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1 第一章作业第一章作业 1、在一维无限深势阱中运动的粒子，由于边界条件的限制，势阱宽度 d 必须等于德布罗意 波半波长的整数倍。试利用这一条件导出能量量子化公式 2 2 2 ,1,2,3 8 n h Enn md =? （提示：非相对论的动能动量关系为 2 2 k PmE=） 解：由 2 nd =，由德布罗意关系 2 hh pn d = 则粒子的能量 22 2 2 ,1,2,3 28 Ph Enn mmd =? 2、在气体放电管中，高速电子撞击原子发光，如高速电子的能量为 12.2eV，轰击处于基态 的 氢 原 子 。 试 求 氢 原 子 被 激 发 后 所 发 射 的 光 谱 线 波 长 。 （ 已 知 里 德 伯 常 数 71 1.097 10Rm=） 解：由 1 2 n E E n =， 1 13.6E = eV 得 1 12.2 n EE=eV 求得3n = 可能的跃迁是 31 EE， 32 EE， 21 EE 由 22 111 () nk R kn =?得 31 9 102.6 8R = 32 36 656.3 5R = 21 4 121.6 3R = 3、在基态氢原子被外来单色光激发后发出的巴尔末系中。仅能观测到三条谱线。试求： （）外来光的波长； （）这三条谱线的波长。 解： （）由仅能观测到三条谱线，则氢原子被激发到第四激发态即5n = 由 19 19 2 13.6 1.6 10 ( 13.6 1.6 10) c hh n =解得95.2nm= （）对巴尔末系 22 111 () nk R kn =? 所以 23 656nm=， 24 486nm=， 25 434nm= 4、证明电子具有波动性的实验是（C） A夫兰克赫兹实验； B史特恩盖拉赫实验； C电子束衍射实验； D康普顿效应。 2 第二章作业第二章作业 1、量子力学波函数 (),r t ? 是应该满足什么样的标准条件？() 2 ,dr t ? 的物理含义是什 么？ 答：波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是 单值、 有限和连续的；() 2 ,dr t ? 表示在t时刻r ? 附近d体积元中粒子出现的几率。 2、写出定态波函数，定态的特点？ 答：由定态波函数描述的状态称为定态；定态波函数为()( ),exp() i r trEt= ? ? ；定态 的特点： （1） 粒子处于定态时能量具有确定的值，即为E； （2）粒子处于定态时的几率密度，几率流密度与时间无关。 3、简述玻尔理论的核心思想？ 玻尔假设： （1）定态假设： 电子沿着特定的轨道运动，在这些特殊的轨道上电子处于稳定状态，不向外辐射电磁波； （2）频率条件： 电子由定态向定态 n E跃迁时吸收或辐射频率为的光子，且满足关系式 mn EEh= （3）轨道角动量量子化假设： 电子只能沿着特定的轨道运动，满足轨道量子化pdqnh= ? 4、简析波恩关于量子力学的统计解释？ 答：微观粒子的运动状态由波函数描述，波函数的模的平方() 2 ,tr ? 表示在t时刻 dzzzdyyydxxx+,区间单位体积元内找到粒子的几率。 5、简述量子力学中态的叠加原理。 答：如果 1 和 2 是体系的可能状态，那末它们的线性叠加 1122 cc = +（ 12 ,c c是复 数）也是这个体系的一个可能的状态，这就是量子力学中态的叠加原理。其含义为：当粒子 处于 1 和 2 的线性叠加态时，粒子是既处在态 1 ，又处在态 2 。 6 、 已 知 粒 子 在(0, )a之 间 的 一 维 无 限 深 势 阱 中 运 动 ， 粒 子 的 波 函 数 为 3 sin()sin()Axx aa =+，求： （1）归一化常数A； （2）粒子能量的可能值及几率； （3）测量粒子能量的平均值。 （粒子在(0, )a一维深势阱中波函数 2 sin() n n x aa =，能级 222 2 2 n n E a = ? ） 答： （1）由 2 sin() n n x aa =知 13 3 sin()sin()() 22 aa AxxA aa =+=+， 3 归一化 22 ()()1 22 aa AA+=，得 1 A a =。 （2）由能级 222 2 2 n n E a = ? ，得 22 1 2 2 E a = ? ，几率为 2 1 1 () 22 a A=； 22 3 2 9 2 E a = ? ，几 率为 2 1 1 () 22 a A=。 （3）测量粒子能量的平均值为 222222 1122 222 11 95 2 22 22 EEE aaa =+=+= ? 。 7、一粒子被限制在相距为l的两个不可穿透的壁之间如图所示。