人教版数学九年级上册第二十一章《一元二次方程》解题指导

抓特征,巧解一元二次方程解一元二次方程的常用方法有:直接开方法,配方法,公式法,因式分解法.到底选择哪种方法更合适些呢?这应由方程的特征来确定.因此,解方程之前我们应仔细观察方程的系数特点和方程的结构特征,并根据它们来灵活选择解题的方法,从而达到迅速、简便、准确解题的目的.试看以下几例:例1解方程.析本题方程的特征为左右两边均是一个完全平方式的形式,可尝试用直接开方法来求解.解方程两边直接开方,得,即,或,解得例2解方程.析注意到方程右边可因式分解为,左、右两边有相同的公因式,可尝试用因式分解法来求解.解原方程可化为,移项,得,提取公因式,得,即,解得评注注意解方程时,不能把方程两边的先约去,再求解.这样做的后果是把其中一个解漏掉了,深层原因是忽视了有可能等于0不能作为除数的情况.对于这一类型的题目,一般要先移项,再提取公因式法进行因式分解后求解.例3解方程.析本题方程的二次项系数为3的平方数,一次项系数又是3的偶数倍,可尝试用配方法来求解.解原方程可配方为,两边同时开方,得,解得例4解方程.析方程左边的两个因式具有相同的项、,可尝试把当一个“整体”先对方程进行化简.解原方程可化为,即,两边同时开方,得,解得评注本例若直接利用多项式乘法法则将左边展开,这样解题过程将会复杂许多.通过本例再次让我们感觉到抓住方程的特征,才有利于选择适当方法,才能给我们解题带来简捷与准确.一元二次方程中的思维之魂新课标要求“人人做有价值的数学”。“有价值的数学”就是数学思想方法的学习，它是数学思维的灵魂。现将一元二次方程中主要数学思想做一个简要的说明。一、转化思想所谓转化思想就是将复杂的问题转化为简单的问题，将生疏的问题转化为熟悉的问题，将难以解决的问题转化为容易解决的问题，将待解决的问题转化为已解决的问题本章中“转化”的数学思想方法，如同一条线贯穿始终。如一元二次方程的解法：直接开平方法利用平方根的定义将一元二次方程转化为两个一元一次方程；用配方法求解，是把方程化为的形式，体现了数学形式的转化，然后利用直接开平方的方法把“二次”转化为“一次”，把“未知”转化为“已知”；因式分解法是利用因式分解的方法把“二次”转化为“一次”；公式法求解直接用公式把“未知”转化为“已知”。这些都体现了转化的思想方法。二方程思想方程思想是本章中反映的主要数学思想方法，并在本章中有广泛的应用。如已知方程和方程的根，求方程中字母的值时，运用了方程思想；又如列方程解应用问题充分体现了方程思想。先找出应用问题中的一个或几个相等关系，设出未知数，把应用题中的“已知”和“未知”统一在方程中，通过列解方程求得问题的解。三整体思想所谓整体思想就是从整体着眼，把一些看似毫不相干而实质上又紧密相联的数、式看作一个整体去处理在用直接开平方法解一元二次方程时，就涉及到了整体思想例1解方程：。分析本题的方法比较多，不过如果利用整体的思想的方法可大大地减少运算量。把作为一个整体，然后利用因式分解的方法进行解答。解：移项，得，因式分解，得，所以0，0，解得，。四分类讨论思想分类讨论思想是指研究某些数学问题，就其可能出现的各种情况一一加以分类。分类讨论可以把一个复杂的问题分成若干个较简单的问题加以解决。在利用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中运用了分类讨论的思想。分类的对象是、分类的标准是与0的关系、分类的结果是0、0、0，这样分类的结果就十分明确。又如：在涉及到含有字母系数的一元二次方程时，经常要用到分类讨论思想。例2解方程：。分析：本题分两种情况进行讨论：当和。解：当时，原方程可化为：，解得。当时，原方程可化为，解得。故原方程的解有四个：，。整体性思维在解题中的应用有许多数学题，若单独求解很困难，或者很繁琐。若认真分析题意、仔细观察结构，研究问题的整体形式、整体结构，运用整体性思维，往往能顺利而又简洁地解决问题。现举几例如下：1、整体求值例1、 已知m是一元二次方程x22x1=0的根,求m22m的值。分析 本题若把m代入方程，求出两个无理根，再把m的值代入m22m求值，显然麻烦且容易出错。我们把m22m看做一个整体，由m22m1=0，可直接求得m22m=12、整体代入例2、已知x25x1=0，求x2+11的值.分析：如果从方程x25x1=0中解出两个无理根，再代入求值，计算复杂，现把x2=5x+1视作整体代入，则使求值简便。解：由x25x1=0，得x2=5x+1，所以x2+11=5x+1+11=16.3、整体求积例3、在RtABC中，C=90,AC+BC=,AB=.求SABC.分析 若求出AC和BC的值，再计算SABC，则很麻烦。 要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。由于SABC=ACBC,所以我们只要能求出ACBC的值就可以了。 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。解 由AC+BC=,得（AC+BC）2=6,所以，AC2+BC2+2ACBC=6,由勾股定理得，AC2+BC2=AB2=5，所以，ACBC=， 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。因此，SABC=ACBC=。 4、变0代入例4、当x=时，求式子(4x3-2019x-2009)2009的值。分析 若直接代入x的值，计算将很难进