函数的单调性与曲线的凹凸性(16).ppt

第三章,二、曲线的凹凸性,三、曲线的拐点及求法,一、函数的单调性,第四节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的单调性与曲线的凹凸性,四、渐近线,一、单调性的判别法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证,应用拉格朗日中值定理，得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1,解,注意: 函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明：,1.此定理只给出了函数在某个区间上单调的充分条件，而不是必要条件。,2. 区间内个别点导数为零或导数不存在,不影响区间的单调性.只需用导数为零或导数不存在的点来划分定义区间，就能保证函数的各个部分区间内保持固定的符号，从而使函数在各个部分区间上单调。,又例,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2,解,单调区间为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3,解,单调区间为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4,证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5,证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6,证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明1,利用单调性证：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明2,利用单调性证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明3,利用中值定理证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明1,利用单调性证,列表,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明2,利用中值定理证,由中值定理知 ，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明3,利用泰勒公式证,二、曲线的凹凸性,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位 于所张弦的上方,图形上任意弧段位 于所张弦的下方,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由定义2，(1)成立。,同理可以证明(2)。,例10,解,注意到,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推论：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1),(2),三、曲线的拐点及其求法,1、定义,注意: 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线。,2、拐点的求法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:,例13,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求函数 f (x) 的拐点的步骤：,注意：,例,定理5,证明：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例14,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、渐近线,定义:,1.铅直渐近线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,有铅直渐近线两条:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.水平渐近线,例如,有水平渐近线两条:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.斜渐近线,斜渐近线求法:,显然，水平渐近线是斜渐近线的特例。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明：,由渐近线的定义，有,要使此时成立，必须,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:,例15,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,五、小结,1. 单调性的判别（它是拉格朗日中值定理的重要应用）.,3. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,单调性,2. 单调区间的求法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲线的弯曲方向凹凸性;,改变弯曲方向的点拐点;,1 凹凸性的判定.,2 拐点的求法.,凹凸性及拐点,渐近线的求法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,习题(3-4)P151 3 (2)(5) ; 4 (2)(3)(4) ; 8 (2)(4)(6) ; 9 (3) ; 11；12 ; 13 ;,作业,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题1解答,不能断定.,例,但,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题1,当 时，,当 时，,注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内， 都不单调递增,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题2解答,例,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题2,思考题 3 解答,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题3,思考与练习,上,则,或,的大小顺序是 ( ),提示: 利用,单调增加 ,及,B,1. 设在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,;,.,2. 曲线,的凹区间是,凸区间是,拐点为,提示:,及,;,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,1.求证曲线,有位于一直线的三个拐点.,证明：,备用题