人教版九年级数学第22章二次函数22.2二次函数与一元二次方程讲义

合作探究探究点1（高频考点）二次函数与一元二次方程的关系情景激疑校运会上，某运动员掷铅球，铅球的高与水平距离之间的函数关系式为，则此运动员的成绩是多少？知识讲解一元二次方程的根的情况和二次函数的图像与轴的交点个数之间的关系是相互的，根据根的情况可以判断交点个数，反之也成立，下表是二次函数图像与轴的位置关系与一元二次方程根的情况之间的联系。抛物线与轴公共点的个数（）一元二次方程的根的情况（）0有两个有两个不相等实数根=0有一个有两个相等数根0没有公共点没有实数根典例剖析例1 已知抛物线与轴没有交点。（1） 求的取值范围；（2） 试确定直线经过的象限，并说明理由。解析 抛物线与轴的交点个数由确定。答案 （1）抛物线与轴没有交点，0，即0，解得。（3） 0，直线经过第一、二、三象限。规律总结抛物线与轴交点个数的问题，也就是探究一元二次方程的根的情况，可由的符号构造方程或不等式，求解即可。类题突破1 二次函数的图象与轴的交点个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3答案 B点拨 ，二次函数的图象与轴的交点个数为1。类题突破2 抛物线与轴交点的个数为（ ）A.2 B.1 C.0 D.与有关答案 A点拨 0，故抛物线与轴有两个交点，故选A。类题突破3 抛物线与轴的交点坐标为（1,0），（3,0），则方程的解为 。答案 类题突破4 已知函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）A. 4 B.4 C.4且3 D.4且3答案 B点拨 当-3=0即=3时，此函数为一次函数，它的图象与轴有交点；当-30即3时，此函数为二次函数，因为它的图象与轴有交点；则0，解得4。综上，的取值范围是4，故答案为B。探究点2 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根知识讲解利用二次函数图象求一元二次方程的近似根。（1） 先画出函数的图象；（2） 方法一：通过图象观察求一元二次方程的根； 方法二：通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，求得一元二次方程的近似根。典例剖析例2 利用二次函数的图象求的近似解（精确到0.1）。解析 画出函数的图象，由图象与轴的交点的位置确定两根的取值范围，再利用计算器求得近似解。答案 列表：-3-2-1012345-52710111072-5描点连线如下图。由图象可知方程有两个根，一个根在3与2之间一个根在4与5之间。先求3与2之间的根，利用计算器进行探索：2.42.32.22.10.560.110.761.39因此，=2.3是方程的一个近似根，另一个根可以类似地求出：4.14.24.34.41.390.760.110.56因此，=4.3是方程的另一个近似根。规律方法根据二次函数的图象与轴交点的横坐即为方程的解，所以可以利用函数的图象，观察图象与轴的交点，从而求得方程的解，这一方法充分体现了数形结合的思想，在利用函数图象解一元二次方程时，函数图象尽可能地画准确，由于作图和观察的误差，因此，求出的解都是近似解，为使结果更精确，可以通过取平均数的方法不断缩小根的取值范围，多次重复后，根所在范围的两端的值就越接近根的近似值。类题突破5 画出函数的图象，求方程的近似解。（精确到0.1）答案 画二次函数的图象，如下图，由图象可知方程有两个根，一个在2和1之间，另一个在0和1之间。先求2和1之间的根，利用计算器探索如下：1.11.21.31.41.51.61.70.890.760.610.440.250.040.19故这个根在1.6和1.7之间，且接近于1.6.故=1.6是方程的一个近似根.再求在0和1之间的根，探索如下：0.10.20.30.40.50.60.70.890.760.610.440.250.040.19故其另一个根是=0.6.点拨 根据函数与方程的关系，可得函数图象与轴的交点的横坐标就是相应的方程的解。类题突破6 如下图，是二次函数的图象，那么一元二次方程有两个根，其中一个根在 和 之间，另一个根在 和 之间。答案 1 0 2 3重点难点重难点1 二次函数与一元二次方程的关系对于二次函数，当时，就化为一元二次方程。