和增益裕量表示开环幅相曲线对 点的靠近程度，从而表示系统的相对稳定程度。 2只用增益裕量和相位裕量，都不足以说明系统的相对稳定性。为了确定系统的相对稳定性，必须同时给出这两个量。,关于相位裕量 和增益裕量 的几点说明,3 .对于开环稳定的最小相位系统，只有当 和 时，闭环系统才是稳定的。对于稳定的最小相位系统，增益裕量指出了系统在不稳定之前，增益能够增大多少。对于不稳定系统，增益裕量指出了为使系统稳定，增益应当减少多少。 为了得到满意的性能，一般取相位裕量 增益裕量,2019年7月4日,4. 系统的Nyquist图和Bode图的对应关系,Bode图与Nyquist图之间具有对应关系，所以在Nyquist图上的分析结论可以移植到Bode图上加以应用。 c 为幅值穿越频率(或幅值交接频率),特性曲线与单位圆（0dB线）交接处的频率； g为相位穿越频率(相位交接频率),特性曲线与负实轴（-180o线）交接处的频率。,2019年7月4日,由图可见，对一结构、参数给定的最小相位系统，当开环传递系数增加时，由于L(c) 曲线上升，导致幅值穿越频率c 右移，从而使得相位裕度与幅值裕度都下降，甚至使系统不稳定。,47,例512 已知单位反馈系统 设K分别为4和10时，试确定系统的稳定裕度。 解： K=4时,48,K=10 时 分别作出K=4和K=10 的开环幅相曲线即闭合曲线 ，如图 所示。由奈氏判据知： K=4 时，系统闭环稳定， ； K=10 时，系统闭环不稳定， 。,49,例 5-13 单位反馈系统开环传递函数为,分别求取K1=10及K1 =100时的相角裕度和增益裕度。 解 相角裕度可通过对数幅频特性用图解法求出。 K1 =10时,转折频率1=1, 2=5。20lgK=20lg2=6dB。画出对数幅频特性曲线, 如图5-34所示。,50,图 5-34 例 5-13 的伯德图(幅频特性),40,20,20dB/dec,K,1,10,20lg,K,0.1,0,1,K,1,100,w,c,5,10,w,40dB/dec,60dB/dec,L,(,w,)/dB,51,由图可知:,得剪切频率 。 相角裕度为,当K1从10变到100时, 20lgK=20lg2026dB, 同理得：,所以K1=100时对应的剪切频率为 。 相角裕度为,52,5.5 闭环系统的频域性能指标,本节主要内容： 1 控制系统的频带宽度 2 系统带宽的选择 3 闭环系统频域指标和时域指标的转换,53,5-5-1 控制系统的频带宽度,54,根据带宽定义，对高于带宽频率的正弦输入信号，系统 输出将呈现较大的衰减，因此选取适当的带宽，可以抑制高 频噪声的影响。但带宽过窄又会影响系统正弦输入信号的能 力，降低瞬态响应的速度。因此在设计系统时，对于频率宽 度的确定必须兼顾到系统的响应速度和抗高频干扰的要求。 2、I型和II型系统的带宽 一阶系统的闭环传函为 ， 所以 带宽频率为,5-5-1 控制系统的频带宽度,55,二阶系统的闭环传函为 系统幅频特性 因为 ，得 系统阶跃响应速度与带宽频率成正比,5-5-2 闭环系统频域指标和时域指标的转换,57,5-5-2 闭环系统频域指标和时域指标的转换,59,2、开环频域指标和时域指标的关系 典型二阶系统开环传递函数为 可求得 相角裕度可求得,5-5-2 闭环系统频域指标和时域指标的转换,对于二阶系统，一般要求： 估算时域指标方法： （1）从开环对数频率特性曲线确