高中数学第一章三角函数的图象与性质（第2课时）正弦函数、余弦函数的性质教案.docx

第2课时正弦函数、余弦函数的性质 核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P34P40的内容，回答下列问题(1)观察正弦函数和余弦函数的图象，你认为正弦函数值和余弦函数值有怎样的变化规律？提示：具有“周而复始”的变换规律(2)正弦曲线和余弦曲线各有怎样的对称性？提示：正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称(3)诱导公式sin(x)sin x，cos(x)cos x，体现了正弦函数ysin x和余弦函数ycos x的什么性质？提示：正弦函数ysin_x为奇函数，余弦函数ycos_x为偶函数(4)正、余弦函数的定义域、值域各是什么？提示：正、余弦函数的定义域为R，值域为1,1(5)正弦函数在上函数值的变化有什么特点？余弦函数在0,2上函数值的变化有什么特点？提示：ysin x在上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值y由1增大到1；在上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值y由1减小到1.ycos x在0，上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值由1减小到1，在，2上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值由1增大到1.2归纳总结，核心必记(1)函数的周期性对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期记f(x)sin x，则由sin(2kx)sin x(kZ)，得f(x2k)f(x)对于每一个非零常数2k(kZ)都成立，余弦函数同理也是这样，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k(kZ且k0)都是它们的周期，最小正周期为2.(2)正、余弦函数的性质函数名称图象与性质ysin xycos x图象定义域RR值域1,11,1周期性最小正周期为2最小正周期为2奇偶性奇函数偶函数单调性在(kZ)上递增；在(kZ)上递减在2k，2k(kZ)上递增；在2k，2k(kZ)上递减对称轴xk(kZ)xk(kZ)对称中心(k，0)(kZ)(kZ)最值x2k，kZ时，ymax1；x2k，kZ时，ymin1x2k，kZ时，ymax1；x2k，kZ时，ymin1问题思考(1)若f(2xT)f(x)恒成立，T是f(x)的周期吗？提示：不是自变量x本身加非零常数T才可以，即f(xT)f(x)(2)周期函数的定义域一定是xR吗？提示：不一定，但周期函数的定义域一定是无限集(3)周期函数的周期是唯一的吗？提示：不唯一，若T是函数的周期，则kT(kZ)也是函数的周期(4)正弦函数和余弦函数的图象都既是中心对称图形又是轴对称图形，它们的对称中心和对称轴有什么关系？提示：正弦函数图象的对称中心、对称轴分别与余弦函数图象的对称轴，对称中心对应课前反思(1)周期及周期函数的定义： ；(2)正弦函数和余弦函数的性质： .知识点1正、余弦函数的周期性讲一讲1求下列三角函数的周期：(1)y3sin x，xR；(2)ycos 2x，xR；(3)ysin，xR；(4)y|cos x|，xR.尝试解答(1)因为3sin(x2)3sin x，由周期函数的定义知，y3sin x的周期为2.(2)因为cos 2(x)cos(2x2)cos 2x，由周期函数的定义知，ycos 2x的周期为.(3)因为sinsinsin，由周期函数的定义知，ysin的周期为6.(4)y|cos x|的图象如图(实线部分)所示，由图象可知，y|cos x|的周期为.类题通法求三角函数最小正周期的常用方法(1)公式法，将函数化为yAsin(x)B或yAcos(x)B的形式，再利用T求得；(2)图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期练一练1求下列函数的最小正周期(1)ysin 2x；(2)ycos x；(3)y2sin；(4)y|sin x|.解：(1)sin(2x2)sin 2x，即sin 2(x)sin 2x，ysin 2x的最小正周期为.(2)coscos x，即cos (x4)cos x，ycos x的最小正周期为4.(3)2sin2sin，即2sin2sin，y2sin的最小正周期为6.(4)作出y|sin x|的图象由图象可知y|sin x|的最小正周期为.知识点2正、余弦函数的奇偶性讲一讲2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)sin 2x；(2)f(x)sin；(3)f(x)sin |x|；(4)f(x).