线性系统理论试题.pdf

1 第第 2 章章 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述 一、状态空间描述的建立一、状态空间描述的建立 1 (由系统机理建立状态空间描述由系统机理建立状态空间描述) 如图电路，写出系统的状态方程和输出方 程。选择状态变量 x=uc，输入变量 u =e(t)，输出变量 y = uc。 解：如图电路，写出系统的状态方程和输出方程。选择状态变量 x=uc，输入变量 u =e(t)，输出变量 y = uc。 解： 11 c c du euR C,xxu,yx dtRCRC =+= +=& 2(由输入输出描述建立状态空间描述由输入输出描述建立状态空间描述)系统的传递函数如下，求系统的状态空 系统的传递函数如下，求系统的状态空 间描述间描述 4126 5 )( 23 2 + + = sss ss sG 解：可控标准形，x115 1 0 0 x 6124 100 010 x= + =yu；&； 或可观标准形，x100 1 1 5 x 610 1201 400 x= + =yu；& 3例例 2.3 给定单输入单输出线性定常系统的输入输出描述为 3 32 4160720 ( ) 16194640 ss G s sss + = + 试求系统的状态空间表达式。 解：解：此例中3mn=。由长除法得 32 3232 4160720646161840 ( )4 1619464016194640 ssss G s ssssss + =+ + 则系统的状态空间表达式为 e(t) R + - Cuc i 2 11 22 33 1 2 3 0100 0010 640194161 1840616644 xx xxu xx x yxu x =+ = + & & & 4例例 2.2：已知二阶系统的微分方程 2 2yyyT uu+=+& 试求系统的状态空间表达式。 解：解：可控规范形实现为： 111 2 222 010 1 21 ccc ccc xxx uyT xxx =+= & & ； 则可观测规范形实现为： 2 111 222 10 01 12 ooo ooo xxx uy xxxT =+= & & ； 二、传递函数矩阵的计算二、传递函数矩阵的计算 1系统的状态空间描述如下，求系统的传递函数矩阵系统的状态空间描述如下，求系统的传递函数矩阵 G(s)， u 1 0 x 52 61 x + =&；x 02 10 =y 解： + + = + + = 12 1 76 1 1 0 52 61 02 10 )I()( 2 1 1s ss s s BAsCsG。 2 系统的状态空间描述如下，求系统的输出变量和输入变量之间的微分方程。 系统的状态空间描述如下，求系统的输出变量和输入变量之间的微分方程。 160 xxu,01 x 251 y =+= & 解： 1 1 1656 1 I 252171 ss (sA) ss(s)(s) + = + ( ) 1 2 560 11 I01 2117167 s s g sc(sA) b s(s)(s)ss + + = + EMBED Equation.3( ) ( ) ( ) 2 1 67 67 y ss g syyyuu u sss + =+=+ + & 3 三、化对角线规范形三、化对角线规范形 1例例 2.9已知线性定常系统的状态方程为： 0111 61162 61153 xxu = + & 求系统的对角线规范形。 解: 求系统特征值：系统的特征方程det()0sIA=，即 32 11 61166116(1)(2)(3)0 6115 s sssssss s +=+=+= 所以系统的 3 个特征值为： 123 1,2,3= = = ，特征值两两相异，可以化为 对角线规范形。 求 统特征向量：由 iii A=确定特征向量，与特征值 1 相对应的特征 向量 1 由下式确定 11112131 1 111121112131 31112131 1110 ()06106061060 611661160 AIA += =+= += 上式有无穷多解， 设 21 0=， 从中可得 1131 pp=。 令 1131 1pp= ， 得， 同理可算出与特征根 2 、 3 相对应的特征向量 2 、 3 为： 23 11 2 ,6 49 = 。 构造变换矩阵P 并求逆： 1 123 5 32 111 2 026 ,343 1493 11 2 PP = 计算变换后系数矩阵 1 2 2 1 bP b = 定出对角线规范形状态方程 4 11 22 33 1002 0202 0031 xx xxu xx =+ & & & 2例例 2.10 将下列系统状态方程化为对角线规范形 1010 0100 0021 xxu =+ & 解： （解： （1）计算系统特征值）计算系统特征值 2 101 det()010(1) (2)0 002 s sIAsss s = 则系统特征值为 1 1 = （ 1 的代数重数 1 2 =） ， 2 2 =（ 2 的代数重数 2 1 = ） 。 （2）有重特征值，判断是否可以化为对角规范形）有重特征值，判断是否可以化为对角规范形 对于 2 重特征值 1 1 = ，它所对应的特征矩阵 1122 1,1= ，得到 2 个属于二重特征值 1 1 = 的特征向量 12 10 0 ,1 00 = 。 对于单特征值 2 2 =，由 iii A=有特征向量 3 1 0 1 = 。 （4）构造变换矩阵、求逆并计算系数矩阵）构造变换矩阵、求逆并计算系数矩阵 1 101101 010 ,010 001001 PP = ， 11 1 22 2 33 70000 05040 00175 xx u xx u xx =+ & & & 解：由于对角规范型中B 包含元素全为零的行，故系统不完全能控。 3 （约当规范形判据的应用）判断下面系统的能控性和能观性 （约当规范形判据的应用）判断下面系统的能控性和能观性 110001 010011 1000 001010 000210 xxuyx =+= & 5 解：能控。不能观。 4例例 4.15（约当规范形判据的应用） ：（约当规范形判据的应用） ：判断下述系统的能控性 uxx + = 20 10 02 200 020 001 . 解：解： 1 11 20 r B=b不是全为零的行， 21 22 2 01 02 r r B = b b ，行线性相关。 所以，系统不完全能控。 5例例 4.12：确定使下列系统状态完全能控的待定参数的：确定使下列系统状态完全能控的待定参数的 a，b，c 取值范围 （ 取值范围 （ 1 ） D Equation.3 0100 01 000 xabxu c = + &（ 2 ） 2010 4160 12618 a xxb u c =+ & 解： （）n = 3，能控性判别阵为 22 01 1 00 b SBABA Bbba c = 系统完全能控必有det0S 成立（此时3rankS =） ，即 2 01 det10 00 b Sbbaac c = 系统完全可控时参数取值范围：0ac ，b任意。 （2） 若应用秩判据， 通过计算det0S 来求， 理论上可行， 但此题很难从det0S 中解出a,b,c 的取值范围，计算很困难，故考虑使用PBH 秩判据。根据状态方程可写 出： 令det()0sIA=求特征值得 6 3 2010 det()4160(18) (20)(16)4(18)0 12618 s sIAsssss s =+= 故特征值为：。 当时，有 210 4203 1260 a rank sIABrankb c = 因为第 1 列与第 2 列线性相关， 第 3 列为 0， 故不管 a,b,c 取何值，rank sIAB 最大为 2，所以：a,b,c 为任何值都不能控。 6已已知知系统状态空间描述为系统状态空间描述为 1 05 ab yc = xxx& 且且状态完全能观，求状态完全能观，求cba,。 解： 1 2 5 o cc rankQrank cAabc = ，det50 o Qbcac= 9例例 4.25：已：已知知系统的传递函数为：系统的传递函数为： 32 ( ) 7148 sa G s sss + = + 设设系统状态完全可控系统状态完全可控且且完全可观完全可观, 试试求求 a 的范围。的范围。 解：解：这种题型的解题思路：可先写出系统的能控（或能观测）规范形实现，再通 过判据确定使系统完全能观测（或能控）的参数范围即可。 写出可控标准型实现，然后检查可观性： 0100 0010 81471 xxu =+ &； 10 yax= 能控规范形系统完全可控，故只检查能观测性即可。能观测性判别阵： 2 10 01 8147 Ca VCAa CAa = 7 系统完全可观，必有3 o rankQn=，即必有det0 o Q ，即 32 10 det0171480(1)(2)(4)0 8147 o a Qaaaaaaa a =+ 所以 a1 1 、 a2 2 和 a3 4 时系统完全能控且完全能观测。 二、能控性二、能控性指指数和能观数和能观测测性性指指数数 1. 例例 4.17 给定一个连续时间线性时不变 系统为 EMBED Equation.DSMT4 14220 06101 , 3, 2 17111 xxunrankB =+= & 通过计算得到 2 204 0113 111 c rankQrank BABA Brankn = = 这表明，系统完全能控，且能控 性指数集和能控性指数为 12 2,1=和 12 max2,12= 三、化能控规范形和能观三、化能控规范形和能观测测规范形规范形 1求下面系统的能观测规范形 (要求写出变换矩阵) 8 0110 61160 61151 1 10 xxu y = + = & 解： 32 det()6116sIAsss=+ 2 110 61053 304929 c rankcArank cA = ，系统能观测，能化成能观规范形。 引入变换矩阵： 1611304929501 0166105045 001110110 Q = 则能观测规范形为： 1 0061 1011 ,5 ,001 0160 ooo ABQbCCQ = 四四、结结构分解：构分解： 例例 4.31（胡寿松胡寿松 P497例例 9- 21） ： 已知系统(), ,A b c ，其中 1210 010011 1 1431 A = bc， 试将系统作能控性规范分解。 