【高考辅导资料】2009年高考数学试题分类汇编——不等式

2009 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编不等式不等式 一、选择题 1.（2009 安徽卷理）下列选项中，p 是 q 的必要不充分条件的是 （A）p:b+d , q:b 且 cd aca （B）p:a1,b1 q:的图像不过第二象限 ( )(01) x f xab aa，且 （C）p: x=1, q: 2 xx （D）p:a1, q: 在上为增函数 ( )log(01) a f xx aa，且(0,) 解析：由b 且 cdb+d，而由b+d b 且 cd，可举反例。选 Aaacaca 2.(2009 山东卷理)设 x，y 满足约束条件 ， 0, 0 02 063 yx yx yx 若目标函数 z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为 12， 则的最小值为( ). 23 ab A. B. C. D. 4 6 25 3 8 3 11 x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by= z（a0，b0） 过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点（4,6）时, 目标函数 z=ax+by（a0，b0）取得最大 12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而=,故选 A. 23 ab 23 23131325 ()()2 6666 abba abab 答案:A 【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准 确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知 2a+3b=6,求 的最小值常用乘积进而用基本不等式解答. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 23 ab 3.（2009 安徽卷理）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面 0 34 34 x xy xy 4 3 ykx 积相等的两部分，则的值是 k （A） （B） （C） （D） 7 3 3 7 4 3 3 4 解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABC 由得 A（1，1） ，又 B（0，4） ，C（0，） 34 34 xy xy 4 3 ABC= ，设与的S 144 (4) 1 233 ykx34xy 交点为 D，则由知， 12 23 BCD SS ABC 1 2 D x 5 2 D y 选 A。 5147 , 2233 kk 4.（2009 安徽卷文）不等式组所表示的平面区域的面积等于 A. B. C. D. 【解析】由可得，故 阴阴 = ，选 C。 340 340 xy xy (1,1)CS 14 23 c ABx 【答案】C 5.（2009 安徽卷文）“”是“且”的 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】易得时必有.若时，则可能有，选abcd 且 且acbd acbd adcb 且 且 A。 【答案】A 6.（2009 四川卷文）已知，为实数，且.则“”是“abcdcdabacb ”的d A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案答案】B w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析解析】显然，充分性不成立.又，若和都成立，则同向不等式相加得acbdcd ab 即由“”“”acbdab B A x D y C O y=kx+ 4 3 7.（2009 四川卷文）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨，B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨，B 原料 3 吨，销售每吨甲产品可获得利润 5 万 元，每吨乙产品可获得利润 3 万元。该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原 料不超过 18 吨.那么该企业可获得最大利润是 A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元 【答案答案】D 【解析解析】设生产甲产品吨，生产乙产品吨，则有关系：xy A 原 料 B 原 料 甲产品吨x 3x 2x 乙产品 吨y y 3y 则有： 1832 133 0 0 yx yx y x 目标函数yxz35 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知： 当3，5 时可获得最大利润为 27 万元，故选 Dxy 8.（2009 湖南卷文）若0x ，则 2 x x 的最小值为 2 2 . 解: 0x 2 2 2x x ，当且仅当 2 2xx x 时取等号. 9.（2009 宁夏海南卷理）设 x,y 满足 24 1, 22 xy xyzxy xy 则 （A）有最小值 2，最大值 3 （B）有最小值 2，无最大值 （C）有最大值 3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值 解析：画出可行域可知，当过点（2，0）时，但无最大值。选 B.zxy min 2z 10.（2009 宁夏海南卷文）设满足则, x y 24, 1, 22, xy xy xy zxy （A）有最小值 2，最大值 3 （B）有最小值 2，无最大值 （C）有最大值 3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】B 【解析】画出不等式表示的平面区域，如右图，由 zxy，得 yxz，令 z0，画出 yx 的图象，当它的平行线经过 A（2,0）时，z 取得最小值，最小值为：z2，无最大值， 故选.B （3，4） （0，6） O （，0） 3 13 y x9 13 11.(2009 湖南卷理)已知 D 是由不等式组，所确定的平面区域，则圆 20 30 xy xy 在区域 D 内 22 4xy 的弧长为 B A B C D 4 2 3 4 3 2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】：B 【解析】解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率 分别是，所以圆心角即为两直线的所成夹角，所以，所 1 , 2 1 3 11 |()| 23 tan1 11 1| 23 （） 以，而圆的半径是 2，所以弧长是，故选 B 现。 