人教版选修21第三章空间向量的线性运算讲义

案例（二）-精细精练课堂 合作 探究重点难点突破知识点一 空间向量的概念 在学习空间向量的概念时,要对比平面向量的有关概念进行理解记忆.(1)向量:具有大小和方向的量叫做向量.(2)相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.(3)零向量:起点与终点重合的向量叫做零向量,记为0.(4)向量的长度:表示向量a的有向线段的长度叫做向量的长度或模,记作|a|.(5)基线:有向线段所在的直线叫做向量的基线.(6)共线向量:如果空间一些向量的基线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量,如a平行于b,记作ab. 注意:共线向量(或平行向量)是指向量的基线相互平行或重合,平行向量的基线可能重合,共线向量的基线可能不重合.共线向量(或平行向量)的方向可能同向,也可能反向.如下右图abcd. 知识点二空间向量的加法、减法和数乘向量运算 我们可把平面向量的线性运算法则,推广到空间,用来定义空间向量的加法、减法和数乘向量运算.(1)平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则,对空间向量也同样成立.(2)平面向量求和的多边形法则,对空间向量也同样成立.如上右图=+.这也就是说,表示相加向量的有向线段依次首尾相接,构成的折线从首到尾的向量就是这些相加向量的和为了便于记忆,常把这个和向量叫做“封口向量”(3)空间向量的加法和数乘向量运算与平面向量一样,满足如下运算律:加法交换律:a+b=b+a；加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)；分配律:(+u)a=a+ua；(a+b)=a+b.(4)两个结论:有限个向量求和,交换相加向量的顺序其和不变;三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量.说明 1.对于空间任意两个非零向量a、b,当它们的基线不在任何同一个平面内(两基线异面),那么总可以通过平移,把它们移到同一平面内,这说明任意两个向量都可以通过平移,转化为平面向量. 2.向量数乘的运算除了满足分配律及结合律外,还有以下些性质: (1)若a0,1a=2a,则1=2； (2)若0,a1=a2,则a1=a2; (3)1a+2a+na=(1+2+n)a； (4)a1+a2+an=(a1+a2+an). 典型例题分析 题型1 空间向量的有关概念 【例1】 回答下列问题: (1)单位向量一定相等? (2)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是不是相等的向量? (3)相等的非零向量,若起点不同,则终点一定不同,这一判断正确吗? (4)空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内?解析 利用向量的有关概念进行判断.答案 (1)不一定.单位向量是指模为1,方向却是不确定的,所以单位向量不定相等.两个非零向量相等必须具备两个条件:一是模相等,二是方向相同.两个条件缺一不可. (2)是. 对照向量相等必须具备的两个条件,这两个条件中,并没有对相应的有向线段的起点加任何限制因此看来,表示相等向量的有向线段的起点是很自由的,相等向量的起点位置具有任意性. (3)正确. 因为在起点不同的情形下,如果终点相同,那么这些向量就不平行,即这些向量的方向就不相同,这与向量相等的定义相矛盾. (4)正确. 在空间任取一点,过此点引两个与已知非零向量相等的向量,而这两个向量所在的直线相交于此点,两条相交直线确定一个平面,所以两个非零向量可以平移到同一平面内. 规律总结 本题共4个小题,解答每一小题都需对所学的知识有一个准确、全面的理解.掌握好概念及相美的基础知识,是学好数学的重要基础.【变式训练1】 回答下列问题:（1）模为0的向量是零向量?（2）方向相反的两个单位向量互为反向量?（3）起点相同且模相等的向量终点在同一圆周上?（4）a-a=0?答案 (1)正确;(2)正确;(3)不正确;(应该是在同一球面上)(4)不正确.(应该为a-【例2】 如下图,在长、宽、高分别为AB=3,AD=2,AA1=1长方体ABCD一A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中, (1)写出所有的单位向量； (2)写出与相等的所有向量； (3)写出与相反的所有向量； (4)写出模为的所有向量. 解析 应用单位向量、相等的向量、相反向量、向量的模的概念及长方体的性质解.即在空间我们将向量对应线段的长度称为该向量的模;将模为1的向量称为单位向量;将模相等且方向相同的向量称为相等的向量;将模相等而方向相反的向量称为相反向量. