计算方法常微分方程的差分方法.ppt

1,计算方法,2,3 常微分方程的差分方法,问题的提出 一阶方程的典型解法,3,3.0 问题的提出,数值微分 微分的定义 差商公式 三种典型的差商公式,4,典型的微分方程(一阶方程的初值问题) 理论解(解析方法)的局限性 数值解法的重要性 无理论解、仅有离散点。,5,差分方法是一类重要的数值解法 寻求一系列离散节点 x1 x2 xn上的近似解y1，y2，yn，。 h=xn+1-xn称为步长。 初值问题差分方法的特点： 步进式求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进。 描述这种算法，只要给出从已知信息yn，yn-1， yn-2 ，计算yn+1的递推公式 差分格式。 求解的核心消除导数，离散化方法,6,3.1 Euler方法,Euler格式 微分的离散化差商代替导数 在点xn列出一阶方程,7,显式 图形,8,例题 取h=0.1,9,欧拉方法的误差分析,局部截断误差：在yn=y(xn)为准确的前提下， yn+1-yn的误差。 如果其局部截断误差为O(hp+1)，称该数值方法的精度是p阶的。 Euler格式的精度：一阶方法。,10,隐式Euler方法 向后差商公式。,11,隐式 计算比较困难 一阶方法,12,两步Euler格式中心差商公式,13,两步 二阶方法,14,3.2 改进的Euler方法,微分方程转化为积分方程 选取不同的数值积分公式 不同的离散方法(差分格式),15,矩形格式 离散化 梯形格式 离散化 两种差商格式的平均化，隐式，精度不高。,16,改进的思路： 先用欧拉方法求得一个初步的近似值，记为 (预报值)，代替右侧的yn+1直接计算，得到校正值yn+1。 改进的Euler公式,17,或如下平均化形式,18,例题,19,精度分析 思考题 数值积分公式其他形式(思想)的适用性,20,3.3 Runge-Kutta方法,高精度(构造！) 思想 核心是如何确定 。 改进的Euler公式,21,的构造,22,二阶Runge-Kutta方法 取xn和xn+p= xn+ph，0p1。 合理的确定、p，以提高精度。,23,假定yn=f(xn) 从而有 而 有： p=1/2。 二阶Runge-Kutta格式,24,=1/2，p=1，改进的Euler公式； =1，p=1/2，变形的Euler公式中点公式；,25,三阶Runge-Kutta方法 取xn、xn+p、xn+q，0p q1。一般格式 一种典型格式,26,四阶Runge-Kutta方法典型格式,27,例题 h=0.2。 解：,28,变步长Runge-Kutta方法 考察经典的四阶Runge-Kutta格式，设从节点xn出发，先以h为步长求出一个近似值 ，显然： 。 将步长折半，取h/2为步长从xn跨两步到xn+1，再求得一个近似值 ，从而有：,29,故而： 事后误差估计公式： 误差控制,30,初步总结 与第2章的继承性。 Exercises 习题3的第10、12题。,31,3.4 Adams方法,Adams格式 基本思想：利用xn，xn-1， xn-2 上的斜率值减少计算yn+1的计算量或提高精度。,32,取 取合理的，使上述格式具有二阶精度 二阶Adams格式,33,假设 则： 而 显然：=-1/2。,34,二阶Adams格式,35,三阶 四阶,36,隐式格式 二阶隐式Adams格式,37,三阶隐式Adams格式 四阶隐式Adams格式,38,改进的Adams格式(预报-校正系统) 用显式和隐式的Adams格式匹配构造,39,四阶,40,假设 , 则： 而 显然：,41,校正后的误差 从而有：,42,事后估计式,43,令pn和cn分别代表第n步的预报值和校正值， 和 可作为pn+1和cn+1的改进值。在cn+1未确定前，可用pn-cn来代替pn+1-cn+1进行计算。,44,改进后的公式,45,Exercises 习题3的第13题。,46,收敛性与稳定性,差分方法的基本思想: 通过离散化，将微分方程转化为差分方程(代数方程)。 合理性检验 解的收敛性。 当h=0时，yn是否会收敛到y(xn)?,47,收敛性问题 若 ，则称该方法收敛。,48,Euler方法的收敛性 Euler格式： 看看,49,令yn=y(xn)，则近似值： 局部截断误差 从而存在定数C，使,50,而： 式中，L是f关于y的Lipschitz常数。 存在常数L，使对于任何一对点(x，y1)、(x，y2)，均有不等式 成立，L称为Lipschitz常数。,51,令 ，从而有： 反复递推有： 设xn-x0=nhT(T为常数)，则 从而,52,显然，如果初值准确，则有h0,en 0. Euler格式收敛。,53,稳定性 每一步的计算并不严格准确，存在计算误差的传播问题扰动。 若 则称为稳定的。,54,稳定性问题的讨论 Euler格式和隐式Euler格式,55,Euler格式 设在节点值yn上有一扰动值n，它的传播使节点值yn+1上产生大小为n+1的扰动值。假设Euler方法的计算过程不再引入新的误差，则扰动值满足：,56,扰动值满足原来的差分方程，如果原差分方程的解是不增长的，即有 这时就能保证Euler方法的稳定性。 从而需要 Euler格式条件稳定,57,隐式Euler方法 由于0，从而有 与 恒成立。 隐式Euler格式是恒稳定(无条件稳定)的,58,方程组与高阶方程的情况,对方程y=f，将y、f理解为向量。 一阶方程组 令xn=x0+nh，n=1，2，以yn、zn表示节点xn上的近似解。,59,改进的Euler格式： 预报 校正,60,四阶Runge-Kutta格式,61,高阶微分方程(或方程组)的初值问题，归结为一阶方程组求解。 对如下二阶方程 引入z=y，则可化为一阶方程的初值问题,62,四阶Runge-Kutta格式,6