函数的单调性及最大(小)值.pptVIP

要点梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 设函数f（x）的定义域为A,如果对于定义域A内某 个区间I上的任意两个自变量的值x1，x2,当x1x2时, 若_,则f(x)在_上是单调增函数. 若_,则f(x)在_上是单调减函数.,2.2 函数的单调性及最大(小)值,基础知识 自主学习,f(x1)f(x2),区间I,f(x1)f(x2),区间I,(2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间I上是_或_,则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,_叫做 f(x)的单调区间. 2.函数的最值 (1)设函数y=f(x)的定义域为A,如果存在实数M,满足: 对于任意的xA,都有_. 存在x0A,使得_. 则称M是f(x)的最大值. (2)设函数y=f(x)的定义域为A,如果存在实数M,满足: 对于任意的xA,都有_. 存在x0A,使得_. 则称M是f(x)的最小值.,增函数,减函数,区间I,f(x)M,f(x0)=M,f(x)M,f(x0)=M,3.判断函数单调性的方法 (1)定义法:利用定义严格判断. (2)利用函数的运算性质: 如若f(x)、g(x)为增函数,则 f(x)+g(x)为增函数. 为减函数(f(x)0). 为增函数(f(x)0). f(x)g(x)为增函数(f(x)0,g(x)0). -f(x)为减函数.,(3)利用复合函数关系判断单调性. 法则是“_”，即两个简单函数的单调性相同, 则这两个函数的复合函数为_,若两个简单函数的 单调性相反,则这两个函数的复合函数为_. (4)图象法. (5)奇函数在两个对称的区间上具有_的单调性；偶 函数在两个对称的区间上具有_的单调性. (6)导数法 若f(x)在某个区间内可导,当f(x)0时，f(x)为_函 数;当f(x)0时,f(x)为_函数. 若f(x)在某个区间内可导，当f(x)在该区间上递增时, 则f(x)_0;当f(x)在该区间上递减时,则f(x)_0.,同增异减,增函数,减函数,相同,相反,增,减,基础自测 1.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是_. y=-x+1;y= y=x2-4x+5; 解析 y=-x+1在R上递减； y= 在R+上递增; y=x2-4x+5在(-,2上递减,在2,+)上递增, 在R+上递减.,2.(2010镇江调研)若函数f(x)=x2+(a2-4a+1)x+2在 区间(-,1上是减函数,则a的取值范围是_. 解析 f(x)是二次函数且开口向上, 要使f(x)在(-,1上是单调递减函数, 则必有 1,即a2-4a+30, 解得1a3.,1,3,3.函数y=1- 的增区间为_. 解析 函数图象如图所示.,(-,1)和(1,+),4.已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间0,m上最大值为 3,最小值为2,则m的取值范围为_. 解析 f(x)=(x-1)2+2,其对称轴为x=1, 当x=1时,f(x)min=2,故m1, 又f(0)=3,f(2)=3, m2. 综上,1m2.,1,2,【例1】已知函数 证明：函数f(x)在(-1,+)上为增函数. （1）用函数单调性的定义. （2）用导数法. 证明 方法一 任取x1,x2(-1,+), 不妨设x10,分析,又x1+10,x2+10, 于是f(x2)-f(x1)= 故函数f(x)在（-1,+）上为增函数.,方法二 求导数得 a1,当x-1时，axln a0, f(x)0在（-1，+）上恒成立， 则f(x)在（-1,+）上为增函数. 方法三 a1,y=ax为增函数, 又 在(-1,+)上也是增函数. 在(-1,+)上为增函数.,跟踪练习1 (2010淮安模拟)证明:f(x)=x2-2x 在区 间(1,+)上是增函数. 证明 方法一 设x1,x2是区间(1,+)上的任意两 个值,且x1x1, x2-x10.,又x1、x2(1,+), x2x11, 即有x1+x22,x1+x2-20. f(x2)-f(x1)0,即有f(x2)f(x1). 故f(x)=x2-2x在(1,+)上是增函数. 方法二 利用导数f(x)=2x-2=2(x-1). x1,f(x)0. f(x)在(1,+)上为增函数.,【例2】求函数f(x)=loga(2x2-5x+3)的单调区间. 