解：解：1）能控性判别矩阵 2 014 000 138 c QbAbA b = ，rank23 c Q = ；故系统不完全能控。 2） 从能控性矩阵中选出两个线性无关的列向量001 T 和103 T ， 附加任 意列向量010 T ，构成非奇异变换矩阵 1 P： = 031 100 010 1 P 则： 9 = 010 001 103 P， 11 0421 1420121 0010 APAPPP = ，b =bc = c 即可得到系统按能控性分解的规范表达式为： 0421 1420121 0010 ccc ccc =+ & & xxx u,y = xxx 故能控子系统动态方程为： 0421 1420 12 ccc cc =+ = xxxu yx & 不能控子系统动态方程为： 五五、最小实现最小实现 1例例 4.35（补充补充）已知系统传递函数为 32 32 2205539 ( ) 102718 sss G s sss + = + 试求出系统的一个最小实现。 解: 32 3232 22055393 ( )2 102718102718 ssss G s ssssss + =+ + 2 31 22 (1)(3)(6)76 s sssss + =+=+ + 则最小实现为： 010 671 102 xxu yxu =+ =+ & 第第 5 章章 系统系统运动运动的的稳稳定性定性 定定常常系统系统稳稳定性判断：定性判断： 1例例 1（补充补充，结论结论 5.3，5.6 的应用的应用）已知系统的状态空间描述为 10 100 111 1 1 xxu yx =+ = & 判断系统的 BIBO 稳定性和渐近稳定性。 解： （解： （1）传递函数矩阵 1 1 100 1 ( )()1 1 1111 s G sc sIAb ss = + 极点1s = 具有负实部，所以系统是 BIBO 稳定的。 （2）由系统特征方程 10 ( )det()det(1)(1)0 11 s ssAss s =+= + I 求得系统矩阵 A 的特征值为 12 1,1= = ，因其具有一个正的实特征值，不满足 系统矩阵 A 的特征值均具有负实部的条件，所以不是渐近稳定的。 2例例 5.5（补充补充，结论结论 5.22 的应用的应用）：判断下述线性定常系统的稳定性 000 000 001 = xx& 解：解：系统矩阵 A 为奇异矩阵，系统存在无穷多个平衡状态。系统的平衡状态为 1 2 0 e x x = x，其中 1 x 和 2 x 为任意实数，即状态空间中 12 xx平面上的每一个点均为 平衡状态，解系统的特征方程 2 det()(1)0sIAss=+= 得特征值分别为： 123 1 ,0= =。又： () 1 1 2 2 00(1)00 1 000(1)0 (1) 00100 100 1 010 (1) 00 ss s sIAss s ss ss s s s s s + =+ + + + =+ + 显然，最小多项式为 ( )(1)ss s=+。系统所有特征值均具有非正实部，且具有零 实部的特征值是最小多项式的单根， 因此系统的每一个平衡状态都是李亚普诺夫 意义下稳定的。 11 3例例 5.6（补充，（补充，结论结论 5.23 的应用的应用） ：） ：判断下述线性定常系统的稳定性 010 001 6116 = xx& 解：解：系统矩阵 A 为非奇异，显然原点=x0是系统的唯一平衡状态，解系统的特 征方程 32 det ()6116(1)(2)(3)0sIAssssss=+=+= 得特征值分别为： 123 1,2 ,3= = = 。显然，系统的所有特征值都具有 负实部，所以系统的唯一平衡状态 e =x0是渐近稳定的。 4例例 5.7（结论结论 5.24）设系统为 12 212 2 xx xxx = = & & 试用李亚普诺夫方程判断系统的渐近稳定性。 解：解：系统状态方程为 01 21 = xx& ，则，EMBED Equation.DSMT4 det20A = Q，即 A 为非奇异矩阵，原点 x=0 是唯一平衡状态。 令李亚普诺夫方程为 T A PPAQ+= = I 1112 1222 T pp PP pp = 则有 11121112 12221222 020110 112101 pppp pppp += 得到： 得到 3 个线性方程 = = = = =+ = ； 25 . 0 25 . 0 75 . 0 122 02 14 22 12 11 2212 221211 12 p p p pp ppp p ， = 25 . 0 25 . 0 25 . 0 75 . 0 P 12 由于 11 0.750p= ，det0.250P = ，故 P 负定，则系统不是渐近稳定的。 5求系统求系统 ux a x + = 1 0 0 53 100 010 &的的原点平衡状态为渐近稳定时参数原点平衡状态为渐近稳定时参数a的取值范围。的取值范围。 