有限元与数值方法-讲.ppt

1,有限元与数值方法第四讲 微分方程的等价积分形式,授课教师：刘书田,Tel：84706149； Email： 教室：综合教学楼 351 时间：2013年4月07日：8：0010：20,2,基于积分方程的数值方法的基本思想,微分提法：真实解在任意点均满足微分方程 积分提法：对于所有可能的解（u(x)中，真实的解应满足下式 积分形式的近似解法： 在有限个可能的解中，真实解的近似解为使下式取极小的解。,3,微分方程的算子形式 在域内： 边界上： 其中，A，B1，B2为微分算子,微分方程的等价积分形式,对于满足微分方程及其边界条件的解 u ,上式显然是成立的； 如果对任意的函数v(x)，上式成立，则可以证明u是微分方程的解。,4,显然，如果在区域上， 几乎处处为零，则对任意的 有,引理:如果对任意的 ，恒有 则,如果F(X)=0代表了微分方程，则上面定理和引理建立了微分方程和其积分形式之间的联系,(一) 预备知识,微分方程的等价积分形式,5,等价积分形式,若对任意函数列向量 有,则该积分表达式与微分表达式 完全等效。,同理，若对任意函数列向量 有,则该积分表达式与微分表达式 完全等效。,故称 为原微分方程,的等价积分形式。,6,等价积分形式可积的条件：,1. 单值且在域内和边界上可积分,若 A 的最高阶导数为n，则u 的n-1 阶导数 必须连续，即u 具有 连续性,等价积分方程对函数连续性的要求：函数是可积的。 被积函数在区域上有有限个间断点，则可积,右图函数是 C0 连续的，其二阶导数不可积,等价积分形式,7,取：,上式可得到简化,对于满足微分方程及其边界条件的解 u ,上式显然是成立的； 如果对任意的函数v(x)，上式成立，则可以证明u是微分方程的解。,8,积分弱形式,在很多情况下，可以通过分部积分方法将前述积分方程转化为另外一个等价形式：,其中，D 和 F 通常包括相对 A 和 B 较低阶的导数。 这一形式称为微分方程的“弱形式”。,解函数的连续性降低，其代价是试函数连续性要求提高了。 弱形式经常是描述物理现象更为合理的形式，因为微分方程往往对解提出了过于光滑的要求。 对弱形式进行积分，是有限元方法的重要基础,9,一维问题的弱形式例子,例：受轴向分布载荷 和端部集中力 P 的均匀杆,微分方程表达形式为,该方程积分后可得,一维问题可以通过分部积分将等价积分形式转化为弱形式,显然，真实解是三次多项式,10,一维问题的弱形式例子,微分方程的积分等价形式为,分部积分得到弱形式：,设解和试函数的形式各为,Galerkin方法,注意解已经满足强制边界条件,边界条件的等效积分形似：,11,自然边界条件的概念,对于微分方程的等价积分形式及其弱形式，,如果能通过选择试函数消去边界积分项，将给积分带来方便。能够实现这一点的边界条件成为自然边界条件。 指定函数值本身的边界条件不是自然边界条件，成为强制边界条件。,12,自然边界条件的概念,例如，考虑问题：,如果近似解 满足x=0处的边界条件，但不满足x=1处的边界条件，则加权残数列式应反映域内的微分方程和x=1处的边界条件，即,13,自然边界条件的概念,第一项分部积分给出,为消去边界上未知函数的导数项，选取试函数之间满足如下关系：,这样，弱形式成为,以上弱形式中，不再出现未知函数导数的边界条件，即该边界条件在上式中自动满足，称为自然边界条件。,14,归纳：强式和弱式的对比,强式 可直接求得系统方程的精确解 困难：复杂问题难以获得精确解； 数值求解时，近似函数要求有与微分方程同阶的可导性。 有限差分法属于基于强式的数值方法。