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文档简介

第三节 可降阶的高阶微分方程,第四节 高阶线性微分方程解的结构,第三节 可降阶的高阶微分方程,本节介绍通过变量代换将特殊的高阶微分方程化成一阶 微分方程的降阶法.,两边积分:,连续积分n次得出含有n个任意常数的通解.,一. 型方程,再积分:,例:,逐次积分得:,如果二阶方程不显含 y,二. 型方程,令 ,则,方程变为:,解出这个一阶方程的通解:,则原方程的通解为:,例:,令 ,则,方程变为:,解得:,例:,令 ,则,因为,则,因为,所求特解为:,如果方程不显含 x,三. 型方程,令 ,方程变为:,解出这个以 y 为自变量的一阶方程的通解:,则原方程的通解为:,例:,则,令 ,则,方程变为:,即:,或者,的通解为:,其通解为:,即,其通解为:,例:,令 ,则,方程变为:,即:,此题看作类型二和类型三 皆可,经过尝试用前者简单,练习,第四节 高阶线性微分方程解的结构,一般形式:,当 时,当 时,n阶线性非奇次方程,n阶线性奇次方程,下面以二阶方程为例,讨论高阶线性微分方程解的结构.,一. 二阶线性奇次方程解的结构,一般形式:,显然, y = 0 是(2)的解.,平凡解,讨论非平凡解:,定理1. 如果 是(2)的两个解,则 也是(2)的解,其中 为任意常数.,证明:,由于 是(2)的两个解,所以,将 代入(2)的左端:,则 也是(2)的解.,例如:,是(2)的解,则 也是(2)的解.,此时,不是通解,设 为定义在 I 上的 n 个函数,如果存在n个不全为零的常数 ,使得,线性相关,否则,线性无关,例如:,线性相关,在任意区间I上:,取,线性无关,要使 ,必须,对于两个函数:,如果它们之比为常数,则线性相关;否则,线性无关,例如:,是它的特解,线性无关,通解,二. 二阶线性非奇次方程解的结构,一般形式:,则 是(2)的通解.,而 是(3)的一个特解,证明:,由于Y是(2)的的通解,所以,将 代入(3)的左端:,注意: Y 中含有两个任意 常数,因此 y 是通解.,注:当(3)式的
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