描写粒子状态的波函数为 ()cx lx=，其中c为待定常数。求在 1 0 3 l区间内发现该粒子的几率。 解：由归一化得 2 222 00 ()1 ll dxc x lx dx= 解得 5 30 c l =，则 5 30 ()x lx l = 则在 1 0 3 l区间内发现该粒子的几率为 2 22 33 5 00 3017 () 81 ll Wdxx lx dx l = 。 8、已知粒子在(0, )a之间的一维无限深势阱中运动，粒子的波函数为 2 sin() n n x aa =， 求在阱壁0a =到 3 a 找到粒子的几率？当2n =时，此几率是多大？ 答： 2 2 333 000 2 ( )sin () aaa n Ww x dxdxx dx aa = 3 0 12112 (1 cos)sin 323 a nn x dx aan = 当2n=时 114 sin40.2% 323 W n =。 9、质量为m的粒子，在一维无限深势阱 0, ( ) ,0, xa V x xxa = 0 中运动，试求体系的能量本征值及相应的归一化本征函数。 4 解：体系的状态波函数满足如下薛定谔方程： 22 2 ,0 2 d Exa m dx = ? 本征函数为：( )sinxAkx= 2 2 2mE k = ? 22222 2 22 2 n nn kE ama = ? ，即， 由归一化条件得： 2 A a = 2 ( )sin n xx aa = 10、粒子在宽度为 a 的一维无限深势阱中运动，其波函数为： 23 ( )sin(0) x xxa aa =，试求粒子出现概率最大的位置。 解：由粒子出现的几率密度为 2 2 23 sin x w aa =，欲使粒子出现的几率最大，即 23 sin1 x a =，即 3 (21) 2 x k a =+，即(21) 6 a xk=+ 当0k=时， 6 a x=；当1k=时， 2 a x=； 当2k=时， 5 6 a x=；当3k=时， 7 6 a x=（不合题意，舍去） 故在阱内，坐标为 6 a ， 2 a ， 5 6 a 三处出现粒子的几率最大。 11、一个粒子沿x方向运动，可以用下面的波函数描述 1 ( ) 1 xc ix = + （1）求归一化的波函数。 （2）求概率密度函数。 （3）什么地方出现粒子的几率最大？（已知定积分 2 1 1 dx x = + ） 解： （1）由归一化得 2 *222 2 1 arctan1 1 dxdxcdxcxc x = + 解得 1 c =，则 11 1ix = + （2） 2 * 2 1 ( ) (1) w x x = + （3）由 ( ) 0 m x x dw x dx = =，解得0 m x =，由 2 2 0 ( ) 0 x d w x dx = ，故为极大值。即0x =处找到 5 粒子的几率最大。 12、一维谐振子在 0=t 时处在归一化的波函数 023 11 ( ,0)( )( )( ) 52 xxxcx=+所 描写的状态中，式中( )x是一维谐振子的能量本征函数，求： （1）利用归一化求c的值； （2）测量能量的可能值、相应的概率及能量的平均值。 （3）求测量能量大于2?的几率。 解： （1）由 2 1 n n c= ，即 22 211 1 52 c+=，得 3 10 c = （2）因为 123 113 ( ,0)( )( )( ) 5210 xxxx=+，由()1/2 n En=+?，则体系的 能量的可能取值为 0 1 2 E=?，其几率为 1 5 ； 2 15 (2) 22 E=+=?，其几率为 1 2 ； 3 17 (3) 22 E=+=?，其几率为 3 10 。 能量的平均值为 023 11312 52105 EEEE=+=? 测量能量大于2 ? 的几率为 134 2105 += 13、已知做直线运动的粒子处于状态 1 ( ) 1 x ix = （1）将( )x归一化； （2）求出粒子坐标几率最大处的位置。 （已知定积分 2 1 1 dx x = + ， 2 0 1 12 dx x = + ） 解： （1）令 1 ( ) 1 xc ix = ，由归一化得 2 *222 2 1 arctan1 1 dxdxcdxcxc x = + 解得 1 c =，则 11 1ix = （2）由 ( ) 0 m x x dw x dx = =，解得0 m x =，由 2 2 0 ( ) 0 x d w x dx = ，故为极大值。即0x =处找到 粒子的几率最大， 1 (0)w =。 6 14、已知体系处于叠加状态 35 ( )3sinsin xx x aa =+中，粒子被限制在0xa的范围 内运动， （1）试将 ( )x归一化； （2）求体系能量的可能取值及其相应的几率。 （一维方势 阱能级 222 2 2 n n E ma = ? ，1,2,3n =?） 解： （1）令( ) 35 3 sinsin xx cxcc aa =+ 35 2325 3sinsin3( )( ) 2222 axaxaa cccxcx aaaa =+=+ 3535 3( )( ) 3( )( ) 2222 aaaa cxcxcxcx =+ 222 951 22 aa ccac=+= 1 5 c a = 35 31 1010 = +归一化的波函数为 （2）因为 35 31 1010 = +，所以体系的能量的可能取值是 22 3 2 9 2 E ma = ? ， 22 5 2 25 2 E ma = ? ，它们测量的几率分别为 9 10 ， 1 10 。 15、已知质量为 m 的一维粒子的波函数为： /2 (0) sin() ( , ) (0,) 0 nt h n n ix xL x x t LL xxL e = ， 能级为 22 2 2 2 n h En mL =，(1,2,3)n = （1）写出基态和第 4 激发态的能量； （2）计算在( , ) n x t上，测和所得结果； （3）写出粒子的几率密度分布函数； （4）求粒子在基态和第 2 激发态时的最可几位置。 解： （1）基态能量 22 1 2 2 h E mL = 第 4 激发态的能量 22 2 51 2 25 5 2 h EE mL = 7 （2） *2 000 212 sin(cos) 2 LLL nn nnL xxdxxxdxxxx dx LLLL = * 2 00 2 ()sincos0 LL xnn ihnn xn x Pihdxdx xLLL = = （3） 2 * 2 (0)sin (0,) 0 n n n x xL LL xxL = （4）基态1n =， 2 2 1 2 sin nx LL =令 2 1 0 d dx = 即 22 222 2sincossin0 xxx LLLLL = 所以0, 2 L xL=； 第 2 激发态，3,n = 2 2 3 23 sin x LL =，令 2 3 0 d dx = 所以最可几位置0,/6,/3,/2,2 /3,5 /6,xLLLLLL= 16、 一些有机染料分子具有一条由几个碳原子沿直线排列组成的链。 一个电子参与到这些原 子的键中很像是出于匣中的粒子。 在一种染料分子的模型中， 假定电子被限定在长为 0.94nm 的一维链上。 （1）求出最低的四个态的能量。 （2）比较在 n=3 和 n=4 时位于区域中点的概 率密度。 （3）染料的颜色归结于电子在这两个态之间的跃迁，求出染料的颜色。 解： 此问题可以看成是一维势阱问题， 电子在一维势阱中的波函数和能级可以由定态薛定谔 方程解出 （1）由能级 222342 222 23192 (1.05 10) 0.43 22 9.11 10(0.9 10 ) n h Ennn eV ma = 对于1,2,3,4n =，可得能级为 1 0.43EeV=； 2 1.7EeV=； 3 3.8EeV=； 4 6.8EeV=； （2）在/2xa=处这两个波函数为 3 232 sin 20.94anm = 和 4 24 sin0 2a = 2 21 33 22 ()2.1wnm aa =， 2 2 44 (0)0w= （3）电子从 n=4 向 n=3 态跃迁时发射一个光子。光子的能量为 43 3.0hEEeV= 8 光的频率为 3.0 410 eV nm h =，位于光谱的紫色区域。 17、试判断下列公式何者符合态的叠加原理？（式中 21,c c是复常数，( )( )tctc 21 ,是时间的 函数） （A） A( )( )( )xcxcx 2211 +=； B( )( )( )( )xcxtcx 2211 +=； C( )( )( )( )( )xtcxtcx 2211 +=； D( )( )( )( )xtcxcx 2211 +=。 18、下列波函数哪些是定态波函数？（C） A( )( ) ? ? EtiEti erer + 21 ； B( )( ) ? ? tEitEi erer 21 21 +； C( )( ) ? ? EtiEti erer + 21 ； D( )( ) ? ? tEitEi erer 21 21 +。 19、 （判断题）在一维无限深势阱中粒子运动的能量不能连续地取任意值，只能取分立值， 即能量是量子化的（ 正确 ） 。 20、 （判断题）在一维无限深势阱中粒子运动的能量的量子化是我们人为引入的（ 错误 ） 。 21、 （判断题）在一维无限深势阱中粒子运动的能量的最小值为零（ 错误 ） 22、 （判断题）在一维无限深势阱中微观粒子在各处出现的概率不均匀（ 正确 ） 。 