数字信号处理讲义-第2章.ppt

1,第2章 时域离散信号和系统的频域分析,2,2.1 序列的傅立叶变换(FT)和Z变换,3,一、 序列的FT的定义及性质,1. 1 序列傅立叶变换的定义,FT成立的充要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件， 即：,FT的反变换：,4,例：设,求x(n)的FT。,解：,5,N4,6,所以 ,序列的FT是以 为周期的函数,表示了信号在 频域的分布规律. 最高的频率为,1.2序列FT的性质,1.周期性:,2.线性:,7,3、时移与频移：,4、FT的对称性：,1）共轭对称序列： 共轭反对称序列：,实部是偶函数， 虚部是奇函数,实部是奇函数， 虚部是偶函数,8,2）FT的共轭对称性：,（1）,9,（2）,10,（3）x(n)为实序列时：,相频：奇函数,幅频：偶函数,（4）x(n)-实、偶对称序列：,(5) x(n)-实、奇对称序列：,11,(6)实因果序列h(n):,12,因此，实因果序列可以分别用 和 表示为：,13,5、 时域卷积定理,6、频域卷积定理,14,7、帕斯维尔（Parseval）定理,Parseval 定理的一个重要应用是计算序列能量： 一个序列值的平方总和 称为“序列能量” 即时域中对序列求能量与频域中求能量是一致的。,15,16,17,离散傅里叶级数（DFS，Discrete Fourier Series ） 一个周期为N的周期序列，即 ， k为任意整数，N为周期 周期序列不能进行FT变换，因为其在 n=-到+ 都周而复始永不衰减，即 不能满足绝对可和。但是，正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。,二、周期序列的离散傅立叶级数及傅立叶变换表示式,18,2. 1周期序列的离散傅立叶级数：,设 是以N为周期的周期序列，,上式中, 也是一个以N为周期的周期序列。,因此，一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。,19,设 是以N为周期的周期序列，因其周期性，可以展开成傅立叶级数,并对n在一个周期N内求和,20,的离散傅立叶级数，,用DFS 表示,同理,21,所以，可将周期序列分成N次谐波，第K个谐波频率为,基波分量的频率为,因此，一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律,22,是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对，这种对称关系可表为： 习惯上：记 ，,23,DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。,则DFS变换对可写为,DFS 离散傅里叶级数变换 IDFS离散傅里叶级数反变换。,24,2. 2周期序列的傅立叶变换表示式,模拟系统中，,时域离散系统，,25,对于一般的周期序列 ，,令K在,之间变化，上式可简化为,式中,注：上式中,表示单位冲激函数，而 表示单位脉冲序列。,展开成DFS，第k次谐波为,类似于复指数序列的FT，其FT为,26,三、时域离散信号的傅立叶变换与模拟信号傅立叶变换之间的关系,模拟信号 的一对FT变换式为:,假定时域离散信号x(n)，或称序列x(n)，是由模拟信号 采样 得到的，即,27,令,，代入上式后，再将 用 代替，得到,将上式的积分区间表示成无限多个积分区间的和，每个积分区间为,28,又,结论:序列的FT是模拟信号的FT以周期为 进行周期延拓, 频率轴上取值对应关系为,29,5. 采样信号、序列和模拟信号FT之间的关系：,模拟信号 的一对FT变换式为:,假定时域离散信号x(n)，或称序列x(n)，是由模拟信号 采样 得到的，即,30,结论:序列的FT是模拟信号的FT以周期为 进行周期延拓, 频率轴上取值对应关系为,31,所以，模拟折叠频率,对应数字频率,；如果满足采样定理，则要求,模拟信号最高频率,不能超过,；如果不满足采样定理，则会在,附近引起频谱混叠。,对于采样信号来说，有,由此可见，序列的FT与模拟信号的FT之间的关系，与采样信号、模拟信号 各自的FT之间的关系一样。