模煳集与模煳系统.ppt

1,模糊集与模糊系统 Yuehui Chen Computational Intelligence Lab. School of Information Science and Engineering University of Jinan, Jinan 250022, P.R.China Email: Http:/,2,模糊理论（1）,3,一、集合与特征函数,1、论域 处理某一问题时对有关议题的限制范围称为该问题的论域。,4,2、集合 在论域中，具有某种属性的事物的全体称为集合。,5,3、特征函数 设A是论域U上的一个集合，对任何uU，令 1 当uA CA(u)= 0 当u A 则称CA(u)为集合A的特征函数。 显然有： A= u | CA(u)=1 ,6,4、隶属度 特征函数CA(u)在u=u0处的值CA(U0)称为u0对A的隶属度。,7,例1、设有论域：U= 1,2,3,4,5 ，A= 1,3,5 ，求其特征函数。 解：特征函数如下： 1 当u=1,3,5 CA(u)= 0 当u=2,4,8,二、模糊集与隶属函数,1、隶属函数 设U是论域，A是将任何uU映射为0，1上某个值的函数，即： A：U0，1 uA(u) 则称A为定义在U上的一个隶属函数,9,2、模糊集 设A= A (u) | uU 则称A为论域U上的一个模糊集。,10,3、隶属度 A (u)称为u对模糊集A的隶属度。,11,例2、设有论域：U= 1,2,3,4,5 ，用模糊集表示出模糊概念“大数”。,12,解：设A表示“大数”的模糊集，A为其隶属函数。 则有： A= 0, 0.1, 0.5, 0.8, 1 其中： A(1)=0，A(2)=0.1，A(3)=0.5，A(4)=0.8， A(5)=1,13,例3、设有论域：U= 缟山，刘水，秦声 确定一个模糊集A，以表示他们分别对“学习好”的隶属程度。,14,解：假设他们的平均成绩分别为：98分，72分，86分，设映射为平均成绩除以100。则有隶属度： A(缟山)=0.98，A(刘水)=0.72，A(秦声)=0.86 模糊集A= 0.98, 0.72, 0.86 ,15,三、模糊集表示法,1、扎德表示法1 设论域U是离散的且为有限集： U= u1, u2, , un, 模糊集为：A=A(u1), A(u2), , A(un) 则可将A表示为：,16,A=A(u1)/ u1+A(u2)/ u2+ +A(un)/ un 或 A= A(u1)/ u1，A(u2)/ u2， ，A(un)/ un 或 A= A(ui)/ ui 或 A= A(u)/ u uU,17,A(ui)/ ui表示ui对模糊集A的隶属度。当某个隶属度为0时，可以略去不写。 如： A=1/ u1+0.7/ u2+ 0/ u3+0.5/ u4 B=1/ u1+0.7/ u2+0.5/ u4 它们是相同的模糊集。,18,2、扎德表示法2 设论域U是连续的，则其模糊集可用实函数表示。,19,例4、设有人的年龄论域U=0,100, 求其“年老”和“年轻”这两个模糊概念的隶属函数。,20,解： 0 0u50 年老(u) (1+(5/(u-50)2)-1 50u100,21,解： 1 0u25 年轻(u) (1+(u-25)/5)2)-1 25u100,22,23,几种典型的隶属函数 在Matlab中已经开发出了11种隶属函数，即双S形隶属函数（dsigmf）、联合高斯型隶属函数（gauss2mf）、高斯型隶属函数（gaussmf）、广义钟形隶属函数（gbellmf）、II型隶属函数(pimf)、双S形乘积隶属函数（psigmf）、S状隶属函数（smf）、S形隶属函数（sigmf）、梯形隶属函数（trapmf）、三角形隶属函数（trimf）、Z形隶属函数（zmf）。,24,在模糊控制中应用较多的隶属函数有以下6种隶属函数。 （1）高斯型隶属函数 高斯型隶属函数由两个参数 和c确定： 其中参数b通常为正，参数c用于确定曲线的中心。Matlab表示为,25,(2) 广义钟型隶属函数 广义钟型隶属函数由三个参数a，b，c确定： 其中参数b通常为正，参数c用于确定曲线的中心。