《综合法和分析法》PPT课件.ppt

演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.,数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.,复习:,2.2直接证明与间接证明,2.2.1综合法和分析法,直接证明（问题情境）,如图，四边形ABCD是平行四边形 求证：AB=CD，BC=DA,证 连接AC，因为四边形ABCD 是平行形四边形，所以,故 AB=CD,BC=DA.,直接证明,1 概念 直接从原命题的条件逐步推得命题成立,2 直接证明的一般形式：,直接证明,证法1 对于正数a,b, 有,直接证明,证法2 要证,只要证,只要证,只要证,因为最后一个不等式成立，故结论成立。,直接证明,上述两种证法有什么异同？,都是直接证明,证法1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止,相同,不同,证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止,综合法,分析法,直接证明,综合法和分析法的推证过程如下：,综合法,已知条件,结论,分析法,结论,已知条件,从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法),用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.,则综合法用框图表示为:,特点:“由因导果”,例1:已知a0,b0,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc,因为b2+c2 2bc,a0 所以a(b2+c2)2abc.,又因为c2+a2 2ac,b0 所以b(c2+a2) 2abc.,因此a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc.,证明:,练习：,符号语言,图形语言,文字语言,学会语言转换,找出隐含条件,例2：在中，三个内角、对应的边分别为a、b、c，且、成等差数列，a、b、c成等比数列，求证为等边三角形,练习： 在锐角三角形中， 求证:sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC,提示:ABC为锐角三角形,则 .,例3.ABC三边长,的倒数成等差数列,求证：,.,证明：,因为a,b,c为ABC三边,所以 a + c b,所以 cosB0,因此,特点：,执果索因,一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法,用框图表示分析法的思考过程、特点.,练一练：,证明：因为(sin+cos)2-2sincos=1， 所以将代入上式，可得4sin2-2sin2=1 另一方面，要证 即证 即证cos2-sin2= (cos2-sin2), 即证1-2sin2= (1-2sin2), 即证4sin2-2sin2=1. 由于上式与相同,于是问题得证.,用P表示已知条件,定义,定理,公理等,用Q表示要证的结论,则上述过程可用框图表示为:,点评:在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用:根据条件结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P,若P可以推出Q,就可以证明结论成立,练一练：,说明：本题可以单独使用综合法或者分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.,分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由因导果，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。,小结：,综合法的特点:由因导果,分析法的特点:执果索因.,直接证明,分析法 解题方