23、 （判断题）微观粒子在一维无限深势阱中各能级的阱壁处出现的概率为零（ 正确 ） 第三章作业第三章作业 1、已知 F和 G为厄米算符，证明 MFG=+也是厄米算符。 证明：设任意两函数和，由 * ()()()M dFGdF dG dFdGd =+=+=+ * () )FGd =+ ，满足厄米算符的定义，得证。 2、已知 F和 G为厄米算符，证明 ()Mi FGGF=也是厄米算符。 证明：设任意两函数和，由 * ( ()M di FGGFd = * ()iFG dGF d = * ( ()()iFG dGF d = * ( ()()iGFdFGd = * () )( () )iGFFGdi FGGFd = ，满足厄米算符的定义，得证。 3、证明厄米算符的本征值必为实数。 证明：设 F为厄米算符，其本征方程 F=， * ()F dFd = ， * dd = ，则 * ()0d = ，又 * 0d ，所以 * =，亦即 为实数。 9 4、证明动量算符的一个分量xp是厄密算符。 证明：设任意两函数和，由 * xpdxidx x = ? * * () x iidxpdx x = += ?，满足厄米算符的定义，得证。 5、动量算符的本征值方程为？动量算符的本征波函数为？ 答：动量算符的本征方程 ( )( ) PP PrPr= ? ? ? ；动量算符的本征波函数为( ) i P r P rCe = ? ? ? ? 。 6、连续谱的波函数怎么归一化？ 答：连续谱的波函数归一化为（1）归一化为函数； （2） “箱”归一化。 7、角动量算符的分量式的定义？ 答：角动量算符的定义： xzy LyPzPiyz zy = ?； yxz LzPxPizx xz = ?； zyx LxPyPixy yx = ?； 8、角动量的平方算符的定义？ 答： 2 22222 22 11 sin sinsin xyz LLLL =+= + ?。 9、角动量算符的z分量在球坐标中的表达式? 答： z Li = ?。 10、角动量的平方算符的本征值方程？ 答： 2 , ( , )( , )(1)( , ) l ml ml m LYYl lY =+。 11、角动量算符的z分量算符的本征值方程？ 答： , ( , )( , ) zl ml m L Ym Y =?。 12、属于是 2 L的本征值为 2 (1)l l+?的本征函数的简并度？ 答：属于是 2 L的本征值为 2 (1)l l+?的本征函数的简并度为(21)l +。 13、什么是简并？什么是简并度？ 答：简并：属于同一本征值的线性无关的本征函数有多个，这种现象称为简并；简并度：算 符属于同本征值为 n 的线性无关的本征函数有 n f个，称它的第n个本征值是 n f度简并。 14、求证( , , )x y zxyz=+是角动量的平方算符 2 L的本征值为 2 2?的本征函数。 10 证明：由() x Liyziyz zy = = ?； () y Lizxizx xz = = ?；() z Lixyixy yx = = ? 由此得() 22 x Lyz=+?，() 22 y Lzx=+?；() 22 z Lxy=+? 所以() 222222 22 xyz LLLLxyz=+=+=?， 即( , , )x y zxyz=+是角动量的平方算符 2 L的本征值为 2 2?的本征函数。 15、求证 1 yiz=+， 2 zix=+， 3 xiy=+是角动量算符 x L，yL，zL的本征值为?的 本征函数。 证明：由 , xzy LyPzP= yxz LzPxP=， zyx LxPyP= 因此 11 ()() x Liyzyizi zyyiz zy = +=+=+= ?，同理 22 y L=?， 33 z L= ? 即说明 1 yiz=+， 2 zix=+， 3 xiy=+是角动量算符 x L， y L， z L的本征值为?的 本征函数。 16、当2n =时，电子的波函数( , , ) n l m r 的简并度是？其波函数有哪些? 答：简并度是 2 4n =；其波函数有 20021121021 1 , 。 17、已知波函数按其完备的本征函数组展开为为 nn n C=，求展开系数 n C？ 答：由 nn n C=，用 * m 左乘上式并在全空间积分， * mmnnmnmnnmnm nmnn dCdC CdCC = ，即 * nn Cd =。 18、求在能量本征态 2 ( )sin() n n x x LL =下，动量和动能的平均值？ 答： * 00 ( )( )( )( ) LL nnnn d Px Px dxixx dx dx = ? 2 0 2 sin()cos() L nn xn x idx LLL = ? 11 2 0 2 sin0 L i nn x dx LL = = ? 