人教版九年级数学第23章旋转23.1 图象的旋转讲义

合作探究探究点1 旋转的概念情景激疑时钟上的秒针不停地转动，小小风车带给我们许多童年的欢乐，这些现象有什么共同特点？知识讲解把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P，那么这两个点叫做对应点.注意 （1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。（2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。（3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。典例剖析例1 如图，QAB绕O点按顺时针方向旋转得到OEF，在这个旋转过程中：（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？解析 根据定义，围绕旋转的点为旋转中心，对应点与旋转中心相连的线段的夹角都是旋转角。答案（1）旋转中心是O，AOE、BOF 都是旋转角.（2）经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置.方法指导要充分理解旋转概念的含义，结合图形变换前后的关系找出对应点，从而确定旋转角及其对应点的变化。类题突破1 如图，在ABC中，CAB=65，将ABC在平面内绕点A旋转到ABC的位置，使CC/AB，则旋转角的度数为（ ）A.35 B.40 C.50 D.65解析 CC/AB，ACC=CAB=65，ABC绕点A旋转得到ABC，AC=AC,CAC=180-2ACC=180-265=50，CAC=BAB=50.故选C.答案 C探究点2 旋转的性质情景激疑把手中的三角板贴在白纸上，描出内部的三角形，然后围绕一点（点出此点）转动一定角度，再描出内部的三角形，测量出对应点和旋转中心所连线段的长度，比较旋转角的大小并观察验证两三形的关系，你能得到什么结论？知识讲解旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等。（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。（3）旋转前、后的图形全等。注意 （1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键.（2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础.（3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。知识讲解例2 如图，ABC为等边三角形，D为ABC内一点，ABD经过旋转后到达ACP的位置，则，（l）旋转中心是什么？（2）旋转角的度数是多少？（3）ADP是什么三角形，为什么？解析 由于ACP是由ABD旋转得到的，这两个三角形的形状大小都没有变化，只是位置作了变换，在旋转过程中点A始终保持未动，AB转到AC上，AD转到AP上，即AB的对应线段是AC，AD的对应线段是AP，而旋转角是一组对应线段的夹角，即BAC=DAP=60，AD=AP.答案 （1）点A （2）60（3）AD=AP，DAP=60，所以ADP是等边三角形。方法指导等边三角形各边相等，各角都是60，一边绕顶点旋转与另一边重合可以得出相等的边和相等的角，结合旋转的性质，是解决此题的关键，此类问题应寻找特殊对应点，从而找出对应角的变化，解决问题。类题突破2 如图，在正方形ABCD中，E为DC边上一点，连接BE，将BCE绕点C按顺时针方向旋转90，得到DCF，连接EF，若BEC=60，则EFD的度数为（ ）A.10 B.15 C.20 D.25思路图示 由于DCF 是BCE旋转得到的，答案 B探究点3 旋转作图情景激疑观察课本图23.1-9，你能说出这些美丽的图案是怎样得到的吗？你会画一个图形旋转后的图形吗？知识讲解（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等.典例剖析例3 如图（1），ABC绕点O旋转，使点A旋转到点D处，画出旋转后的三角形，并写出简要作法。解析 本题已知旋转后点A的对应点是点D，且旋转中心也已知，所以关键是找出旋转角和旋转方向。显然，遵时针或顺时针旋转都符合要求，一般我们选择小于180的旋转角为宜，故本题选择的旋转方向为顺时针方向。已知一对对应点和旋转中心，很容易确定旋转角。如图（2），连接QA、OD，则AOD即为旋转角.接下来根据“任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角”和“对应点到旋转中心的距离相等”这两个依据来作图即可。答案 （1）连接OA、OB、OC、OD；（2）分别以OB、OC为边作BOM=CON=AOD；（3）分别截取OE=OB，OF=OC；（4）依次连接DE、EF、FD，即DEF就是所求的三角形，如图（2）所示。方法指导作图的关键在于找到对应点，不同的题目给出的条件不同，所以找对应点的方法也就不一样，此题给出了A与D是对应点，根据性质就可以知道旋转角，结合旋转作图的方法，作出图形。