将函数看作y=logau,u=2x2-5x+3两函数的复 合函数,利用复合函数的单调性去求,注意对底数a 分类讨论. 解 由2x2-5x+30,解得x 函数的定义域是x|x . 令u(x)=2x2-5x+3, 由二次函数的图象可知u(x)在(-,1)上是减函数, 在( ,+)上是增函数;,分析,又当a1时,f(u)=logau是增函数; 当01时,f(x)=loga(2x2-5x+3)的单调递增区间是 ( ,+),单调递减区间是(-,1); 当0a1时,f(x)=loga(2x2-5x+3)的单调递增区间是 (-,1),单调递减区间是( ,+).,跟踪练习2 求函数 的单调区间. 解 f(x)的定义域为R. 令u(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4. 故二次函数的对称轴为x=1. u(x)的单调增区间是1,+), 单调减区间是(-,1. 外层函数f(u)=eu是增函数, 由复合函数的单调性可知, 的单调增区间是1,+),单调减 区间是(-,1.,【例3】(2010宿迁模拟)求下列函数的值域: (1) (2) 观察所给函数解析式的结构特征,联想类比 求函数值域的各种基本方法,以确定求函数值域的 最优方法. 解 (1)方法一 重要不等式法 当x-1时,x+10,由基本不等式得,分析,当且仅当 ,即x=0时,有y=1; 当x-1时,x+10,那么 y-3,当且仅当 即x=-2时,有y=-3. 综上可知,函数的值域是(-,-31,+).,方法二 判别式法 由 ,得x2+(1-y)x+(1-y)=0. xR且x-1,=(1-y)2-4(1-y)0. 解不等式得y-3或y1, 从而得函数的值域是(-,-31,+). (2)方法一 换元法,即函数的值域为(-, . 方法二 单调性法 易证得函数在其定义域(-, 内单调递增, 故函数的值域为（-, .,跟踪练习3 已知函数y= 的定义域 为R. (1)求实数m的取值范围; (2)当m变化时,若y的最小值为f(m),求函数f(m)的 值域. 解 (1)当m=0时,xR; 当m0时,m0且0,解得0m1. 故实数m的取值范围为0m1. (2)当m=0时,f(m)=f(0)= 当0m1时,因y= 故f(m)= (0m1),0f(m) 综上f(m)= (0m1),其值域为0, .,【例4】（14分）函数f(x)对任意的a、bR，都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x0时,f(x)1. (1)求证:f(x)是R上的增函数; (2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)0,f(x2-x1)1.,分析,f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-10. f(x2)f(x1). 即f(x)是R上的增函数. 8分 （2）f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5， f(2)=3， 原不等式可化为f(3m2-m-2)f(2), f(x)是R上的增函数，3m2-m-22, 解得-1m ,故解集为 14分,跟踪练习4 如果函数f(x)的定义域为x|x0，且 f(x)为增函数,f(xy)=f(x)+f(y). (1)求证: =f(x)-f(y); (2)已知f(3)=1,且f(a)f(a-1)+2,求a的取值范围. (1)证明,(2)解 f(3)=1,f(a)f(a-1)+2, f(a)-f(a-1)2. f( )2=f(3)+f(3)=f(9). f(x)是增函数, 9, 10,a-10, a的取值范围是1a,高考中主要考查求函数的单调区间及单调性的应用, 如应用单调性求值域、比较大小、解不等式等，以 上知识点常以填空题的形式出现,但近几年高考常以 导数为工具，研究函数的单调性问题在大题中是必 考内容.,思想方法 感悟提高,高考动态展望,1.根据函数的单调性的定义,证明(判定)函数f(x)在 其区间上的单调性,其步骤是 (1)设x1、x2是该区间上的任意两个值,且x1x2; (2)作差f(x1)-f(x2),然后变形; (3)判定f(x1)-f(x2)的符号; (4)根据定义作出结论. 2.求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域,函数的增减区间都是其 定义域的子集,其次掌握一次函数、二次函数等基 本初等函数的单调区间,常用方法有:根据定义,利 用图象和单调函数的性质,还可以利用导数的性质.,方法规律总结,3.