解： 32 det()53sIAsass=+, 劳斯表计算 刍刍 第第 6 章章 线性线性反馈反馈系统的系统的时时间间域综合域综合 一、状态一、状态反馈反馈对系统能控性、能观对系统能控性、能观测测性的性的影响影响： 1例例 6.1(补充题补充题 ) ：已知系统的状态空间描述 （ ：已知系统的状态空间描述 （1）求出系统的传递函数； （ ）求出系统的传递函数； （2）引入状态变量的线性反馈，反馈增益矩阵为）引入状态变量的线性反馈，反馈增益矩阵为482K =，反馈后闭环系 统的能控性和能观性是否改变，请说明理由。 解 ，反馈后闭环系 统的能控性和能观性是否改变，请说明理由。 解:根据传递函数分子、分母多项式的系数与能控规范型系数矩阵之间的对应关系，可直 接写出 2 1 (3) s ss + = + 注：也可由公式计算 1 32 1 ( )() 3 s G sc sIAb ss + = + (2)定理：系统定理：系统实现实现EMBED Equation.DSMT4为为最小实现最小实现，即即为能控为能控且且能能 观观测测的的充要条件充要条件是， 传递函数是， 传递函数 G(s)的分的分子子分分母母间间没没有有零极点零极点的对的对消消， 即即EMBED Equation.DSMT4与与EMBED Equation.DSMT4互质互质。 本题本题求出的求出的 G(s) 的分的分子子分分母母间间没没有有零极点零极点的对的对消消，是，是互质互质的，的，所所以以原原系统是完全能控系统是完全能控且且完全能完全能 13 观测的。观测的。 引入上述状态反馈后的闭环反馈系统是能控不能观测的，即能控性不变， 能 观性发生了改变。 状态反馈的引入不改变系统的能控性，而能观测性是否发生改变，要视具体 情况而定，讨论如下： 引入状态反馈后，闭环反馈系统的状态空间描述为 0100 ()0010,1 10 4851 AbKbvxuycx =+=+= & x xx 其传递函数矩阵为： 3222 111 ( ) 584(2) (1)(2) k ss G s ssssss + = + 闭环反馈系统出现零极点对消，被对消掉的极点就不能观测了，所以引入状态反 馈后的闭环反馈系统是能控不能观测的。 二、状态二、状态反馈镇反馈镇定定问题问题： 1例例 6.2(补充题补充题) ：已：已知知系统的状态空间描述系统的状态空间描述 11 22 33 8001 0100 0022 xx xxu xx =+ & & & 能否能否通过通过状态状态反馈镇反馈镇定定？请说明？请说明理由。理由。 解：解：由于此对角规范型中 c 包含元素全为零的行，故系统不完全能控。不能控的 特征值为- 1，满足结论 6.16: 当且仅当线性定常系统的不能控部分渐近稳定时， 系统是状态反馈可镇定的。故该系统可以通过状态反馈镇定。 2例例 6.3(补充题补充题) ：已：已知知系统的状态空间描述系统的状态空间描述 111 222 333 0011 1031, 012 0130 xxx xxuyx xxx =+= & & & 判断系统能控性，判断系统能控性，若不若不完全能控，完全能控，请进行结请进行结构分解，并构分解，并讨论讨论能否用状态能否用状态反馈反馈使使 闭环闭环系统系统稳稳定。定。 解：解：1. 因为 2 101 11323 012 c rankQrank bAbA brankn = ，故系统不 完全能控。 14 . 结构分解：构造变换矩阵 1 100 110 011 P = ，计算得 100 110 111 P = 计算： 11 0111 122 0 = 112 0010 APAPBPBCCP = 所以系统按能控性结构分解后的状态方程为 11 22 33 0111 1220 0010 xx xxu xx =+ & & & 可见，不能控子系统对应的特征值为 3 1 = ，即不能控子系统是渐近稳定的， 而能控子系统可通过状态反馈实现闭环极点的任意配置， 故用状态反馈可以使闭 环统定。 三、三、极点配置与极点配置与状态观状态观测器设测器设计计 1 （ （极点配置问题极点配置问题） ：已） ：已知知系统的状态方程为系统的状态方程为 u + = 1 1 0 x 9116 250 010 x & ，x132=y； 求状态求状态反馈反馈 矩矩鸵鸵 K=酫酫 k2k3，使使闭闭 环环系统的特系统的特 征值为征值为-2，-4，-5。 解：期望特征多项式为403811)( 23 +=ssss； 闭环系统特征多项式为： 1267)67167()14()( 31321 2 32 3 +=kkskkkskkss K ； 比较特征多项式系数得到22.1522.4004 . 9 =K。 2 （ （极点配置问题极点配置问题）:例例 6.8 已知系统的传递函数为 (2)(3) ( ) (1)( - 2)(4) ss g s sss + = + 试问：是否存在状态反馈矩阵 k，使闭环系统的传递函数矩阵为 3 ( ) (2)(4) k s gs ss + = + 求状态求状态反馈反馈矩阵矩阵 K= k1k2k3，使，使闭环闭环系统的特征值为系统的特征值为-2，-4，-5 15 如果存在，求出