2222 * 2 00 ( )( )( )( ) 222 LL knnnn pPd Exx dxxx dx dx = ? 2222 22 2 0 ()sin () 2 L nn xn dx LLLL = ? 19、设氢原子处于 21103110211 1 111 ( , , )( )( , )( )( , )( )( , ) 222 rRr YRr YRr Y =所描述的状态， 求其能量、 角动量平方及角动量Z分量的可能取值与相应的取值概率， 进而求出它们的平均 值。 答：选 2 , Z H L L为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为 22 4 1 2n e En ? = ( , , )( )( , ) n l mn llm rRr Y = （1,2,3,n =?；0,1,2,1ln=?；0, 1,2,ml=?） 归一化 5 4 2 1 4 1 2 1 2 1 = += c 氢原子的能量只与主量子数n有关，依题意可知，n的可能取值有两个，即2 3n =、于是 4 2 2 8 e E = ? ； 5 4 5 4 2 1 2 1 )( 2 = +=EW 4 3 2 18 e E = ? ； 5 1 5 4 4 1 )( 3 =EW 444 222 41 851859 eee E = = ? 角动量量子数l的可能取值只有一个，即1l =,故有 2222 2; (2)1Lw L=? 22 2L =? 角动量磁量子数m的可能取值有两个，即0, 1m =,于是 12 hLz=； () 142 1* 255 z W L = = 0= z L； () 5 3 5 4 4 1 2 1 0= += z LW 2 5 z L = ? 20、已知空间转子处于如下状态 1121 12 ( , )( , ) 33 YY =+，试问： （1）是否是 2 L的本征态？ （2）是否是 z L的本征态？ （3）求 2 L的平均值； （4）在 态中分别测量 2 L和 z L时得到的可能值及其相应的几率。 解： （1） 22 1121 12 ( , )( , ) 33 LLYY =+ ()() 22 1121 12 1(1 1)2(2 1) 33 YY=+? 2 1121 1 22 3 YY =+ ? 没有确定的 2 L的本征值，故不是 2 L的本征态。 （2） 1121 12 ( , )( , ) 33 zz LLYY =+ 1121 12 33 YY=+? 1121 12 33 YY =+ ? 是 z L的本征态，本征值为?。 （3）由 1121 12 ( , )( , ) 33 YY =+归一化得 1121 12 33 cYY =+ () 11211121 3121 2 3355 YYYY =+=+ 利用 2 | nn n Fc=得 22 2222 1226 26 555 L=+=? （4）故 2 2 2 2 6 L = ? ? 相应的几率为 1 5 4 5 ， z L= ?相应的几率为 1。 21、证明 , , ,A BCA B CB A C=+。 证明： ,A BC ABCBCA= BACBACABCBCA+= , ,A B CB A C=+得证。 22、证明 , x x pi= ?。 13 证明：引入任意波函数，由 , ,()() x x pxxxxxi ixixxixx = ? ? 所以 , x x pi= ?。 23、计算下列对易子 ,? d x dx =， 2 ,? d x dx = Key:1,2x。 24、证明： , xyz L Li L= ?。 证明： ,()()()() xyxyyxzyxzxzzy L LL LL LyPzPzPxPzPxPyPzP= () zxzzyxyzxzxyzzzy yP zPyP xPzP zPzP xPzP yPzP zPxP yPxP zzP=+ () xzzzxyyzxzxyzzyz yP P zxyPPzzP PxP zPyP zPzzP PxyPPxP P z=+ ()() yxzzz xPyPzPP zi L= ? 得证。 25、证明： 2 ,0 x L L=。 证明： 2222222 , , , xxxyzxxxyxz L LL LLLL LL LL L=+=+ 0, ,0, , , xyyxzzyxyxyyzxzxzz L L LL L LL L LL L LL L LL L L=+=+ ()()0 yzzyzyyz L i Li L LLi Li L L=+ =?得证。 26、求在能量的本征态 2 ( )sin() n n x x LL =下，动量和动能的平均值。 解： * 00 ( )( )( )( ) LL nnnn d Px Px dxixx dx dx = ? 