Matlab表示为,26,(3) S形隶属函数 S形函数sigmf(x,a c)由参数a和c决定： 其中参数a的正负符号决定了S形隶属函数的开口朝左或朝右，用来表示“正大”或“负大”的概念。Matlab表示为,27,（4）梯形隶属函数 梯形曲线可由四个参数a，b，c，d确定： 其中参数a和d确定梯形的“脚”，而参数b和c确定梯形的“肩膀”。 Matlab表示为：,28,(5)三角形隶属函数 三角形曲线的形状由三个参数a，b，c确定： 其中参数a和c确定三角形的“脚”，而参数b确定三角形的“峰”。 Matlab表示为,29,（6）Z形隶属函数 这是基于样条函数的曲线，因其呈现Z形状而得名。参数a和b确定了曲线的形状。Matlab表示为,30,例 隶属函数的设计： 针对上述描述的6种隶属函数进行设计。M为隶属函数的类型，其中M=1为高斯型隶属函数，M=2为广义钟形隶属函数，M=3为S形隶属函数，M=4为梯形隶属函数，M=5为三角形隶属函数，M=6为Z形隶属函数。如图1至图6所示。,31,图1 高斯型隶属函数（M=1）,32,图2 广义钟形隶属函数（M=2）,33,图3 S形隶属函数（M=3）,34,图4 梯形隶属函数（M=4）,35,图5 三角形隶属函数（M=5）,36,图6 Z形隶属函数（M=6）,37,例2 设计评价一个学生成绩的隶属函数，在0，100之内按A、B、C、D、E分为五个等级，即不及格，及格，中，良，优。分别采用五个高斯型隶属函数来表示，建立一个模糊系统，仿真结果如图7所示。,38,图7 高斯型隶属函数曲线,39,四、模糊集运算,U上所有模糊集的全体记为(U)，即： (U)= A | A: U0，1 ,40,1、包含运算 设A,B(U)，若对任意uU，都有： B(u)A(u) 则称A包含B，记为：B A,41,2、并、交、补运算 设A,B(U)，分别称AB, AB为A与B的并集、交集，称 A为A的补集。,42,它们的隶属函数分别为： AB (u)= max A (u), B(u) uU AB (u)= min A (u), B(u) uU A (u)= 1-A (u),43,例5、设U= u1,u2,u3 A=0.3/ u1+0.8/ u2+0.6/ u3 B=0.6/ u1+0.4/ u2+0.7/ u3 求：AB, AB及 A,44,解： AB =(0.30.6) / u1+(0.80.4) / u2+(0.60.7) / u3 =0.3 / u1+0.4 / u2+0.6 / u3 AB =(0.30.6) / u1+(0.80.4) / u2+(0.60.7) / u3 =0.6 / u1+0.8 / u2+0.7 / u3 A=(1-0.3) / u1+(1-0.8) / u2+(1-0.6) / u3 =0.7 / u1+0.2 / u2+0.4 / u3,45,平衡算子,当隶属函数取大、取小运算时，不可避免地要丢失部分信息，采用一种平衡算子可起到补偿作用。 设C=AoB，则,取值为0，1。,当=0时， ，相当于AB时的算子。,46,当=1时， 相当于AB时的算子。 平衡算子目前已经应用于德国Inform公司研制的著名模糊控制软件Fuzzy-Tech中。,在模糊系统推理中，通常规则前提之间采用交运算中的代数积算子，规则前提与结论之间采用交运算中的代数积算子，规则之间采用模糊并运算算子。最后的结果再进行反模糊化。,47,模糊理论（2）,48,一、模糊集的水平截集,1、水平截集 设A(U)，0, 1, 且 A= u | uU, A(u) 则称A为A的一个水平截集，称为阈值或置信水平。,49,2、水平截集性质 （1）设A,B(U)，则有： (AB)= AB (AB) = AB （2）若1，20, 1, 且12, 则 A1 A2,28,50,3、核、支集 设A(U)，且 Ker A= u | uU, A(u)=1 Supp A= u | uU, A(u)0 则称Ker A为模糊集A的核，Supp A为模糊集A的支集。,51,4、正规模糊集 若KerA，则称A为正规模糊集。,52,例1、设有模糊集： A=0.3/u1+0.7/u2+1/u3+0.6/u4+0.5/u5 且分别为1，0.6，0.5，0.3,分别求其相应的水平截集、核及支集。