,32,例：设,进行采样，得到采样信号,和时域离散信号x(n)，求,的FT变换以及x(n)的FT.,33,34,同理，按照序列的与模拟信号之间的关系式可得到x(n)的， 或者，将,求括弧中为零时的,35,例题,36,37,38,39,2.5 序列的Z变换,序列x(n)的Z变换定义为,X(z)存在的条件是,40,FT和Z变换之间的关系：,即:单位圆上的Z变换就是序列的FT, 成立条件是收敛域包含单位圆.,41,讨论ZT变换的一一对应性。,例：,解：,结论：（ZT变换的表达式+收敛域） 与 序列 一一对应。,42,这里主要讨论以下四种序列： a 有限长序列 序列 (序列x(n)只在有限长度n1n2 内有值，其余为零) 其Z变换 X（z）是有限项的级数和，只要级数每一项有界，有限项和也有界，所以有限长序列z变换的收敛域取决于|z|-n，n1nn2。 显然 |z| 在整个开域（0，）都能满足以上条件，因此有限长序列的收敛域是除 0 及,两个点（对应n0不收敛）以外的 整个 z 平面： 0|z|,如果对n1，n2加以一定的限制，如n10或n20，则根据条件|z|-n（n1nn2），收敛域可进一步扩大为包括0点或点的半开域：,43,例1 序列x（n）=（n） 由于n1=n2=0，其收敛域为整个闭域 z 平面，0|Z|， 例2 矩形序列x（n）=RN（n） 等比级数求和,44,b 右边序列 指 x（n）只在nn1时有值，而nn1时，x（n）=0 收敛域：|z|Rx- ，为收敛半径Rx-以外的z平面， 由此证明右边序列的收敛域为 |z|Rx-,45,右边序列中最重要的一种序列是 “因果序列” ，即n1 0的右边序列，因果序列只在n0有值，n0时，x（n）=0，其z变换为： Z 变换的收敛域包括 点是因果序列的特征。,46,c 左边序列 序列 x（n）只在nn2有值，n n2时，x（n）=0 收敛域： |Z|Rx+ ， 在收敛半径为Rx+的圆内,47,d 双边序列 可看作一个左边序列和一个右边序列之和，因此双边序列 z 变换的收敛域是这两个序列 z 变换收敛域的公共部分。,如果Rx+Rx-，则存在公共的收敛区间，X（z）有收敛域: Rx-|z|Rx- 如Rx+Rx-，无公共收敛区间，X（z）无收敛域，不收敛.,48,49,50,Z变换小结,Z 变换收敛域的特点： 1） 收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点，有时可向外扩展到，只有x(n)=(n)的收敛域是整个 z 平面。 2） 在收敛域内没有极点，X（z）在收敛域内每一点上都是解析函数。,51,典型序列ZT的收敛域,1.因果序列： x(n)=0, n0,2.双边序列： x(n) ,52,3.有限长序列：,53,54,55,4.2逆Z变换,C:收敛域中一条逆时针闭合曲线。,56,求解方法：留数定理,57,上式成立的条件：F(z)的分母阶次应比分子阶次高二阶以上。,M阶多项式,N阶多项式,则上式成立的条件是：,对于N阶极点，需要求N-1 次导数，这是比较麻烦的。 若c内有多阶极点，而c外没有多阶极点，则可根据留数 辅助定理改求c外的所有极点留数之和，使问题简化。,58,例：,思路：（1）求出F(z)的标准形式； （2）分析F(z)的极点情况； （3）根据留数定理求解，对于高阶极点， 应尽量避免直接求导，考虑留数辅助定理。,59,解：,60,n0时，F(z) 的极点为： n0时，F(z) 的极点为：,为了避免对（,）高阶求导采用下法：,61,62,63,64,65,66,4.3 ZT变换的主要性质,1.序列移位 :,2.序列卷积:,67,3.复卷积定理:,在V平面上,被积函数的收敛域为,W(z)的收敛域为,68,4、Parseval定理z变换的重要性质之一 若有两序列 x（n），y（n），且 X（z）=Z x（n） Rx-|z| Rx+ Y（z）=Z y（n） Ry-|z| Ry+ 它们的收敛域满足条件： Rx- Ry-1， Rx+Ry+1 则 其中，C 所在收敛域为 X(v) 和 Y*(1/V*) 两者收敛区域的重迭部分 Max Rx- , 1/Ry+ |v| min Rx+ , 1/Ry -,69,证：令 w（n）=x（n）y*（n） 利用复共轭和复卷积特性(p16表1.2，第7和第10)： 则 由于假设条件中已规定收敛域满足： Rx-Ry-1Rx+Ry+ 因此， |z|=1 在收敛域内，即w（z）在单位圆上收敛，w（z）|z=1存在，,又因 因此 证毕,70,如果 X（v）、Y（v）在单位圆上收敛，则选取单位圆为围线积分途径，这时 , Parseval 定理的一个重要应用是计算序列能量： 一个序列值的平方总和 称为“序列能量” 即时域中对序列求能量与频域中求能量是一致的。