2 0 2 sin()cos() L nn xn x idx LLL = ? 2 0 2 sin0 L i nn x dx LL = = ? 2222 * 2 00 ( )( )( )( ) 222 LL nnnn pPd xx dxxx dx dx = ? 2222 22 2 0 ()sin () 2 L nn xn dx LLLL = ? 27、证明 ( ) ( ), x U x U xpi x = ?。 14 证明：设(), ,f x y z为任意可微函数 ( )() , xxxxx U xPfUPPUfUP fPUf = ()Uff i Ui xx = + ? fUf i Ui fi U xxx = + ? UU i fif xx = ? 所以( ) , x U U xPi x = ?。 28、利用测不准关系证明，在 z L本征态 lm Y下，0 x L=，0 y L=。 证明： 2 2 22 ) 4 yzxyzx LLi LLLL= ? ?，（ 由于在 z L本征态 lm Y中，测量力学量 z L有确定值，所以 z L均方偏差必为零，即不确定关系： 22 22 2 )00 44 yxx LLL ? （，欲保证不等式成立，必有：0 x L=，同理0 y L=。 29、若氢原子在 t=0 处在状态 31022101 cc+中，则在 t 时刻氢原子的波函数为（D） A.)exp()( 2 31022101 ? tE icc+；B. )exp()( 3 31022101 ? tE icc+ C.)exp( 2 2101 ? tE ic； D.)exp()exp( 3 3102 2 2101 ? tE ic tE ic+ 30、设),(r nlm 为氢原子的能量本征函数，完成下列积分： = V d nlmx L nlm * _，+ V nlmyxnlm dLL) ( 22* _，= V nlmnlm dL 2* _。 （key:0，()() 2222 1,1?+llmll。 ） 31 、 在 任 意 状 态 中 22 )( ) ( x px_ ， 在 2 L和 z L 的 本 征 态 lm Y中 ， 22 ) () ( yx LL_。 （key: 4 2 ? ， 4 22? m ） 32、证明： （1）证明) ( yzzy pLLpi为厄密算符。 （2）厄密算符的本征值是实数。 （答案略） 第四章作业第四章作业 1、已知在 2 L和 z L的共同表象中，算符 x L和 y L的矩阵分别为 010 2 101 2 010 x L = ? ； 00 2 0 2 00 y i Lii i = ? 求它们的本征值和归一化的本征函数，最后将矩阵 x L和 y L对角化。 15 解：设 x L的本征值为 2 2 = ? ，本征波函数为 a b c = ，本征方程为 x L=即 010 22 101 22 010 aa bb cc = ? ，则 10 110 01 a b c = 要使本征波函数不为零，亦即要求 a,b,c 不全为零，其条件是上式系数矩阵的行列式为零。 即 10 110 01 = 得 3 20+=得 1 2 3 2 0 2 = = = 得2=? 所以本征值 112233 0, 222 , = ? ? 当 1 2=时， 210 1210 012 a b c = ，得 2 2 b a b c = = 得 a b c = 得 1 12 1 12 b = 归一化 11 1 + =即 * 1 2 11 111 22 1 2 bb = 得 * 1 2 b b=得 1 2 b= 所以 1 1 1 2 2 1 = 当 2 0=时， 010 1010 010 a b c = ，有 0b ca = = 得 a b c = 即 2 1 0 1 a = 归一化 * 22 21a a + =得 1 2 a=，所以归一化的波函数 2 1 1 0 2 1 = 当 3 2= 时， 210 1210 012 a b c = ，有 2 2 b a b c = = 由 a b c = 得 3 1 2 2 1 b = 16 归一化 33 1 + =， 1 2 b= ，所以归一化的波函数 3 1 1 2 2 1 = 所以 1 12 1 12 b = 、 2 1 1 0 2 1 = 、 3 1 1 2 2 1 = 构成正交归一的完备系。 正交归一化条件 + = ijij =( ,1,2,3)i j， x L的对角矩阵 x L 1 2 3 0 00 000 00 0 = ? ? 。 类似地, 可求出 y L的本征值、归一化的本征函数系和对角阵。 本征值 123 ,0,= ? 本征波函数 1 1 1 2 2 1 i = 、 2 1 1 0 2 1 = 、 3 1 1 2 2 1 i = 正交归一化条件 + = ijij =( ,1,2,3)i j， y L的对角矩阵 00 000 00 y L = ? ? 