因此，当抛物线与轴相交时，交点的横坐标就是一元二次方程的根。当抛物线与轴有两个交点时，一元二次方程有两个不相符的实数根，此时0；当抛物线与轴有一个交点时，一元二次方程有两个相等的实数根，此时=0；当抛物线与轴没有交点时，一元二次方程没有实数根，此时0.反之也成立。例1 已知二次函数.（1） 该函数图象与轴有几个交点？（2） 试说明一元二次方程的根与二次函数的图象之间的关系；（3） 试问为何值时，函数的值为1？解析 （1）可利用一元二次方程求解.（2）抛物线与直线的交点的横坐标，就是一元二次方程的实数根.（3）解，或利用函数图象求解。答案 （1）对于二次函数，令，则有.而0，所以该函数图象与轴有两个交点。（2）一元二次方程的根，可以看作二次函数在的值为7时的的值。（3） 直接解方程，解得.方法提示抛物线与轴交点的个数可通过相应一元二次方程解的个数来判断，也可以利用与0的大小关系来判断。类题突破1 二次函数的部分如图所示，则关于的一元二次方程的一个解是，另一个解（ ）A.1 B.1 C.2 D.0答案 B点拨 由于抛物线的对称轴是=2，关于的一元二次方程的一个解是，即抛物线与轴的交点坐标是（5,0），根据抛物线的对称性，抛物线与轴的另一个交点坐标为（1,0），所以方程的另一个解是，故答案为B.类题突破2 抛物线如图所示，则=0的解为 ，0的解为 。答案 -2或-6-2或6点拨 =0的解为图象与轴交点的横坐标，0的解为在轴上方的图象所对应的自变量的取值范围.例2 求抛物线与直线的交点坐标.解析 联立两方程，解方程组，求抛物线与直线的交点就是求解析式组成的方程组的解。答案 要求交点坐标可把与组成方程组，解之得，所以交点坐标为（0,1），（4,5）.类题突破3 已知抛物线如图所示，则关于的方程8=0的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的正实数根B. 有两个异号实数根C. 有两个相等的实数根D. 没有实数根答案 C点拨 抛物线的顶点的纵坐标为8，将抛物线向下平移8个单位长度为抛物线8，此时抛物线8与轴只有一个交点，此时方程有两个相等的实数根。类题突破4 若，（）是方程（）（）=1（）的两个根，则实数，的大小关系为（ ）A. B.C. D.答案 C点拨 画出抛物线与直线，两图象的交点的横坐标就是方程=1的两个根，即，而，是二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标，由图象知 .重难点2 求一元二次方程的近似解求一元二次方程的近似解有以下几种常用的方法：（1） 直接画出函数（）的图象，则图象与轴交点的横坐标就是方程的近似解；（2） 先将方程变形为，再分别画抛物线（）和直线，则两图象的交点的横坐标就是方程的近似解；（3） 先将方程变形为，再分别画抛物线和直线，则两图象的交点的横坐标就是方程的近似解。例3 利用二次函数图象求一元二次方程的解。解析 根据由函数图象求方程的根的步骤求解。答案 解法一：画出函数的图象。如图（1）所示，观察图象知抛物线与轴的两个交点是（-1,0）和（3,0）原方程的解为=-1，=3.解法二：画出函数的图象及直线，如图（2）所示，观察两图象的交点A，B的横坐标分别为-1,3.原方程的解为=-1，=3.解法三：画出函数和的图象，如图（3）所示，观察两图象的交点C，D的横坐标分别为-1,3.原方程的解为=-1，=3.图（1） 图（2） 图（3）类题突破5 利用图象法解方程.答案 在同一直角坐标系中画出函数和的图象，如图所示，观察图象的交点可知坐标为（-3,12）和（2,2）,所以此方程的解为=2，=-3.点拨 函数与的图象的交点的横坐标即为方程的解。易错指导易错点1 利用根的判别式时考虑不全面例1 已知二次函数的图象与轴有交点，求的取值范围。错解 二次函数的图象与轴有交点，0，且，且。错因分析 本题根据二次函数的图象与轴有交点只得到0而忽略了=0的情况导致出错。正解 二次函数的图象与轴有交点，0，且，且。纠错心得 要注意抛物线与轴有交点时包括两种情况：一个交点和两个交点，故需0.易错点2 二次函数与一元二次方程解的估值问题例2 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程=0的一个解的范围是（ ）6.176.186.196.20-0.03-0.