,71,2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性,、传输函数与系统函数,传输函数：,H ,x(n),y(n),系统函数：,72,、 的物理意义：,x(n),y(n),(1),求 y(n)=?,(2),，求 y(n)=?,73,解： （1）,意义：对不同频率的响应不同。,令,结论：一复指数序列通过线性系统后输出不增加频率成分。 模增加了幅度函数对应大小，相位增加了对应相位函数大小。,74,（2）,设h(n)为实序列，则,75,线性时不变离散系统也可用差分方程表示，考虑N阶差分方程,两边取z变换：,3、H(z)的零极点对系统频响的影响：,76,于是 上式也可用因子的形式来表示 式中ci、 di是H（z）在z平面上的零点和极点， A为比例常数。 整个系统函数可以由它的全部零、极点来唯一确定。,77,用极点和零点表示系统函数的优点是，它提供了一种有效的求系统频率响应的几何方法。 一个 N 阶的系统函数可用它的零极点表示为,系统的频响为:,78,79,分析上式表明，频响的模函数由从各零、极点指向 点的向量幅度来确定， 而频响的相位函数则由这些向量的幅角来确定， 当频率由02时，这些向量的终点沿单位圆反时针方向旋转一圈，由此可估算出整个系统的频响。,ej,80,其基本原理是，当单位圆上的 ej 点在极点 d i附近时，分母向量最短，出现极小值，频响在这附近可能出现峰值，且极点 di 越靠近单位圆，极小值越小，频响出现的峰值越尖锐，当 di 处在单位圆上时，极小值为零，相应的频响将出现，这相当于在该频率处出现无耗（Q=）谐振，当极点超出单位圆时系统就处于不稳定状态。对于现实系统，这是不希望的。 对于零点位置，频响将正好相反，ej点越接近某零点 ci ，频响越低，因此在零点附近，频响出现谷点，零点越接近单位圆，谷点越接近零，零点处于单位圆上时，谷点为零，即在零点所在频率上出现传输零点，零点可以位于单位圆以外，不受稳定性约束。 这种几何方法为我们认识零、极点分布对系统性能的影响提供了一个直观的概念，这一概念对系统的分析和设计都十分重要。,81,例：,Imz,82,0,83,零点在单位圆上0, 处；极点在 , 附近,。,。,84,例 有限长单位脉冲响应 0a1 求其频率响应特性。 解： 如果a为正实数，H（z）的零点为 这些零点分布在|z|=a的圆周上，对圆周进行M等分，它的第一个零点k=0，恰好与分母上的极点（z-a）抵消，因此，整个函数H（z）共有 下 图给出M=8，0a1时的系统特性，幅频的峰值出现在=0，因为该处无零点（被极点对消），每一零点附近的频率响应均有陷落，呈现出M次起伏，当M无限增大时，波纹趋于平滑，系统函数趋于书上一阶系统的结果。,85,86,上例中的单位脉冲响应是一个有限长序列，这种系统称为“有限长单位脉冲响应系统”，简写为FIR系统。相应地，当单位脉冲响应长度无限时，则称为“无限长单位脉冲响应系统”， 简写为IIR系统。 系统函数的一般成可改写为（b0=1） 我们知道有限度序列的z变换在整个有限z平面（|z|0）上收敛，因此对于FIR系统，H（z）在有限z平面上不能有极点。如分子、分母无公共可约因子，则H（z）分母中全部系数bi（i=1，2，N）必须为零，故 只要bi中有一个系数不为零，在有限z平面上就会有极点，这就属于IIR系统。 bi不为零就说明需要将延时的输出序列y(n-i)反馈回来，所以，IIR系统的结构中都带有反馈回路。这种带有反馈回路的结构称为“递归型”结构，IIR系统只能采用“递归型”结构，而FIR系统一般采用非“递归型”结构。但是，采用极、零点抵消的方法，FIR系统也可采用“递归型”结构。 IIR、FIR构成数字滤波器的两大类。,87,例： 已知,，分析其幅频特性。,解：,H(z)的极点为z=0,为一个N阶极点，不影响系统的频响； 零点有N个，由分子多项式的根决定,梳壮滤波器,88,Z域 利用H(z)的极点分布分析系统的因果性和稳定性：,因果系统：H(z)的收敛域包含 ，收敛域在某个圆外, 即 Rx- |Z|,稳定系统：收敛域包含