人教版八年级下册数学第17章《勾股定理》讲义第6讲勾股定理－逆定理（有答案）

第6讲 勾股定理逆定理第一部分 知识梳理知识点一：勾股定理的逆定理如果三角形三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边 .勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，为三边的三角形是锐角三角形；定理中，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，满足，那么以，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形知识点二：勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，为正整数时，称，为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；等用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）；（为正整数） （，为正整数）知识点三：勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决：知识点四：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。知识点归纳： 互逆命题:题设和结论正好相反的两个命题为互逆命题. 互逆定理:一般地，如果一个定理的逆命她经过证明是正确的它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理注意：（1）任何一个命题都有逆命题. （2）原命题成立，它的逆命题不一定成立.也就是说一个定理它有逆命题，但它不一定有逆定理（3）找一个命题的逆命题时只需要把原命题的题设和结论换过来.第二部分 考点精讲精练考点1、利用逆定理判断直角三角形例1、下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（）A、 B、 C、 D、例2、适合下列条件的ABC中, 直角三角形的个数为（ ） A=450; A=320,B=580; A、2个 B、3个 C、4个 D、5个例3、下列结论错误的是（ ）A、三个角度之比为123的三角形是直角三角形 B、三条边长之比为345的三角形是直角三角形C、三条边长之比为81617的三角形是直角三角形 D、三个角度之比为112的三角形是直角三角形例4、已知:ABC的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且mn),判断ABC是否为直角三角形.例5、三边长为，满足，的三角形是什么形状？举一反三：1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，402、下列各组线段中的三个长度：9、12、15；7、24、25；32、42、52；3a、4a、5a（a0）；m2-n2、2mn、m2+n2（m、n为正整数，且mn）其中可以构成直角三角形的有（ ）A、5组 B、4组 C、3组 D、2组3、现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）A、30厘米 B、40厘米 C、50厘米 D、以上都不对4、四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。5、如果ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。考点2、逆定理的应用例1、如图所示的一块地，ADC=90，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。例2、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3，AD=4，BC=12，CD=13，且A=90，求四边形ABCD的面积。例3、已知中，边上的中线，求证：例4、某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？例5、如图所示，在四边形ABCD中，已知：2：2：3：1，且B90，求的度数举一反三：1、如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ） A、CD、EF、GH B、AB、EF、GH C、AB、CD、GH D、AB、CD、EF2、如图，AD=7，AB25，BC10，DC26，DB24，求四边形ABCD的面积.3、如图，正方形ABCD中，边长为4，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE=BC，求证：AFFE4、如图，已知在ABC中，D是AB上一点，且AC=20，BC=15，DB=9，CD=12求ABC的面积5、已知：如图，ABC中，C90，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DEDF求证：AE2BF2EF2考点3、命题与逆命题例1、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确（1）原命题：对顶角相等（2）原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等 （3）原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等例2、下列命题中是假命题的是（ ） A、ABC中,若B=CA,则ABC是直角三角形 B、ABC中,若a2=(b+c)(bc),则ABC是直角三角形 C、ABC中,若ABC=345则ABC是直角三角形 D、ABC中,若abc=543则ABC是直角三角形例3、下列命题中的假命题是（ ）A、在ABC中，若A=CB，则ABC是直角三角形B、在ABC中，若a2+b2=c2，则ABC是直角三角形C、在ABC中，若A、B、C的度数比是523，则ABC是直角三角形D、在ABC中，若三边长abc=223，则ABC是直角三角形例4、“内错角相等，两直线平行”这个命题的逆命题是_，它是一个_命题（填“真”或“假”）例5、写出符合下列条件的一个原命题： （1）原命题和逆命题都是真命题 （2）原命题是假命题，但逆命题是真命题 （3）原命题是真命题，但逆命题是假命题 （4）原命题和逆命题都是假命题举一反三：1、下列说法正确的是（ ） A、每个命题都有逆命题 B、每个定理都有逆定理 C、不正确的命题的逆命题也是不正确的 D、正确的命题的逆命题也是正确的2、下列各命题的逆命题不成立的是（ ） A、两直线平行,同旁内角互补 B、若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等. C、对顶角相等D、如果，那么3、下列说法正确的是（ ） A、若 a、b、c是ABC的三边，则a2b2c2 B、若 a、b、c是RtABC的三边，则a2b2c2 C、若 a、b、c是RtABC的三边，则a2b2c2 D、若 a、b、c是RtABC的三边，则a2b2c24、下列命题 如果a、b、c为一组勾股数，那么0.5a、0.5b、0.5c仍是勾股数；如果直角三角形的两边是3、4，那么另一边必是5；如果一个三角形的三边是5、13、14，那么此三角形必是直角三角形；一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（ab=c），那么a2b2c2=211。