重要性质 (1)注意函数y=f(x)与y=kf(x)的单调性与k(k0)的 相关性. (2)注意函数y=f(x)与y= 的单调性间的关系. (3)定义域关于原点对称的任何一个函数都可以表 示成一个奇函数和一个偶函数的和的形式. 4.在掌握定义、判定函数f(x)在其区间上单调的基本 方法的同时,引导学生考虑用导数的性质，培养发 散性思维,克服思维定势.,一、填空题 1.(2010江苏盐城一模)函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单 调递减区间是_. 解析 函数f(x)的定义域是(-1,4), 令u(x)=-x2+3x+4 的减区间为 e1,函数f(x)的单调减区间为,定时检测,2.(2009湖南改编)设函数y=f(x)在(-,+)内有 定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)= 取函数f(x)=2-|x|,当K= 时，函 数fK(x)的单调递增区间为_. 解析 由f(x)=2-|x| 得-|x|-1, |x|1.x1或x-1. fK(x)= 当x(1,+)时,fK(x)=2-x= ,在(1,+)上为减 函数. 当x(-,-1)时,fK(x)=2x,在(-,-1)上为增函数.,(-,-1),3.(2009江苏扬州模拟)已知f(x)是R上的减函数， 则满足f( )f(1)的x的取值范围为_. _. 解析,（-,0）,(1,+),4.(2010徐州调研)若f(x)在(0,+)上是减函数， 则f(a2-a+1)与f( )的大小关系是_. 解析,5.（2010山东临沂模拟）若f(x)=-x2+2ax与g(x)= 在区间1,2上都是减函数,则a的取值范围 是_. 解析 由f(x)=-x2+2ax得对称轴为x=a, 在1,2上是减函数,所以a1, 又由g(x)= 在1,2上是减函数, 所以a0,综合得a的取值范围为(0,1.,(0,1,6.(2009山东烟台调研)关于下列命题: 若函数y=2x的定义域是x|x0,则它的值域是 y|y1; 若函数y= 的定义域是x|x2,则它的值域是 y|y ; 若函数y=x2的值域是y|0y4,则它的定义域 一定是x|-2x2; 若函数y=log2x的值域是y|y3,则它的定义域 是x|0x8.其中不正确的命题的序号是_. (注:把你认为不正确的命题的序号都填上),解析 中,x0,y=2x(0,1; 中,x2,y= (0, ); 中,y=x2的值域是y|0y4，但它的定义域不一 定是x|-2x2; 中,y=log2x3,0x8, 故错,正确. 答案 ,7.(2010惠州一模)已知y=f(x)是定义在(-2,2)上的 增函数，若f(m-1)f(1-2m)，则m的取值范围是 _. 解析 依题意,原不等式等价于,8.(2009福建厦门适应性考试)若函数f(x)=(m-1)x2 +mx+3 (xR)是偶函数，则f(x)的单调减区间是 _. 解析 f(x)是偶函数, f(-x)=f(x), (m-1)x2-mx+3 =(m-1)x2+mx+3,m=0. 这时f(x)=-x2+3, 单调减区间为0,+).,0,+),9.(2010湛江调研)若函数y=x2-3x-4的定义域为 0,m,值域为 ,-4,则m的取值范围是_. 解析,二、解答题 10.(2010无锡模拟)已知f(x)在定义域(0，+)上 为增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,试解不等 式f(x)+f(x-8)2. 解 根据题意,由f(3)=1,得f(9)=f(3)+f(3)=2. 又f(x)+f(x-8)=fx(x-8), 故fx(x-8)f(9). f(x)在定义域(0,+)上为增函数, 原不等式的解集为x|8x9.,11.(2010镇江模拟)已知f(x)= (xa). (1)若a=-2,试证f(x)在(-,-2)内单调递增; (2)若a0且f(x)在(1,+)内单调递减,求a的取值 范围. (1)证明 任设x10,x1-x20, f(x1)-f(x2)0即f(x1)f(x2), f(x)在(-,-2)内单调递增.,(2)解 任设10,x2-x10, 要使f(x1)-f(x2)0,只需(x1-a)(x2-a)0恒成立, a1. 综上所述知0a1.,12.(2010无锡调研)函数f(x)对任意的实数m、n有 f(m+n)=f(m)+f(n),且当x0时有