2018_2019学年高中数学第1章常用逻辑用语1.3全称量词与存在量词1.3.2含有一个量词的命题的否定讲义含解析.docx

13.2含有一个量词的命题的否定观察下列几个命题：(1)p：有些三角形是直角三角形；(2)q：所有的质数都是奇数；(3)r：所有的人都睡觉；(4)s：有些实数的相反数比本身大问题1：哪些是全称命题，哪些是存在性命题？提示：(1)、(4)是存在性命题，(2)、(3)是全称命题问题2：试对它们进行否定提示：(1)任意的三角形都不是直角三角形(2)有些质数不是奇数(3)有的人不睡觉(4)任意实数的相反数都不大于本身 问题3：它们的否定有什么规律？提示：全称命题的否定是存在性命题；存在性命题的否定是全称命题1全称命题的否定全称命题的否定是存在性命题，“xM，p(x)”的否定为“xM，綈p(x)”2存在性命题的否定存在性命题的否定是全称命题，“xM，p(x)”的否定为“xM，綈p(x)”对全称命题与存在性命题进行否定的方法：(1)确定所给命题类型，分清是全称命题还是存在性命题；(2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词；(3)否定性质：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等更改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等全称命题的否定例1判断下列命题的真假，并写出它们的否定(1)对任意xR，x3x210；(2)所有能被5整除的整数都是奇数；(3)对任意的xQ，x2x1是有理数思路点拨几个命题均为全称命题，可先判断真假，再变换量词、否定结论、写出其否定精解详析(1)当x2时，2322150，故(1)是假命题命题的否定：存在xR，x3x210.(2)10能被5整除，10是偶数，故(2)是假命题命题的否定：存在一个能被5整除的整数不是奇数(3)有理数经过加、减、乘运算后仍是有理数，故(3)是真命题命题的否定：存在xQ，x2x1不是有理数一点通1全称命题的否定：全称命题的否定是一个存在性命题，给出全称命题的否定时既要否定全称量词，又要否定性质，所以找出全称量词，明确命题所提供的性质是解题的关键2常见词语的否定：原词否定词原词否定词原词否定词等于不等于是不是至少一个一个也没有大于不大于都是不都是任意某个小于不小于至多一个至少两个所有的某些1指出下列命题的形式，写出下列命题的否定：(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)xR，x22x10.解：(1)xM，p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形，xM，綈p(x)(2)xM，p(x)，否定：存在一个素数不是奇数，xM，綈p(x)(3)xM，p(x)，否定：xR，x22x10，xM，綈p(x)2判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180；(2)每个二次函数的图像都开口向下；(3)任何一个平行四边形的对边都平行；(4)负数的平方是正数解：(1)是全称命题且为真命题命题的否定：三角形的内角和不全为180，即存在一个三角形且它的内角和不等于180.(2)是全称命题且为假命题命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下(3)是全称命题且为真命题命题的否定：存在一个平行四边形的对边不都平行(4)是全称命题且为真命题命题的否定：某个负数的平方不是正数.存在性命题的否定例2写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假：(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)x0，y0Z，使得x0y03.思路点拨它们的否定是全称命题，解题时既要改变量词，也要否定结论，最后判断其真假精解详析(1)命题的否定是：“所有实数的绝对值都不是正数”由于|2|2，因此命题的否定为假命题(2)命题的否定是：“每一个平行四边形都不是菱形”由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题(3)命题的否定是：“x，yZ，xy3”因为当x0，y3时，xy3，因此命题的否定是假命题一点通1存在性命题的否定是全称命题，要否定存在性命题“xM，p(x)成立”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是说“xM，綈p(x)成立”2要证明存在性命题是真命题，只需要找到使p(x)成立的条件即可3只有“存在”一词是量词时，它的否定才是“任意”，当“存在”一词不是量词时，它的否定是“不存在”例如：三角形存在外接圆这个命题是全称命题，量词“所有的”被省略了，所以，这个命题的否定是：有些三角形不存在外接圆3写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：x0R，x10；(2)p：至少有一个实数x，使x310.