其中正确的是（ ） A、 B、 C、 D、 5、下列说法中错误的是（ ） A、在ABC中，若ACB，则ABC是直角三角形； B、在ABC中，若，则ABC是直角三角形； C、在ABC中，若A、B、C的度数比是7：3：4，则ABC是直角三角形； D、在ABC中，若三边长a：b：c2：2：3，则ABC是直角三角形第三部分 课堂小测1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A、2，3，4 B、10，8，4 C、7，25，24 D、7，15，122、满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A、三内角之比为123 B、三边长的平方之比为123C、三边长之比为345 D、三内角之比为3453、如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为1，则ABC是（ ） A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、以上答案都不对4、三角形的三边长为,则这个三角形是（ ） A、等边三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、锐角三角形5、将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ） A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、以上三种情况都有可能6、若一个三角形的三边之比为452853，则这个三角形是 （按角分类）7、写出下列命题的逆命题，它们的逆命题一定成立吗? (1)、如果两个角是直角.那么它们相等. (2)、全等三角形的对应边相等. (3)、如果两个实数相等.那么它们的平方也相等. (4)、到角的两边距离相等的点在角的平分线上.8、已知a，b，c为ABC的三边长，且（+）2=3（+），试说明这个三角形是什么三角形9、已知a、b、c是ABC的三边，且a2c2b2c2a4b4，试判断三角形的形状10、如图，P是等边三角形内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作，且BQ=BP，连结CQ（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断PQC的形状，并说明理由第四部分 提高训练1、已知a，b，c是直角三角形的三条边，且abc，斜边上的高为h，则下列说法中正确的是 （只填序号） a2b2+h4=（a2+b2+1）h2；b4+c2h2=b2c2；由， ，可以构成三角形；直角三角形的面积的最大值是 2、若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：、以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形、以，的长为边的三条线段能组成一个三角形、以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形、以 ， 的长为边的三条线段能组成直角三角形 其中所有正确结论的序号为 。3、在ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，ABC是直角三角形；当a2+b2c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究ABC的形状（按角分类）（1）当ABC三边分别为6、8、9时，ABC为 锐角 三角形；当ABC三边分别为6、8、11时，ABC为 三角形（2）猜想，当a2+b2 c2时，ABC为锐角三角形；当a2+b2 c2时，ABC为钝角三角形（3）判断当a=2，b=4时，ABC的形状，并求出对应的c的取值范围4、某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m、8m现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形求扩建后的等腰三角形花圃的周长。5、已知，ABC是边长3cm的等边三角形动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t=_（s）时，PBC是直角三角形；（2）如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发设运动时间为t（s），那么t为何值时，PBQ是直角三角形？（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动连接PQ交AC于D如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发设运动时间为t（s），那么t为何值时，DCQ是等腰三角形？（4）如图4，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动连接PQ交AC于D，连接PC如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发请你猜想：在点P、Q的运动过程中，PCD和QCD的面积有什么关系？并说明理由第五部分 课后作业1、分别有下列几组数据：6、8、10 12、13、5 17、8 、15 4、11、9其中能构成直角三形的有（ ）A、4组 B、3组 C、2组 D、1组2、下列三角形中不是直角三角形的是（ ）A、三个内角之比为561 B、其中一边上的中线等于这一边的一半C、三边之长为9、40、41 D、三边之比为1.5 : 2 : 33、若ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则ABC是（ ） A、等腰三角形 B、等边三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形4、三角形的三边长分别为（都是正整数）则这个三角形是（ ） A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定5、下列命题的逆命题正确的是（ ） A、如果两个角是直角，那么它们相等 B、全等三角形的对应角相等 C、如果两个实数相等，那么它们的平方也相等 D、到角的两边距离相等的点在角的平分线上6、下列五个命题：（1）若直角三角形的两条边长为5和12，则第三边长是13；（2）如果a0，那么=a（3）若点P（a，b）在第三象限，则点P（a，b+1）在第一象限；（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 其中不正确命题的个数是（） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个7、已知ABC中，a2b2c210a24b26c338，试判定ABC的形状，并说明你的理由.8、如图所示，在ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，BPQ的面积为多少cm2？9、如图，在我国沿海有一艘不明国际的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已