尝试解答(1)显然xR，f(x)sin(2x)sin 2xf(x)，所以f(x)sin 2x是奇函数(2)显然xR，f(x)sincos ，所以f(x)coscosf(x)，所以函数f(x)sin是偶函数(3)显然xR，f(x)sin|x|sin |x|f(x)，所以函数f(x)sin |x|是偶函数(4)由得cos x1，所以x2k(kZ)，此时f(x)0，故该函数既是奇函数又是偶函数类题通法与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使yAsin(x)(A0)为奇函数，则k(kZ)；(2)要使yAsin(x)(A0)为偶函数，则k(kZ)；(3)要使yAcos(x)(A0)为奇函数，则k(kZ)；(4)要使yAcos(x)(A0)为偶函数，则k(kZ)练一练2(1)若函数ycos(x)是奇函数，则()A0 Bk(kZ)Ck(kZ) Dk(kZ)(2)下列函数是最小正周期为的偶函数的为()Aysin Bycos Cycos x Dycos 2x解析：(1)由函数ycos(x)是奇函数，可知ycos(x)sin x或ycos(x)sin x，由诱导公式，得k(kZ)(2)A中函数为奇函数；B中函数的最小正周期为4；C中函数的最小正周期为2.故选D.答案：(1)D(2)D知识点3正、余弦函数的单调性讲一讲3(1)函数y3sin的单调递增区间为_(2)函数ycos的单调递减区间为_(3)若f(x)2sin x(01)在区间上的最大值为，则_.尝试解答(1)y3sin3sin，令u，则y3sin u的单调递增区间，对应于ysin u的单调递减区间令2ku2k(kZ)，即2k2k(kZ)，得4kx4k(kZ)，y3sin的单调递增区间为4k，4k(kZ)(2)令z2x，而函数ycos z的单调递减区间是2k，2k(kZ)，故原函数单调递减时，可得2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，ycos的单调递减区间是k，k(kZ)(3)由题意可知f(x)2sin x(01)在区间上为增函数且2sin ，即sin ，所以有2k(kZ)，即6k(kZ)，01，.答案：(1)(kZ)(2)(kZ)(3)类题通法求形如yAsin(x)或yAcos(x)的函数的单调区间时，若为负数，则要先把化为正数当A0时，把x整体放入ysin x或ycos x的单调增区间内，求得的x的范围即函数的增区间；整体放入ysin x或ycos x的单调减区间内，可求得函数的减区间当A0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间练一练3求下列函数的单调区间(1)ysin；(2)ycos 2x.解：(1)令ux，函数ysin u的单调递增区间为，kZ，单调递减区间为，kZ.由2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ；由2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ.故函数ysin的单调递增区间是，kZ，单调递减区间是，kZ.(2)由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ；由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故函数ycos 2x的单调递增区间为，kZ，单调递减区间为，kZ.知识点4正、余弦函数的最值问题讲一讲4求下列函数的值域：(1)ycos，x；(2)ycos2x4cos x5.尝试解答(1)由ycos，x可得x，函数ycos x在区间上单调递减，所以函数的值域为.(2)令tcos x，则1t1.yt24t5(t2)21，t1时，y取得最大值10，t1时，y取得最小值2.所以ycos2x4cos x5的值域为2,10类题通法求三角函数值域的常用方法(1)求解形如yasin xb(或yacos xb)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(1sin x，cos x1)求解，求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性(2)求解形如yasin2xbsin xc(或yacos2xbcos xc)，xD的函数的值域或最值时，通过换元，令tsin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可求解过程中要注意tsin x(或cos x)的有界性练一练4(1)已知函数y3cos2x4cos x1，x，则该函数的值域为()A. B.C. D.(2)函数f(x)3sin在区间上的值域为_解析：(1)y3cos2x4cos x132.x，cos x，当cos x，即x时，ymin；当cos x，即x时，ymax.故函数y3cos2x4cos x1，x的值域为.