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,因为长、宽、高分别为AB=3,AD=2,AA1=1,AB1=.答案 (1)单位向量共有:,这八个； (2)与相等的向量共有,式这三个； (3)与相反的所有向量共有:,这四个； (4)模为的向量共有:,这十六个. 错因分析 对向量的相关概念理解不透,考虑问题不仔细、不全面,导致答案中出现漏解情况如(1)中易漏掉,这四个解:(3)中易漏掉这个解等. 【变式训练2】 如右图,在棱长为1的正三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点的两点为始点和终点的向量中, (1)单位向量共有多少个? (2)写出与相等的所有向量； (3)写出与相反的所有向量； (4)写出模为的所有向量. 答案 (1)18个；(2)；(3),； (4)因为AB1=,所以满足要求的向量共有:,这十二个题型2 空间向量的线性运算【例3】 如右图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算结果为的是( )(1)()-；(2)()-；(3)()-；(4)()+.A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)解析 在进行减法运算时,可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量,而在进行加法运算时,首先考虑这两个向量在哪个平面内,然后与平面向量求和一样,运用向量运算定律、平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求解. 答案 (1)()-=+=+=；(2) (-)-=+=+-2=-2； 因此(1)(2)两式的运算结果为向量,而(3)(4)运算的结果不为,故应选择A. 规律总结 在对向量进行加、减法运算时,一定要运用其运算法则及运算定律来简化,特别要注意的是将某些向量进行平移,将其转化到同一平面中去求解,另外,本题是一个选择题,因此,在计算出(1)(2)两式结果后,就已得到选项,故(3)(4)两式不必计算,这样可提高解题速度,体现“小题”小解或巧解的特点 【变式训练3】 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,化简+-等于 ( ) A. B.C. D. 答案 +-=+=+=,故选择A. 【例4】如右图,已知平行六面体ABCD-ABCD,点M是棱AA的中点,点G在对角线AC上且CG:GA=2:1,设=a,=b,=c,试用向量a,b,c表示, 解析 要想用a,b,c表示出所给向量,只需结合图形,充分运用空间向量加、减法的运算律及平行四边形法则或多边形法则即可. (1)由平行四边形法则,得=+=a+b； (2)由平行四边形或三角形法则,得=+=(a+b)+c=a+b+c； (3）同上,得=+=+=a+b+c； (4)由(2),得=(a+b+c). 答案 (1)=a+b； (2)=a+b+c； (3)=a+b+c； (4)=(a+b+c). 规律总结 在用已知向量表示未知向量的时候,要注意寻求两者之间的关系,通常可将未知向量进行一系列的转化,将其转化到与已知向量在同一四边形(更多的是平行四边形)或三角形中,从而可以建立已知与未知之间的关系式。另外,在平行六面体中,要注意相等向量之间的代换,例如,在第(3)小题中,利用了=,把转化为,把一个向量用其他向量来表示,其实质就是把一个向量进行分解,这也是为学习向量共面定理和向量的空间坐标表示奠定基础. 【变式训练4】 在正方体中ABCD中,=a,=b,=c,P是CA的中点,M是CD的中点,N是CD的中点,点Q在CA上,且CQ:QA=4:1,试用a,b,c表示以下向量:(1)；(2)；(3)；(4). 答案 (1)=(+)(a+b+c)；(2)=+=c+b+=a+b+c；(3)=+=b+c+a；(4)=+=+=+(-)=c+(a+b-c)=a+b+c. 题型3 四面体与平行六面体 【例5】 证明平行六面体的体对角线交于一点,并且在交点处互相平分. 解析 可证明体对角线有相同的中点.答案 如上图所示,平行六面体ABCD-,设点O是AC的中点,则=(+).设P、M、N分别是BD、CA、DB的中点.则=+=+=+(+)=+(-+)=(+)同理可证:=(+),=(+) 由此可知O,P,M,N四点重合故平行六面体的体对角线相交于一点,且在交点处互相平分. 方法指导 利用向量解决立体几何中的问题的一般思路是:将要解决的问题用向量表示,用已知向量表示所需向量,对所需向量进行运算,再将运算结果转化为要解决的问题. 【变式训练5】 如右图所示,在平行六面体A1B1C1D1一ABCD中,M分成的比为,N分成的比为2,设=a，=b,=c,试用a、b,c表示.答案 如图，连接AN,则=+.