4 2 12.（2009 天津卷理）设变量 x，y 满足约束条件：.则目标函数 z=2x+3y 的最小值 3 1 23 xy xy xy 为 （A）6 （B）7 （C）8 （D）23 【考点定位】本小考查简单的线性规划，基础题。 解析：画出不等式表示的可行域，如右图，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3 1 23 xy xy xy 让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点 B 自目标函数取到最小值， 33 2zx y 解方程组得，所以，故选择 B。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 32 3 yx yx )1 , 2(734 min z 8 6 4 2 -2 -4 -15-10-551015 2x-y=3 x-y=1 x+y=3 q x = -2x 3 +7 h x = 2x-3 g x = x+1 f x = -x+3 A B 13.（2009 天津卷理）设若的最小值为0,0.ab 11 333 ab ab 是与的等比中项，则 A 8 B 4 C 1 D 1 4 【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了 变通能力。 【解析】因为，所以，333 ba 1 ba ，当且仅当即时4222) 11 )( 11 b a a b b a a b ba ba bab a a b 2 1 ba “=”成立，故选择 C 14.（2009 天津卷理）,若关于 x 的不等式的解集中的整数恰ab 10 2 ()xb 2 ()ax 有 3 个，则 （A） （B） （C） （D）01 a10 a31 a63 a 【考点定位】本小题考查解一元二次不等式， 解析：由题得不等式即，它的解应在两根之 2 ()xb 2 ()ax02)1( 222 bbxxa 间，故有，不等式的解集为或04)1(44 22222 baabb 11 a b x a b 。若不等式的解集为，又由得 11 0 a b x a b 11 a b x a b ab 10 ，故，即 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1 1 0 a b 2 1 3 a b 3 1 2 a b 15.（2009 四川卷理）已知为实数，且。则“”是“”的, , ,a b c dcdabacbd A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C充要条件 D. 既不充分也不必要条件w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑，基础题。 （同文 7） 解析：推不出；但，故选择 B。ba acbdbdcbadbca 解析 2：令，则；由2,1,3,5abcd 13( 5)8acbd 可得，因为，则，所以。故“”是acbd()abcdcd0cdabab “”的必要而不充分条件。acbd 16.（2009 四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原 料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5 万元， 每吨乙产品可获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不 超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是 A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。 （同文 10） 解析：设甲、乙种两种产品各需生产、吨，可使利润最大，故本题即xyz 已知约束条件，求目标函数的最大 0 0 1832 133 y x yx yx yxz35 值，可求出最优解为，故，故选择 4 3 y x 271215 max z D。 17.（2009 福建卷文）在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表 10 10 10 xy x axy 示的平面区域内的面积等于 2，则的值为a A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 解析解析解析 如图可得黄色即为满足 的直线恒过（0，1） ，故看作直线绕点010101yaxyxx的可行域，而与 （0，1）旋转，当 a=-5 时，则可行域不是一个封闭区域，当 a=1 时，面积是 1；a=2 时，面 积是；当 a=3 时，面积恰好为 2，故选 D. 2 3 18.（2009 重庆卷理）不等式对任意实数恒成立，则实数的取值 2 313xxaaxa 范围为（ ） ABw.w.w.k.s.5.u.c.o.m (, 14,) (, 25,) C D1,2(,12,) 【答案】A 【解析】因为对任意 x 恒成立，所以 2 4314313xxxxaa 对 22 343041aaaaaa 即，解得或 19.（2009 重庆卷文）已知，则的最小值是（ ）0,0ab 11 2 ab ab A2BC4D52 2 【答案】C 解析因为当且仅当，且 1111 2222()4ababab ababab 11 ab ，即时，取“=”号。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1 ab ab ab 二、填空题 1.（2009 浙江理）若实数满足不等式组则的最小值是 , x y 2, 24, 0, xy xy xy 23xy w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案：4 【解析】通过画出其线性规划，可知直线过点时， 2 3 yxZ 2,0min234xy 2.（2009 浙江卷文）若实数满足不等式组则的最小值是 , x y 2, 24, 0, xy xy xy 23xy w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【命题意图】此题主要是考查了线性规划中的最值问题，此题的考查既体现了正确画线性区 域的要求，也体现了线性目标函数最值求解的要求 【解析】通过画出其线性规划，可知直线过点时， 2 3 yxZ 2,0min234xy 3.（2009 北京文）若实数满足则的最大值为 ., x y 20, 4, 5, xy x x sxy 【答案答案】9 【解析解析】.s.5.u本题主要考查线性规划方面的 基础知. 属于基础知识、基本运算的考查. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 如图，当时，4,5xy 为最大值. