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直角坐标系中将三重积分化为三次积分,一、化三重积分为三次积分,如图,,得,是 x、y 的函数。,注意,三重积分化为三次积分的过程:,得到,事实上,,得到,事实上,,得到,事实上,,得到,解,于是,,于是,,得到,解,于是,,解,原式,因此,,二、 三重积分的变量替换,解: 作变换,而,所以,1、利用柱面坐标计算三重积分,规定:,简单地说,柱面坐标就是,xoy 面上的极坐标 + z 坐标,柱面坐标与直角坐标的 关系为,如图,三坐标面分别为,圆柱面;,半平面;,平 面,从而,所以,如图,柱面坐标系中的 体积元素为,于是,,再根据 V 中 z,r, 的关系,化为三次积分。,一般,先对 z 积分,再对 r ,最后对 积分。,解,(1) 画 图,(2) 确定 z,r, 的上下限,将 向 xoy 面投影,得,或,过 (r, )D 做平行于 z 轴 的直线,得,即,过 (r, )D 做平行于 z 轴 的直线,得,于是,,解,求交线:,将 向 xoy 面投影,得,或,即,过 (r, )D 做平行于 z 轴 的直线,得,或,解,将 向 xoy 面投影,得,或,过 (r, )D 做平行于 z 轴 的直线,得,即,或,过 (r, )D 做平行于 z 轴 的直线,得,即,规定:,2. 球面坐标,如图,三坐标面分别为,圆锥面;,球 面;,半平面,球面坐标与直角坐标的关系为,由,所以,球面坐标系中的体积元素为,如图,,再根据再 V 中 , , 的关系,化为三次积分。,一般,先对积分,再对 ,最后对 积分。,例9 用球面坐标计算,其中,解,画 图。,确定 r, , 的上下限。,(1) 将 向 xoy 面投影,得,射线,得,即,将 向 xoy 面投影,得,在半平面上,任取一,过原点作射线,得,解,轴作半平面,得,即,解,由三重积分的性质,有,例12. 计
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