笫三部分动量守恒.ppt

1,笫三章 动量守恒,动量与动量定理； 质心与质心运动定理； 动量守恒定律； 变质量物体的运动.,目 录,2, 动量与动量定理,动量是描述一定运动状态下物体“运动量”的概念，比速度更能全面、确切地反映物体的运动状态，为状态量。,牛顿定律表明，力的瞬时效应是受力物体获得加速度，而任何运动必定经历空间和时间.因此，应用牛顿定律于质点组，研究力作用的时间累积效应与空间累积效应，从中寻求某些规律，便成为动力学理论进一步向前发展的一个方向.,3,二、质点动量定理,由,动量定理 微分形式,动量定理常用于碰撞过程.在碰撞、打击瞬间用平均冲力概念,4,三、质点系动量定理,1. 对两质点系统(如图),内力：,外力：,考虑牛顿笫三定律，(1)+(2)得:,5,2. 对多质点系统,质点系的动量定理作用于系统的合外力在一段时间内的总冲量等于系统动量的增量.,设质点组由N个质点组成，对笫i个质点应用动量定理，有,对所有质点的动量定理表式求和，则有,由于所有内力的矢量和为零，即,6,(2) 系统内力不改变系统总动量，但可使系统内各质点的动量变化.,在无限小的时间间隔内：,.,质点系动量定 理的微分形式,7,例题3.1如图，小球自由落体h距离，能将重物M 提升到多少高度?,解：设绳子为柔软钢丝绳，全过程分为 三段分析：, 软绳由松到紧，M不动，小球 自由下落，获得末速度, 软绳被绷紧，在此瞬间m,M 均受到绳子张力T的作用，达 到同一末速度V，故,M,m,h,8,解出：,根据动量定理有, m、M一同运动，位移H，应用匀加速直线运动公式 ，以及第二定律，有,9,外,分析：这是一个质点系的动量问题，可用体系动量定理 求解. 解： 如图，建立坐标系,令线密度 ,则在某时刻,例题3.2 柔软链条自桌上小孔自由下落，求下落速度 与落下距离之间关系.,10,两端同乘以 y：,两端积分：,得：,11, 质心与质心运动定律,一、质心,质心位置 及其求法：,质点系动量定理的微分形式：,A、两个质点组成的体系,为从总体反映质点组运动的宏观特点，需要引入质心概念 ，并讨论质心运动具有的若干独特的规律。,12,可见质心位矢是质点位矢的带权平均值，这个“权”与质点的 质量分布位置有关.,由此得,B、n个质点系统,分量形式,13,对质量连续分布的物体，其质心位矢由上式推广得,分量形式为,C、 若一个物体由A、B两部分组成，依质心xyz方向表达式 分别改写为,14,同样 YZ方向质心位置分别为,质心的性质只有在体系的运动与外力的关系中才体现出来。 因此，质心并不是一个几何学或运动学的概念，而是一个动力 学概念。,15,例题3.3 求半径为a的均质半圆球的质心,解：如图，以球心o为原点建立坐标系.将半球体划分为若干半径为r厚为dz的薄圆平板状体积元dV,而,设 ，则,16,例题3.4 如图，在半径为R的均质等厚大圆板的一侧挖掉 半径为R/2的小圆板，大小圆板相切，求余下部分的质心,解：选择如图坐标系，考虑对称性，余 下部分质心的y坐标为零，仅需求x坐标,大圆板质量为 ， 质心坐标为,小圆板质量为 ， 质心坐标为,余下的质量为 ，质心坐标用 表示，则,17,二、体系动量定理与质心运动定理,引入质心概念，质点系动量则可表示为,体系动量定理可写成,上述结论亦称为质心运动定理，其微分形式,18,(3)不论体系如何复杂，体系质心的行为与一个质点相同 .从这个意义上说，牛顿定律所描绘的不是体系中任一质点 的运动，而是质心的运动.而质心的存在，正是任意物体在 一定条件下可以看成质点的物理基础.,上式表明:,(2)质心运动定理表明牛顿定律具有一种独特的性质，即 如果它在某一小尺度范围内是正确的，那么在大尺度范围内 也将是正确的。