人教版选修21第二章曲线与方程的概念讲义

案例（二）精析精练课堂 合作 探究重点难点突破知识点一 曲线方程概念的理解1.在建立了平面直角坐标系之后,平面内的点和有序实数对之间就建立了一一对应关系,现在要求我们进一步研究平面内的曲线与含有两个变量的方程之间的关系.平面内的曲线可以理解为平面内符合某种条件的点的集合(或轨迹)也就是说:(1)曲线上的每一个点都要符合某种条件;(2)每个符合条件的点都要在曲线上既然平面内的点与作为它的坐标的有序实数对之间建立了对应关系,那么对应于符合某种条件的一切点,它的坐标是应该有制约的,也就是说它的横坐标与纵坐标之间受到某种条件的约束,所以探求符合某种条件的点的轨迹问题,就变为探求这些点的横坐标与纵坐标应满足怎样的约束条件的问题,含两个变量x、y的方程F(x,y)=0就标志着横坐标x与纵坐标y之间所受的约束. 2.在曲线的方程的定义中,曲线上的点与方程的解之间的关系(1)和(2)缺一不可,而且两者是对曲线上的任意一点以及方程的任意一个实数解而言的从集合的角度来看,设A是曲线C上的所有点组成的点集,B是所有以方程F(x,y)=0的实数解为坐标的点组成的点集,则由关系(1)可知AB,由关系(2)可知BCA;同时具有这两个关系,就有A=B. 3.从充要条件的角度理解,即“某点在曲线上”与“点的坐标满足曲线的方程”之间是互为充要条件的.知识点二 圆系方程1.曲线系:同时具有某一特征的一组曲线叫做一个曲线系;它们的共同方程叫做这个曲线系的曲线系方程2.圆系方程:(1)过两已知圆交点的圆系方程:两相交圆C:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.则过其交点的圆系方程为:x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1).(2)过直线与圆交点的圆系方程:直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交,则过其交点的圆系方程为:x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0. 典型例题分析 题型1曲线的方程与方程的曲线 【例1】判断下列命题是否正确: 设点A(2,0)、B(0,2),则线段AB的方程是x+y-2=0; 到原点的距离等于5的动点的轨迹是y=; 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x2-y2=0. 解析 根据曲线与方程的定义,逐条检验“两性”答案 命题中方程x+y-2=0表示一条直线,坐标满足该方程的点如(-1,3)等不在线段AB上,故命题错误;命题中到原点距离等于5的动点的轨迹方程为x2+y2=52,方程y=表示的曲线是圆x2+y2=25除去x轴下半部分的曲线,故命题错误命题中到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y=x,满足x2-y2=0,反过来坐标满足方程x2-y=0的点到两坐标轴的距离相等,故命题正确规律总结 判断方程是否是曲线的方程,要从两个方面着手,一是检验点的坐标是否适合方程,二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上 【变式训练1】下列命题是否正确?若不正确,说明原因 (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程是|x|=2; (2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y=x 答案(1)错误,因为以方程|x|=2的解为坐标的点,不都在直线l上,直线l只是方程|x|=2所表示的图形的一部分(2) 错误,因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线y=x和y=-x,故y=x不是所求的轨迹方程 题型2曲线的交点 【例2】求通过直线2x+y+4=0及圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点,并且面积最小的圆的方程 解析 利用圆系公式可求出变圆的半径,参变量取适当值时可使变圆半径最小 答案 设圆的方程是(x2+y2+2x-4y+1)+(2x+y+4)=0,即x+(1+)2+(y+)=.设该圆半径为R,由圆面积公式S=R2,得R2=取最小值的面积为最小.而R2=（-）2+,所以当=时,圆面积最小.此时圆的方程是5x2+5y2+26x-12y+37=0. 规律总结 最值问题要先列出目标函数,再利用合适的方法求最值 【变式训练2】已知直线x+y+b=0与曲线x2-1+y=0有公共点,则b的取值范围是 . 