函数的单调性与曲线的凹凸性(15).ppt

第四节函数的单调性与曲线的凹凸性,一、函数单调性的判定法,二、曲线的凹凸性与拐点,一、函数单调性的判定法,定理1 设函数f(x)在a b上连续 在(a, b)内可导 (1)如果在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上单调减少,由拉格朗日中值公式 有 f(x2)f(x1)=f (x)(x2x1) (x10 x2x10 所以 f(x2)f(x1)f (x)(x2x1)0 即 f(x1)f(x2) 这就证明了函数f(x)在(a b)内单调增加,证明 只证(1),在(a b)内任取两点x1 x2(x1x2),函数yexx1的定义域为( ) 因为在( 0)内 y0 所以函数 yexx1在0 )上单 调增加,解 yex1,例1 讨论函数 yex x1的单调性,解 函数的定义域为( ),所以函数在0 )上单调增加,因为x0时 y0,所以函数在( 0 上单调减少,因为x0时 y0,(1)确定函数的定义域 (2)求出导数f (x) (3)求出f (x)全部零点和不可导点 (4)判断或列表判断 (5)综合结论,确定函数单调区间的步骤,例3. 确定函数,的单调区间.,解:,令,得,利用,划分函数的定义域,列表讨论.,例3. 确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,因为当x1时 f (x)0 所以f(x)在1 )上f(x)单调增加,因此当x1时 f(x)f(1)=0 即,例5. 证明,时, 成立不等式,证: 令,从而,因此,且,二、曲线的凹凸性与拐点,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于所张弦的上方,图形上任意弧段位 于所张弦的下方,定义 . 设函数,在区间 I 上连续 ,(1) 若恒有,则称,图形是凹的;,(2) 若恒有,则称,连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 .,图形是凸的 .,二、曲线的凹凸与拐点,观察与思考 观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系.,定理2(曲线凹凸性的判定法),设f(x)在a b上连续 在(a b)内具有二阶导数. 若在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上的图形是凹的 若在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上的图形是凸的,例6 判断曲线yx3的凹凸性 解 y3x 2 y6x 由y0 得x0. 因为当x0时 y0 所以曲线在0 )内是凹的 (0,0)是曲线的拐点.,设f(x)在a b上连续 在(a b)内具有二阶导数. 若在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上的图形是凹的 若在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上的图形是凸的,定理2(曲线凹凸性的判定法),例7. 判断曲线,的凹凸性.,解:,故曲线,在,上是向上凹的.,注:,1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:,若曲线,或不存在,的一个拐点.,则曲线的凹凸性不变 .,在其两侧二阶导数不变号,例8. 求曲线,的拐点.,解:,不存在,因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线,的拐点 .,凹,凸,例9. 求曲线,的凹凸区间及拐点.,解:,1) 求,2) 求拐点可疑点坐标,令,得,对应,3) 列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向上凸 ,点 ( 0 , 1 ) 及,均为拐点.,凹,凹,凸,例10. 证明不等式,证明 设,则,当n1时;在(0,+),所以在(0,+)内, f(t)是凹函数,所以对于任意的x,y 满足,有,即,所以,内容小结,1. 可导函数单调性判别,在 I 上单调递增,在 I 上单调递减,2.曲线凹凸与拐点的判别,拐点, 连续曲线上有切线的凹凸分界点,思考与练习,上,则,或,的大小顺序是 ( ),提示: 利用,单调增加 ,及,B,1. 设在,.,2. 曲线,的凹区间是,凸区间是,拐点为,提示:,及,;,;,证明:,当,时