,弱式 降低了对近似函数的连续性要求，使得选取试函数更容易； 基于弱式的方程通常是一组稳定性良好的离散方程，易于求解,15,二维、三维问题的积分形式,16,预备知识,Green公式,或,为推导二维或三维问题的弱形式，需要掌握以下积分公式,Gauss定理（散度定理）,17,由格林公式可推导出：,所以,类比于高等数学中单变量函数的分部积分公式,预备知识,而,同理,18,同理，三维空间中，由此前公式可推导出：,所以,预备知识,而,同理,19,微分方程的等价积分形式,2D稳态热传导问题的弱形式,微分方程（强形式）,强制边界条件,自然边界条件,20,利用格林公式,2D热传导问题的弱形式,同理，,21,弱形式,2D热传导问题的弱形式,考虑到 ，并令 ， 上式成为,目的是消去自然边界上的函数导数,22,讨论,2D热传导问题的弱形式,自然边界条件 自动满足 如果选择场函数时已经满足强制边界条件，则可通过选择 v 使得 而略去,23,有限元与数值方法第四讲 加权残数法,授课教师：刘书田,Tel：84706149； Email： 教室：综合教学楼 351 时间：2013年4月07日：8：0010：20,24,加权残数法（Weighted Residual Method）,加权残数法的基本思想是：构造包含参数的微分方程的近似解，将近似解代入微分方程和相应的边条件中，令得到的残差在适当加权后在微分方程定义域上的平均值为零，从而得到确定待求参数的代数方程式。,25,残数（内部）,残数（边界）,考虑微分方程和边界条件,加权残数法（Weighted Residual Method）,近似解,26,此处，一个方程，n个未知数（C1Cn）,加权残数法（Weighted Residual Method）,27,选 n 个权函数 Wj （j=1n）,j=1n n 个方程,求得C1Cn,加权残数法（Weighted Residual Method）,28,近似解构造方法,基函数系 选择原则 连续性 线性无关 正交 完备,典型的基函数系 多项式 三角级数 梁振动振形 柱稳定函数 B-样条函数,通常取近似解为基函数的线性组合-基函数的选择方法,29,域内残数法 选取的基函数满足边界条件但不满足微分方程 边界残数法 选取的基函数满足域内微分方程但不满足边界条件 混合残数法 选取的基函数域内微分方程和边界条件都不满足,按基函数的性质进行分类,30,1.子域法,强迫余量在n个子域 的积分为零,n个方程，求得 C1Cn,取,子域上近似,按权函数的性质进行分类,31,2.配点法,取 j 个方程,当子域法中，令面积0，退化为配点法,32,（最小二乘法的残数方程）,(*),对应每一点误差的平方和最小，即接近真解。,3.最小二乘法（Least Square Method）,33,一次矩,二次矩,n 次矩,R的 j 次矩,4.矩法,伽辽金方程,把基函数作为权函数：,5.伽辽金法（Galerkin Method）,误差与解函数空间“正交”,34,以上方法的比较,以上方法都将原问题转化为代数方程组的求解 Aa=c 配点法、子域法得到的是非对称的系数矩阵A； 最小二乘法、Galerkin法得到的是对称的系数矩阵A 最小二乘法易于产生病态矩阵A；并且不能通过分部积分法降低被积函数的微分阶次，因此要求单元间函数的充分的连续性,35,设,n=2 时,例题,即,余量为,36,1.子域法求解：,例题,解方程，得到,不对称的系数矩阵,37,2.配点法：,3.最小二乘法：,解方程，得到,解方程，得到,其中,该方程显然有对称的系数矩阵,38,4. Galerkin法：,经与精确解比较，Galerkin法结果具有较高精度,解方程，得到,39,例题：一维稳态热传导问题,取近似解为,加权余量法格式：,40,Galerkin法：取 ，代入上式中，得到,即,显然，,其中,41,结果的比较,42,WRM推导虚功原理,三维弹性固体的平衡方程和边界条件：,取权函数为 ，则加权残数方程（等效积分形式）为,43,WRM推导虚功原理,分部积分给出,引用虚位移（微小位移）与虚应变的关系及力的边界条件，上式可写为,此即虚功原理,弱形式,44,WRM推导虚功原理,注解： 这里假定虚位移在域内连续可导，否则不能通过分部积分建立等效积分的弱形式 这里假定虚位移满足位移边界条件，否则外力虚功项中还应包括位移边界上约束反力的虚功 推导虚功原