类题突破3 已知四边形ABCD，你能作出它旋转100后的图形吗？试一试.答案 略.点拨 因题目要求宽泛，所以每个同学要先确定旋转中心，再确定旋转方向，才能画图，所画出的图形也不同，同学们可以交流，以加深对旋转角、旋转中心、旋转方向这三个因素对旋转影响的理解。重点难点重难点1 旋转的概念及性质的应用（1）旋转和平移、轴对称一样也是一种图形变换，它是图形围绕某一点旋转一定角度，因而旋转中心、旋转角、旋转方向、图形全等是判断旋转的关键。（2）旋转的性质是整节的关键，它是整个内容应用的基础.其中有关旋转角的题目较多、辨别旋转角的关键是：找出对应点、旋转中心就可以判断出旋转角。确定旋转角是求角的度数问题的关键，也是旋转作图的基础。（3）应用时应注意旋转具有方向性（顺时针和逆时针），必须注意这点，考虑两种可能。例1 如图可以看作是由一个等腰直角三角形旋转若干次而形成的，则每次旋转的度数是（ ）A.90 B.60 C.45 D.30解析 根据旋转的性质并结合一个周角是360求解。答案 C类题突破1 如图，把正方形ABCD绕点A按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H，试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想.答案 连接AH，由正方形ABCD和旋转的性质可知，AD=AG，AD=AB，AG=AB.G=B=90，AH=AH，AGHABH（HL），HG=HB.点拨 连接AH构造全等三角形，寻找全等的条件，AG=AB，G=B=90，AH=AH，由HL公理，可证出全等，得出结论。方法提示（1）根据图形特点，构造全等三角形。（2）利用旋转的性质，结合正方形的性质，寻找等量关系，证明全等，从而得出结论。重难点2 旋转作图的应用（1）旋转作图是旋转的落脚点，很多美丽的图案是由一个简单图形通过旋转变化而来的.利用旋转设计图案在现实生活中很常见。（2）作旋转图形的关键在于运用旋转的性质找到对应点，旋转过程中所有旋转角都相等，对应线段相等，所以通过作等角，再截取相等线段的方法找对应点，顺次连接对应点就能得到已知图形旋转后的图形。（3）旋转中心、旋转角、旋转方向是旋转作图的三个必要条件，只有在它们一定的情况下，图形才是唯一的.否则有一个条件不固定就可以作多个图形，但所作的图形都全等。例2 己知：如下图，ABC和三角形外一点O，作出ABC关于O点顺时针旋转110的旋转图形。解析 作图的关键在于找到A、B、C的对应点D、E、F，根据旋转的性质，连接AO，在AO的右侧作110的角，在角的另一边上截取OD=OA，则点D就是A的对应点，同样作出B、C的对应点E、F，顺次连接DE、EF、FD得到的三角形即为所求的三角形。答案 （1）连接AO，在AO的右侧作AOM=110，在OM上截取OD=OA，则点D就是A的对应点。（2）同样方法作出B、C的对应点E、F，顺次连接DE、EF、FD得到的三角形即为所求的三角形。方法提示所有关于图形变换（轴对称、平移、旋转）的方法都相似，关键在于找出对应点，旋转作图就是结合旋转的性质，找出符合条件的对应点，顺次连接即可得所求图形。类题突破2 如图（1），线段AB绕点O旋转了一个角度后，成为线段CD，由于不小心，点O被擦去了，你能找到点O的位置吗？答案 （1）连接AC、BD；（2）分别作AC、BD的垂直平分线，两线相交于点O，点O即为所求的旋转中心.如图（2）所示。点拨 由于对应点到旋转中心的距离相等，即AO=CO，BO=DO，因此点O在线段AC的垂直平分线上，也在线段B即的垂直平分线上，故点O是线段AC的垂直平分线与BD的垂直平分线的交点.方法提示由此可以推广，对于任意旋转图形，我们都可以找到两对合适的对应点，连接后作它们的垂直平分线，交点即是旋转中心，这与下节将学习的找中心对称图形的旋转中心的方法不同。易错指导易错点1 混淆旋转变换与平移变换例1 如图所示的图形由四个能够完全重合的等腰直角三角形拼成，认真观察后，回答下列问题.（1）图中有哪些三角形可以由三角形旋转得到？（2）图中有哪些三角形可以由三角形平移得到？错解 （1）三角形都可以由三角形旋转得到.（2）三角形可以由三角形平移得到.错因分析 旋转变换与平移变换都没有改变图形的大小和形状，只是改变了位置，所以很容易混淆。正解 （1）三角形可由三角形绕点B顺时针旋转90得到，三角形可由三角形绕点F逆时针旋转90得到.（2）三角形可由三角形平移得到。纠错心得 旋转变换由三个条件决定，即旋转中心、旋转方向、旋转角度，三者缺一不可.易错点2 对旋转的特征理解不透彻例2 图（1）所示，把AOB绕点O逆时针旋转45，画出旋转后错解 如图（3）所示，AOB即为所求。错因分析 不能准确理解旋转方向及旋转角的含义而导致错误。正解 如图（2）所示，AOB即为所求。纠错心得 在旋转过程中，对应边所夹的角即为旋转角，所以在画图中，重点是找到对应边。易错点3 旋转方向不确定时，没有进行分类讨论例3 在ABC中，B=45，C=60，将ABC绕点A旋转30后与AB1C1重合，求BAC1的度数。错解 当ABC绕点A逆时件旋转30时（如图（1）所示），B=45，C=60，BAC=75.BAC1=BAC+CAC1=75+30=105.错因分析 只考虑了