解：(1)綈p：xR，x210，真命题(2)綈p：xR，x310x1时，x310，綈p为假命题4判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)存在一条直线在y轴上有截距；(2)存在二次函数的图像与x轴相交；(3)存在一个三角形，它的内角和小于180；(4)存在一个四边形没有外接圆解：(1)与y轴平行的直线在y轴上没有截距，其他直线在y轴上都有截距，所以，此命题是真命题命题的否定是：所有的直线在y轴上没有截距；(2)对于二次函数yax2bxc(a0)，当0时，函数图像与x轴有交点，所以，此命题是真命题，命题的否定是：所有二次函数的图像与x轴不相交；(3)任何三角形内角和都等于180.所以，此命题是假命题命题的否定是：任何三角形的内角和不小于180；(4)对角不互补的四边形就没有外接圆，所以，此命题是真命题命题的否定是：任何四边形都有外接圆.含有一个量词的命题的综合应用例3若全称命题“对任意x1，)，x22ax2a恒成立”是真命题，求实数a的取值范围思路点拨由于此全称命题是真命题，所以可以推出a的值，求出在x1，)时，f(x)mina，利用一元二次不等式与二次函数的关系解题精解详析法一：由题意，对任意x1，)，令f(x)x22ax2a恒成立所以f(x)(xa)22a2可转化为对任意x1，)，f(x)mina成立，即对任意x1，)，f(x)min由f(x)的最小值f(x)mina，知a3,1所以实数a的取值范围是3,1法二：x22ax2a，即x22ax2a0.令f(x)x22ax2a，所以全称命题转化为对任意x1，)，f(x)0恒成立所以0，或即2a1，或3a2.所以3a1.综上，所求实数a的取值范围是3,1一点通对任意x1，)，f(x)a，只需f(x)mina.也可等价转化为对任意x1，)，x22ax2a0恒成立，结合一元二次不等式的解集与二次函数图像间的关系求解5若命题：“xk，m4sin xcos x”是真命题，求m的取值范围解：4sin xcos 2x2sin2x4sin x12(sin x1)23，又xR时，1sin x1，4sin xcos 2x5,3则当m0满足条件当a0时，若方程ax22x10至少有一个正实数根则44a0，则a1.又因x0时，ax22x110恒成立故a1时，一定有正实根综上：a的取值范围为1，)对含有一个量词的命题的否定要遵循以下步骤：(1)确定命题类型，是全称命题还是存在性命题(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定对应课时跟踪训练(六) 1(重庆高考改编)命题“对任意xR，都有x20”的否定是_解析：因为“xM，p(x)”的否定是“xM，綈p(x)”故“对任意xR，都有x20”的否定是“存在xR，使得x20”答案：存在xR，使得x20”的否定是_解析：全称命题的否定是存在性命题答案：xR，x2x304命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是_解析：此命题是一个全称命题，全称命题的否定是存在性命题故该命题的否定是：“存在能被2整除的整数不是偶数”答案：存在能被2整除的整数不是偶数5若命题“xR，使得x2(a1)x10”为假命题，则实数a的取值范围是_解析：该命题p的否定是綈p：“xR，x2(a1)x10”，即关于x的一元二次不等式x2(a1)x10的解集为R，由于命题p是假命题，所以綈p是真命题，所以(a1)240，解得1a3，所以实数a的取值范围是(1,3)答案：(1,3)6设语句q(x)：cossin x：(1)写出q，并判定它是不是真命题；(2)写出“aR，q(a)”，并判断它是不是真命题解：(1)q：cossin ，因为cos 01，sin 1，所以q是真命题(2)aR，q(a)：cossin a，因为coscossin a，所以“aR，q(a)”是真命题7写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：不论m取何实数，方程x2xm0必有实数根；(2)q：存在一个实数x，使得x2x10；(3)r：等圆的面积相等，周长相等解：(1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2xm0有实数根”，其否定形式是綈p：“存在实数m，使得x2xm0没有实数根”当14m0，即m0.利用配方法可以验证綈q是一个真命题(3)这一命题的