,53,解： （1）水平截集 A1= u3 A0.6= u2,u3,u4 A0.5= u2,u3,u4,u5 A0.3= u1,u2,u3,u4,u5 （2）核、支集 KerA= u3 SuppA= u1,u2,u3,u4,u5 ,54,二、模糊度,1、模糊度定义 设A(U)，d是定义在(U)上的一个实函数，如果它满足如下条件： （1）对任意A(U)， 有d(A)0,1； （2）当且仅当A是一个普通集合时，d(A)=0； （3）若A的隶属函数A(u)0.5，则d(A)=1；,55,（4）若A,B(U)，且对任意uU, 满足 uB(u)A(u)0.5 或 uB(u)A(u)0.5 则有 d(B)d(A) （5）对任意A(U)，有 d(A)=d( A) 则称d为定义在(U)上的一个模糊度，d(A)称为A的模糊度。,56,2、模糊度计算公式 （1）海明(haming)模糊度 其中，n是论域U中元素的个数， 1 A (ui)0.5 A 0.5(ui)= 0 A (ui)0.5,57,（2）欧几里德(Euclid)模糊度,58,（3）明可夫斯基(Minkowski)模糊度,59,例2、设U= u1,u2,u3,u4 A= 0.8/u1+0.9/u2+0.1/u3+0.6/u4 求A的模糊度,60,解： （1）海明模糊度 d(A)=2/4(| 0.8-1|+|0.9-1|+ |0.1-0|+|0.6-1|) =(0.2+0.1+0.1+0.4)/2 =0.4,61,（2）欧几里德(Euclid)模糊度 =0.47,62,三、模糊关系,1、模糊数 如果实数域上的模糊集A的隶属函数A (u)在R上连续，且具有如下性质： （1）A是凸模糊集，即对任意0，1，A的水平截集A是闭区间； （2）A是正规模糊集，即存在uR，使 A (u)=1 则称A为一个模糊数。,63,2、笛卡尔乘积与关系 设U与V是两个集合，则称 UV= (u,v) | uU, vV 为U与V的笛卡尔乘积。 若R属于UV，则称R为从U到V的一个关系。记为：,64,例3、设U= 红桃，方块，黑桃，梅花 V= A，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J, Q, K 求UV 解： UV (红桃，A)，（红 桃, 2），（梅花, K） ,65,3、模糊关系 设Ui是（i=1,2,n）论域，R是 U1U2Un上的一个模糊子集，则称R为U1U2Un上的一个n元模糊关系，记为： R= R(u1, u2, , un ) / (u1, u2, , un) U1U2Un R(u1, u2, , un )是模糊关系R的隶属函数,66,例4、设有一组学生U: U= 张三，李四，王五 他们对球类运动V: V= 篮球，排球，足球，乒乓球 有不同的爱好，其爱好程度可以用下面的模糊关系来表示：,67,68,4、模糊关系的合成 设R1与R2分别是UV及VW上的两个模糊关系，则R1与R2的合成是指从U到W的一个模糊关系，记为：R1R2 其隶属函数为 R1R2 (u,w)= R1 (u,v) R2 (v,w) ,69,例5、设有如下两个模糊关系： 0.4 0.5 0.1 R1= 0.2 0.6 0.2 0.5 0.3 0.2 0.2 0.8 R2= 0.4 0.6 0.6 0.4 求 R1R2,(,),(,),70,解： 0.4 0.5 R1R2= 0.4 0.6 0.3 0.5,(,),71,模糊系统的设计,(1) 模糊系统的结构 单变量二维模糊系统是最常见的形式。 (2) 定义输入输出模糊集 例如,对误差E、误差变化EC的模糊集及其论域定义如下： E、EC的模糊集均为： E、EC的论域均为：-3，-2，-1，0，1，2，3,72,(3) 定义输入输出隶属函数 模糊变量误差E、误差变化EC的模糊集和论域确定后，需对模糊语言变量确定隶属函数，确定论域内元素对模糊语言变量的隶属度。 (4) 建立模糊规则 根据人的经验，根据系统输出的误差及误差的变化趋势来设计模糊规则。模糊规则语句构成了描述众多被控过程的模糊模型。