答案 联立两曲线方程,消去y得x2-x-(1+b)=0.由题意得0,即1+4(1+b)0,解得b-规律 方法 总结 1.判断方程是否是曲线方程,要从两方面着手,一是检验点的坐标是否适合方程,二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上2.判断方程表示什么曲线,要对方程适当变形,变形过程一定要注意与原方程的等价性,否则变形的方程表示的曲线就不是原方程的曲线,另外,变形的方法还有配方法、因式分解法等 3.在求轨迹方程时经常遇到已知一动点的轨迹方程,求另一动点的轨迹方程的问题,而解决这类问题的解法称为代入法(或相关点法),而此法的关键是如何来表示出相关的点定时 巩固 检测基础训练1.如果命题“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上”是不正确的,那么下列命题中正确的是 ( )A.坐标满足f(x,y)=0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标不都满足方程f(x,y)=0C.坐标满足方程f(x,y)=0的点有些在曲线C上,有些不在曲线C上D.至少有一个不在曲线C上的点,其坐标满足f(x,y)=0【答案】D(点拨:由简易逻辑推理可得)2.已知圆C的方程f(x,y)=0,点A(x0,y0)在圆外,点B(x,y)在圆上,则f(x,y)-f(x0,y0)+f(x,y)=0表示的曲线是 ( )A.就是圆C B.过A点且与圆C相交的圆C.可能不是圆 D.过A点与圆C同心的圆【答案】D(点拨:由点B(x,y)在圆上,f(x,y)=0,即方程为f(x,y)-f(x0,y0)=0,方程过点A(x0,y0)又f(x0,y0)为常数,f(x,y)-f(x0,y0)=0仍为圆的方程.)3.已知A(1,0),B(-1,0),动点M满足|MA|-|MB|=2,则点M的轨迹方程是 ( )A.y=0(-1y1) B.y=0(x1) C.y=0(x-1) D.y=0(|x|1)【答案】C(点拨:由|MA|-|MB|=2可设M(x,y),则=2整理得:y=0,又|MA|-|MB|0,x-1.)4.点P(2,-3)在曲线x2-ay2=1上,则a= .【答案】(点拔:将点代入方程中即可.)5.已知两定点A(-1,0),B(2,0),动点P满足,则P点的轨迹方程是 .【答案】x2+4x+y2=0(点披：将|PA|与|PB|用距离公式表示出整理即可,)6.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线、，,交x轴于A点,交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】如下图,设M点的坐标为(x，y),则A(2x,0),B(0,2y),P(2,4),PAPB,kPAkPB=-1,而kPA=(x1),kPB=2-y,(2-y)=-1,整理得x+2y-5=0(x1).当x=1时,A(2.0),B(0,4AB的中点M(1，2)也满足方程x+2y-5=0,综上所述,点M的轨迹方程为x+2y-5=07.线段AB的长度为10.它的两个端点分别在x轴,y轴上滑动，则AB的中点P的轨迹是什么?【答案】解法一：由题意可知AB的中点P恒满足到原点(0,0）的题离为5,所以点P的轨迹为以原点为圆心,以5为半径的圆.解法二:设P点的坐标为(x,y),由中点坐标公式知A(2x，0),B(0,2y),因为|AB|=10,所以=10,即x2+y2=25,所以点P的轨为以原点为圆心,以5为半径的圆能力提升8.如图所示的曲线方程是 （ ）A.|x|-y=0 B.x-|y|=0 C.=0 D.-1=0【答案】B(点拔:A中y0与图形不符,C、D中都不满足y=0,而图形过原点,所以排除C、D,只有B符合题意.)9.(1)方程(x+y-1)=0表示什么曲线?(2)方程2x2+y2-4x+2y+3=0表示什么曲线?【答案】(1)由方程(x+y-1)=0可得或即x+y-1=0(x1)或x=1,表示直线x=1和射线x+y-1=0(x1).(2)方程左边配方得2(x-1)2+(y+1)2=0,2(x-1)20,(y+1)20,得方程表示的图形是点A(1,-1).10.求经过两圆C1：x2+y2+6x-16=0,C2:x2+y2-4x-5=0的交点,且过点(2,1)的圆的方程.【答案】 设圆的方为x2+y2+6x-16+（x2+y2-4x-5)=0又因为圆过点(2,1),代入方程得=,所以所求圆的方程为x2+y2+6x-16+(x2+y2-4x-5)=0.即9x2+9y2+44x-133=0.（点拨:过相交的两个圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1).11.设A(-c,0),B(c,0)(c0)为两定点,动点P到点A