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直角坐标系中将三重积分化为三次积分,一、化三重积分为三次积分,如图，,得,是 x、y 的函数。,注意,三重积分化为三次积分的过程：,得到,事实上，,得到,事实上，,得到,事实上，,得到,解,于是，,于是，,得到,解,于是，,解,原式,因此，,二、 三重积分的变量替换,解: 作变换,而,所以,1、利用柱面坐标计算三重积分,规定：,简单地说，柱面坐标就是,xoy 面上的极坐标 + z 坐标,柱面坐标与直角坐标的 关系为,如图，三坐标面分别为,圆柱面；,半平面；,平 面,从而,所以,如图，柱面坐标系中的 体积元素为,于是，,再根据 V 中 z，r， 的关系，化为三次积分。,一般，先对 z 积分，再对 r ，最后对 积分。,解,(1) 画 图,(2) 确定 z，r， 的上下限,将 向 xoy 面投影，得,或,过 (r, )D 做平行于 z 轴 的直线，得,即,过 (r, )D 做平行于 z 轴 的直线，得,于是，,解,求交线：,将 向 xoy 面投影，得,或,即,过 (r, )D 做平行于 z 轴 的直线，得,或,解,将 向 xoy 面投影，得,或,过 (r, )D 做平行于 z 轴 的直线，得,即,或,过 (r, )D 做平行于 z 轴 的直线，得,即,规定：,2. 球面坐标,如图，三坐标面分别为,圆锥面；,球 面；,半平面,球面坐标与直角坐标的关系为,由,所以,球面坐标系中的体积元素为,如图，,再根据再 V 中 ， ， 的关系，化为三次积分。,一般，先对积分，再对 ，最后对 积分。,例9 用球面坐标计算,其中,解,画 图。,确定 r， ， 的上下限。,(1) 将 向 xoy 面投影，得,射线，得,即,将 向 xoy 面投影，得,在半平面上，任取一,过原点作射线，得,解,轴作半平面，得,即,解,由三重积分的性质，有,例12. 计
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