,73,(5) 建立模糊控制表 模糊系统规则可采用模糊规则表来描述，共49条模糊规则，各个模糊语句之间是或的关系，由第一条语句所确定的控制规则可以计算出u1。同理，可以由其余各条语句分别求出控制量u2,u49，则系统输出为模糊集合U可表示为,74,表1 模糊规则表,75,(6) 模糊推理 模糊推理是模糊系统的核心，它利用某种模糊推理算法和模糊规则进行推理，得出最终的控制量。 (7) 反模糊化 通过模糊推理得到的结果是一个模糊集合。常用的反模糊化为重心法.,76,重心法 为了获得准确的控制量，就要求模糊方法能够很好的表达输出隶属度函数的计算结果。重心法是取隶属度函数曲线与横坐标围成面积的重心为模糊推理的最终输出值，即,77,对于具有m个输出量化级数的离散域情况,78,1 模糊逼近,设二维模糊系统 为集合 上的一个函数，其解析式形式未知。假设对任意一 个 ,都能得到 则可设计一个逼近的模糊系统。模糊系统的设计步骤为： 步骤1：在 上定义 个标准的、一致的和完备的模糊集。,模糊系统建模,79,步骤2：组建 条模糊集IF-THEN规则：,：如果 为 且 为 ，则 为,其中，,将模糊集 的中心（用 表示）选择为,(1),80,步骤3：采用乘机推理机，单值模糊器和中心平均解模糊器，根据 条规则来构造模糊系统,(2),81,在上述模糊系统推理中,规则前提之间采用交运算中的代数积算子,规则前提与结论之间采用交运算中的代数积算子,规则之间采用模糊并算子运算。最后的结果再进行反模糊化。,82,下图为二维模糊系统示意图:,83,万能逼近定理表明模糊系统是除多项函数逼近器、神经网络之外的一个新的万能逼近器。模糊系统较之其它逼近器的优势在于它能够有效地利用语言信息的能力。万能逼近定理是模糊逻辑系统用于非线性系统建模的理论基础，同时也从根本上解释了模糊系统在实际中得到成功应用的原因。,万能逼近定理,84,万能逼近定理 令 为式（2）中的二维模糊系统， 为式（1）中的未知函数，如果 在 上是连续可微的，模糊系统的逼近精度为：,式中，无穷维范数 定义为 。,(3),(4),85,由(4)式可知：假设 的模糊集的个数为 ，其变化范围的长度为 ，则模糊系统的逼近精度满足,即：,86,由该定理可得到以下结论： （1）形如式（2）的模糊系统是万能逼近器，对任意给定的 ，都可将 和 选得足够小，使 成立。从而保证 （2）通过对每个 定义更多的模糊集可以得到更为准确的逼近器，即规则越多，所产生的模糊系统越有效。,（3）为了设计具有预定精度的模糊系统，必须知道 关于 和 的导数边界，即 和 。同时，在设计过程中，还必须知道 在 处的值。,3 仿真实例 实例1 针对一维函数 ，设计一个模糊系统 ，使之一致的逼近定义在 上的连续函数 ，所需精度为 ，即 。,由于 ，由式（5.3）可知， ，故取 满足精度要求。取 ，则模糊集的个数为 。在 上定义31个具有三角形隶属函数的模糊集 ，如图1所示。所设计的模糊系统为：,图1 隶属函数,一维函数逼近仿真程序见iden_fuzz1.m。逼近效果如图2和3所示 ：,图2 模糊逼近,图3 逼近误差,实例2 针对二维函数 ，设计一个模糊系统 ，使之一致的逼近定义在 上的连续函数 所需精度为 。,由于 由式（5.3）可知，取 ， 时，有 满足精度要求。由于 ，此时模糊集的个数为 即 和 分别在 上定义11个具有三角形隶属函数的模糊集 。,所设计的模糊系统为： (5.6) 该模糊系统由 条规则来逼近函数,二维函数逼近仿真程序见iden_fuzz2.m 。 和 的隶属函数及 的逼近效果如图4至7所示,图4 的隶属函数,图5 的隶属函数,图6 模糊逼近,图7 逼近误差,TS Fuzzy rule base:,The output of the fuzzy system:,102,式中 即为无条件满足。在前提中 可不必列出。,在线性的情况下，规则可以写成：,Ri:,这是TakagiSugeno一阶模型。要辨识的内容有：,1）前件变量 的数目，决定系统的阶次，属于结构辨识,2）隶属函数 前件参数,3）后件参数,在前件中，如果 等于 的整个论域，（即 ），此项可略去， 无限定，成为无条件。譬如：,103,R2,R3,R1,在输入空间已划分的情况下，模糊辨识的实