由已知四边形ABCD是平行四边形,故=+=a+b,又M分成的比为,故=-=-(a+b).由已知,N分成的比为2,故=+=-=-=(c+2b),所以=+=(a+b)+(c+2b)=(-a+b+c). 【例6】 如右图,已知六面体ABCD-是平行六面体.(1)化简+,并在图中标出其结果；（2） 设M是底面ABCD的中心,=.设=a+,试求a、的值. 解析 结合图形,利用向量加法和减法、数乘向量的运算法则,将未知向量用已知向量表示出来. 答案 (1)取AA的中点为E,则=,又=,=,取F为DC的一个三等分点(=),=,所以+=+=.(说明:表示法不唯一）(2)=+=+=(+)+(+)=(-+)+(+)=+.所以a=,=,=. 方法指导 结合图形进行计算时,一定要找准向量的方向. 【变式训练6】 如右图所示,从空间一点P出发引三条射线PA、PB、PC,在PA、PB、PC上分别取=a,=b,=c，点G在上,且=2,H为RS的中点,则= .答案 =+=+(+)=-a+c+(-c+b)=-a+(b+c). 规律 方法 总结 (1)准确理解“向量相等”的概念:只要两向量方向相同且模相等,则此两向量相等,与向量起点的选择无关； (2)向量平行与直线平行是截然不同的两个概念,如ab,未必有a与b所在的直线平行； (3)两向量的模相等是两向量相等的必要不充分条件； (4)注意实数与向量乘积的特殊情况:当=0时,a=0；当0时,若a=0,有a=0. (5)记住常用关系、常用数据:在ABC中,+=0；以向量a,b为邻边的平行四边形中,a+b与a一b表示的是两条对角线所在的向量.a+b与|a-b为两条对角线的长；a-b表示的是由b的终点指向a的终点的一条有向线段. (6)向量算式的化简问题:解题时要细致观察,分析所涉及的向量在图形中的位置特点,灵活运用数形结合的思想. (7)实数与向量a的积是一个向量,记为a,它的模与方向规定如下:|a|=|a|.当0时,与a的方向相同；当|,且与同向,则 D.若两个非零向量与满足+=0,则 【答案】 D(点拨:A中向量可平移,B中a与b的终点在一球面上,C中向量不能比较大小,)2.已知正方体ABCD-的中心为O,则在下列各结论中正确的结论共有 （ ） +与+是一对相反向量； -与-是一对相反向量； +与+是一对相反向量； -与-是一对相反向量. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个9 【答案】 C(点拨:画图,利用向量的运算可得:是相反向量；是相等向量；是相反向量；是相反向量.)3.点D是空间四边形OABC的边BC的中点,=a,=b，=c,则为 ( ) A.(a+b)-c B.(c+a)-b C.(b+c)-a D.a+(b+c) 【答案】 C点=+=-a+(+)=-a+(b+c).)4.有下列命题: 当R,且a1+a2+an=0时,a1+a2+an=0； 当1,2,nR,且1+2+n=0时,1a+2a+na=0； 当1,2,nR,且1+2+n=0时,a1,a2,an是n个向量,且 a1+a2+,an=0,则1a1+2a2+nan=0.其中真命题有 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】 C(点拨:由于a1+a2+an=(a1+a2+an)=0=0,故命题为真命题.由于1a+2a+na=(1+2+n)a=0a=0,故命题也为真命题.命题为假命题,例如当n=2时,取1=1,2=-1,a1=a(a0),a2=-a,则1a1+2a2=a+(-1)(-a)=2a0,但此时有1+2=0,a1+a2=0,命题不成立.)5.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且+=+,则四边形ABCD是 ( ) A.空间四边形 B.平行四边形 C.等腰梯形 D.矩形【答案】 B点拨:+=,+=,由=.四边形为平行四边形.)6.如右图所示的空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD的中点,则-+等于 ( ) A.等于 B.3 C.3 D.2【答案】 C(点拨:-=+=+2=3.)能力提升7.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,如图,则下列与向量D1B相等的向量表达式是( ) A-a+b+c B.-a-b+e C.a-b-c D.-a+b-c【答案】 C(点拨:=+=-c-b+a.)8.在三棱锥S-ABC中,G为ABC的重心,则有 ( ) A.=(+) B.=(+) C.=(+) D.=+【答案】 B点拨:=+=+(+)9. 设a表示向东3cm,b表示向北4cm,c表示向上5cm,则a+b-c表示 .【答案】 向东3cm,再向北走4cm,再向下走5cm10.已知平行六面体ABCD-,则下列四式中: -=；