(2)由0x，得02x，于是2x，所以sin1，即3sin2x3，所以f(x).答案：(1)A(2)课堂归纳感悟提升1本节课的重点是正弦函数和余弦函数的性质，难点是正、余弦函数的最值问题的求解2理解正、余弦函数的性质，要重点关注以下三点(1)正弦函数(余弦函数)不是定义域上的单调函数另外，说“正弦函数(余弦函数)在第一象限内是增(减)函数”也是错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2的整数倍(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值(3)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0.3要重点掌握函数性质的应用(1)求正、余弦函数的周期，见讲1；(2)判断正、余弦函数的奇偶性，见讲2；(3)求正、余弦函数的单调区间，见讲3；(4)求正、余弦函数的值域，见讲4.4本节课的易错点有以下两处(1)求形如函数yAsin(x)的单调区间时，如果0，应先利用诱导公式将其转化为正值，如讲3(1)(2)求形如函数yAsin2xBsin xC的值域时，易忽视正弦函数ysin x的有界性，如讲4(2)课下能力提升(九)学业水平达标练题组1正、余弦函数的周期性1下列函数中，周期为的是()Aysin Bysin 2xCycos Dycos 4x解析：选D由公式T可得，选D.2函数ycos(k0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是_解析：由T2，解得k4，又kZ，满足题意的最小值是13.答案：13题组2正、余弦函数的奇偶性3函数f(x)的奇偶性是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数也不是偶函数解析：选A因为f(x)的定义域为x|x2k，kZ关于原点对称，又f(x)f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选A.4函数ysin(0)是R上的偶函数，则的值是()A0 B.C. D解析：选C由题意，得sin()1，即sin 1.因为0，所以.故选C.题组3正、余弦函数的单调性5下列函数中，周期为，且在上为减函数的是()Aysin BycosCysin Dycos解析：选A因为函数的周期为，所以排除C、D.又因为ycossin 2x在上为增函数，故B不符只有函数ysin的周期为，且在上为减函数6sin，sin，sin，从大到小的顺序为_解析：，又函数ysin x在上单调递减，sinsinsin.答案：sinsinsin7求函数ysin，x0，的单调递增区间解：由ysin的单调性，得2kx2k，kZ，即2kx2k，kZ.又x0，故x.即单调递增区间为.题组4正、余弦函数的最值问题8函数y|sin x|sin x的值域为()A1,1 B2,2C2,0 D0,2解析：选Dy|sin x|sin x又1sin x1，y0,2，即函数的值域为0,29已知函数yabcos(b0)的最大值为，最小值为.(1)求a，b的值；(2)求函数g(x)4asin的最小值并求出对应x的集合解：(1)cos1,1，b0，b0.a，b1.(2)由(1)知g(x)2sin，sin1,1，g(x)2,2g(x)的最小值为2，此时，sin1.对应x的集合为.能力提升综合练1函数ysin的一个对称中心是()A. B.C. D.解析：选B对称中心为曲线与x轴的交点，将四个点代入验证，只有符合要求2下列关系式中正确的是()Asin 11cos 10sin 168Bsin 168sin 11cos 10Csin 11sin 168cos 10Dsin 168cos 10sin 11解析：选Csin 168sin(18012)sin 12，cos 10cos(9080)sin 80.因为正弦函数ysin x在区间上为增函数，所以sin 11sin 12sin 80，即sin 11sin 168cos 10.3函数ysin x的定义域为a，b，值域为，则ba的最大值和最小值之和等于()A. B.C2 D4解析：选C如图，当xa1，b时，值域为，且ba最大当xa2，b时，值域为，且ba最小最大值与最小值之和为(ba1)(ba2)2b(a1a2)22.4关于x的函数f(x)sin(x)有以下命题：对任意的，f(x)都是非奇非偶函数；不存在，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；存在，使f(x)是奇函数；对任意的，f(x)都不是偶函数其中的错误命题是_(写出所有错误命题的序号)解析：易知成立，令，f(x)cos x是偶函数，都不成立答案：5若函数f(x)sin x(0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则_.解析：由题意知f(x)的周期T，则.答案：6函数ycos