,(1) 质心运动定理实际上是矢量方程，可以写成三个分 量方程，运动的独立性同样成立。,(4)质心运动定理和牛顿三定律的适用范围相同。,19,2.物体相对固定参照系的运动可分解为它相对质心系的 运动与质心系相对固定参照系的运动.,3.质心坐标系在讨论质点系的力学问题中十分有用.,三、质心坐标系,把原点取在质心上，坐标轴的方向始终与某固定参照系 （惯性系）的坐标轴保持平行的平动坐标系称为质心坐标系.,20,例题3.5 一根完全柔软的质量均匀分布的绳子竖直的悬 挂着，其下端刚与地面接触.此时放开绳子，从静止 状态开始下落.已知绳子质量为m,长为L，求下落到所 剩长度为z时，地面对这段绳子的作用力.,解：解法一（质心法） 把绳子看作一质点系。当绳子下落 到剩长度为z时，所其质心高度和速度 分别为,所谓完全柔软的绳子,指的是绳子上端的下落速度v=dz/dt 与一个质点自由下落的速度相同，即,21,由此可得质心加速度为,22,忽略二级小量，并考虑dt内落地绳子的长度为-vdt，可得,加上已经落地的一段绳子所受到的支持力，总的作用力为,23, 动量守恒定律,恒矢量,一、动量守恒定律,由体系动量定理,若F=0,则,24,4、动量守恒定律虽可由牛顿定律导出，但它比牛顿定律的适 用范围更广.尤其是微观领域的某些过程中，牛顿定律也许不 成立，但动量守恒定律仍然成立.,2、动量守恒是矢量式，它有三个分量，各分量可以分别守恒.,3、在某些过程（如爆炸、碰撞）中，体系虽受外力，但外力 有限，过程时间很短，外力冲量很小.而其间内力很大，体系 内每一部分的动量变化主要来自内力的冲量，外力的冲量可忽 略不计，故可以利用动量守恒定律研究体系内部各部分间的 动量再分配问题.,25,例题3.6 质量为M=500kg、长为4m的木船浮在静止水面 上，一质量为m=50kg的人站在船尾.此人以时快时慢的 不规则速率从船尾走到船头，问船相对岸移动了多少 距离?设船与水之间的摩擦忽略.,分析：由于体系原来静止，没有外力作用，质心加速度为 零，质心在水平方向的位置保持不变, 故宜用质心概念求解.,解：解法一（质心法） 取x轴沿水平方向，取原来船的中点为坐标原点，以人的 行走方向为x正方向.人在船尾时，体系质心的x坐标 为,26,当人走到船头后，设船的中心坐标为x， 则体系质心坐标为,质心水平位置不变，即 ， 故,故船相对岸移动了4/11m.,27,再设u为人对船的速度，则,如图，人在 时间内从船的一端走到另一端，距离为L,人和船对岸的移动距离分别为 ，则可写出下面三个运动学关系式,解法二（动量守恒法）,28,由式（1）得 ，并代入式（2），得,29,所谓变质量，是指体系在运动过程中不断与外界交换质量.对这样体系的运动过程可以分解为一系列元过程.在元过程中，其组成是确定的，质量是不变的，体系动量变化服从体系动量 定理.由此即可导出主体的运动方程。,一、变质量物体的运动, 变质量物体的运动,30,即,如图，在t时刻，主体m与附体 是分离的.经过 时间，附体并入主体.于是，由体系的动量定理，有,31,说明：, 方程中外力 ，附体对主体的作用力为 .当u=v时，方程虽形式上与牛顿笫二定律 一样，但注意m是变量., 当u=0时，方程变为, 上式是在 的情况下导出的，但当 时， 结论仍然正确.,32,二、火箭飞行原理,设火箭喷出的气体相对速度 u-v沿火箭轨道切向，且为一 常量 ；火箭飞行中不受外 力作用；火箭起始质量为M, 燃料烧尽后质量为m.,由于是一维运动， ，且与v的方向相反，得,33,注意，上式中dm0,积分得,通常 故 至多可达 .要提高 ，可以用多级火箭.对于二级火箭 可达,实际发射火箭还将克服地球引力的