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 459sxy 故应填 9. 4.（2009 北京卷理）若实数满足则的最小值为_., x y 20 4 5 xy x y syx 【答案答案】6 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析解析】本题主要考查线性规划方面 的基础知. 属于基础知识、基本运算 的考查. 如图，当时，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4,2xy 为最小值.246syx 故应填.6 5.(2009 山东卷理)不等式的解集为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 0212xx 【解析】:原不等式等价于不等式组或 2 21 (2)0 x xx 1 2 2 21 (2)0 x xx 或不等式组无解,由得,由得,综上得 1 2 (21)(2)0 x xx 1 1 2 x 1 1 2 x ,所以原不等式的解集为. 11x | 11xx 答案: | 11xx 【命题立意】:本题考查了含有多个绝对值号的不等式的解法,需要根据绝对值的定义分段去 掉绝对值号,最后把各种情况综合得出答案.本题涉及到分类讨论的数学思想. 6.(2009 山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产 品 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每 天的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产品 50 件,B 类 产品 140 件,所需租赁费最少为_元. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】:设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则xyz ，甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品的情况为下表所示: 200300zxy 产品 设备 A 类产品 (件)(50) B 类产品 (件)(140) 租赁费 (元) 甲设备 5 10 200 乙设备 6 20 300 则满足的关系为即:, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5650 1020140 0,0 xy xy xy 6 10 5 214 0,0 xy xy xy 作出不等式表示的平面区域,当对应的直线过两直线的交点200300zxy 6 10 5 214 xy xy (4,5)时，目标函数取得最低为 2300 元. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 200300zxy 答案:2300 【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系, 最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题 7.（2009 年上海卷理）若行列式中，元素 4 的代数余子式大于 0， 4 1 7 5 x x 3 8 9 则 x 满足的条件是_ . 【答案】 8 3 x 【解析】依题意，得： (-1)2(9x-24)0，解得： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 8 3 x 8.（2009 上海卷文） 已知实数 x、y 满足 则目标函数 z=x-2y 的最小值是 2 2 3 yx yx x _. 【答案】9 【解析】画出满足不等式组的可行域如右图，目标函数化为：z，画直线xy 2 1 及其平行线，当此直线经过点 A 时，z 的值最大，z 的值最小，A 点坐标为（3,6） ，xy 2 1 所以，z 的最小值为：3269。 三、解答题 1.（2009 江苏卷）(本小题满分 16 分) 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价 为m元，则他的满意度为 m ma ；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为 n na . 如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 1 h和 2 h，则他对这两种交易的综合满意 度为 1 2 hh. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元，乙生产 A、B 两种产品的 单件成本分别为 3 元和 20 元，设产品 A、B 的单价分别为 A m元和 B m元，甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为h且，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为h且 (1)求h且和h且关于 A m、 B m的表达式；当 3 5 AB mm时，求证：h且=h且； (2)设 3 5 AB mm，当 A m、 B m分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综 合满意度为多少？ (3)记(2)中最大的综合满意度为 0 h，试问能否适当选取 A m、 B m的值，使得 0 hh 且 和 0 hh 且 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 【解析】 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象 概括能力以及数学阅读能力。满分 16 分。 (1) 当时， , 3 5 AB mm 2 3 5 3 5(20)(5) 12 5 B BB BBB B m mm h mmm m 甲 , h且=h且 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 3 5 3 20(5)(20) 3 5 B BB BBB B m mm h mmm m 乙 （2）当时， 3 5 AB mm 2 2 11 =, 20511 (20)(5) (1)(1)100()251 B BB BBBB m h mm mmmm 甲 由， 111 5,20, 20 5 B B m m 得 故当即时，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 11 20 B m 20,12 BA mm 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为。 10 5 （3） （方法一）由（2）知：= 0 h 10 5 由得：，w.