2、判断下列算符的矩阵表示何为厄密算符，其中ba,为实数（C） A. ab ba ； B. + + ibaib ibiba ； C. aib iba ； D. ia a 0 0 3、下列说法正确的是（C） A谐振子处0态，能量为零，谐振子不运动； B幺正矩阵是厄密矩阵； C() 22 xx pxxpi是厄密算符； D粒子在x方向的动量 x p与x方向角动量 x L不能同时有 确定的值。 第六章第六章 自旋与全同粒子自旋与全同粒子 1、写出在z表象中的泡利矩阵的表达式= x ；= y ；= z ； 答：泡利矩阵的表达式为 = 01 10 x , = 0 0 i i y , = 10 01 z 。 17 2、写出自旋算符的矩阵形式 x S= ； y S= ，； z S= ？ 答：自旋算符的矩阵形式为 01 102 x S = ? ； 0 02 y i S i = ? ； 10 012 z S = ? 。 3、 2 (,) z L L的共同的本征函数是什么？本征值是什么，写出其本征值方程？ 答： 2 (,) z L L的共同的本征函数是球谐函数( , ) lm Y 。 本征值方程为 22 ( , )(1)( , ) lmlm LYl lY =+?；( , )( , ) zlmlm L Ym Y =?。 4、写出产生算符、湮灭算符、粒子数算符的本征值方程？ 答：产生算符的本征值方程1a nn n=； 湮灭算符的本征值方程11annn + =+； 粒子数算符的本征值方程 Na a nn n + =。 5、写出下列对易关系 y xP = ， x xP = ， xy LL= 。 答： y xP = 0 ， x xP = i? ， xy LL= z i L? 。 6、写出下列对易关系 yz LL= ， y yP = ， x yP = 。 答： yz LL= x i L ? ， y yP = i? ， x yP = 0 。 7、证明： xyz i =。 （5 分） 证明：由对易关系 2 xyyxz i =及反对易关系 0 xyyx +=，得 xyz i = 上式两边乘z，得 2 xyzz i = 2 1 z = xyz i = 8、证明：在 z L的本征态下，0 x L=。 证明：由 z L的本征态为( , ) lm Y ， *1 ( , )( , )( , )( , ) xlmxlmlmyzzylm LYL YdYL LL L Yd i = = ? * 11 ( , )( , )( , )( , ) lmyzlmlmzylm YL L YdYL L Yd ii = ? * 11 ( , )( , )( , )( , ) lmylmzlmylm mYL YdL YL Yd ii = ? ? 18 * 11 ( , )( , )( , )( , ) lmylmlmylm mYL YdmYL Yd ii = ? ? =0，得证。 9、求 01 102 x S = ? 的本征值和所属的本征函数。 解：对 01 102 x S = ? 由 11 22 01 102 cc cc = ? 得久期方程： 2 0 2 = ? ? 则本征值为 2 = ? 当 1 2 = ? 时，本征函数为 1 2 12 当 2 2 = ? 时，本征函数为 1 2 12 10、求 0 02 y i S i = ? 的本征值和所属的本征函数 解：对 0 02 y i S i = ? 由 11 22 0 02 cci cci = ? 得久期方程： 2 0 2 i i = ? ? 则本征值为 2 = ? 当 1 2 = ? 时，本征函数为 1 2 2i 当 2 2 = ? 时，本征函数为 1 2 2i 11、设氢原子处于 19 ()( )()( )()( )() 21103110211 1 111 , ,RY,RY,RY, 222 rrrr = 的状态上，求其能量、角动量平方及角动量 Z 分量的可能取值与相应的取值几率，并求出它 们的平均值。 解：选 2 , z HLL为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为 ()( )() 4 22 1 2 ,RY, n nlmnllm e E n rr = = ? 其中，量子数的取值范围是 lllllm nl n += = = , 1, 2, 1, 1, 2 . 1 , 0 , 3 , 2 , 1 ? ? ? 利用归一化条件求出归一化常数为 1 2 1114 2425 c =+= 主量子数n的可能取值只有两个，即2,3n =，于是 () 4 22 2 1144 , 82255 e EWE = =+= ? () 4