鲁棒控制(H范数与Riccati).ppt

2019年7月23日,鲁棒控制,1,H范数与Riccati方程/不等式,2019年7月23日,鲁棒控制,2,系统描述,2019年7月23日,鲁棒控制,3,哈密顿矩阵与黎卡提方程,设,，而且,，即Q和R是对称的，,则哈密顿(Hamilton)矩阵定义为：,关于,的矩阵方程：,称为黎卡提(Riccati)方程。,2019年7月23日,鲁棒控制,4,其中 且B为列满秩，C为行满秩。,哈密顿矩阵与黎卡提方程,考虑代数Riccati方程和相应矩阵H,定义1：如果2n2n矩阵H满足,其中 ，则称H为Hamilton矩阵。,2019年7月23日,鲁棒控制,5,如果Hamilton矩阵H没有虚轴上的特征值，则H矩阵具有下述性质：若 ，i=1,2,n, 则 。即H的特征 值以虚轴、实轴对称。,如果系统（A,B）能稳定，（C,A）能检测，则矩阵H没有虚轴上的特征值，且H的Jordan标准型为,即存在H的非奇异特征向量矩阵W，使得,即存在H的非奇异特征向量矩阵W，使得,哈密顿矩阵与黎卡提方程,2019年7月23日,鲁棒控制,6,定理：矩阵代数Riccati方程存在唯一解 且使 的充分必要条件是（A,B）能稳定，(C,A)能检测。若还有(C,A)能观测，则P0.,证明：充分性 （1)解的存在性 （2）解的对称性 （3） 为稳定矩阵 （4）解的非负定性 （5）解的唯一性 必要性,2019年7月23日,鲁棒控制,7,X=Ric(H)和dom(Ric)的定义,定义: 满足黎卡提方程 ,并且使 ARX稳定的X，称为黎卡提方程 的稳定化解，用XRic(H)表示。 定义: 若哈密顿矩阵H在虚轴上没有特征值，对应于稳定 特征值的特征向量基 满足式 ，其中X1是 非奇异的，则Hdom(Ric)。,2019年7月23日,鲁棒控制,8,有关哈密顿矩阵和黎卡提方程的结论,结论1: 若Hdom(Ric)，XRic(H)，则 a) XXT； b) XAATXXRXQ0； c) ARX是稳定的。 结论2: 如果H在虚轴上没有特征值，R是半正定的或半负定 的对称矩阵，而且(A，R)是可稳定的，则Hdom(Ric)。 结论3: 若(A, B)是可稳定的, (C, A)是可检测的, 则哈密顿矩阵 dom(Ric), XRic(H)0。 当(C, A)为能观测时，则XRic(H )0成立。,2019年7月23日,鲁棒控制,9,关于H范数的定理(1),2019年7月23日,鲁棒控制,10,关于H范数的定理(2),定理2： 的充要条件是M在虚轴上没有特征值。,2019年7月23日,鲁棒控制,11,H范数计算的步骤,选择一个常数0; 计算哈密顿矩阵的特征值i； 若有i在虚轴上，则增加，否则减少； 通过折半搜索不断地进行迭代计算，可使的搜索快 速收敛于 ，并且具有任意的精度。,2019年7月23日,鲁棒控制,12,H范数计算的框图,no,yes,no,yes,2019年7月23日,鲁棒控制,13,关于H范数的两个基本定理(1),定理1：下述四个命题是等价的:,b) 哈密顿矩阵,在虚轴上没有特征值；,a) ；,c) 黎卡提方程,具有使 稳定的半正定解X0；,d) Hdom(Ric)，Ric(H)0。,2019年7月23日,鲁棒控制,14,定理2：下述两个命题是等价的:,a) ；,b) 对于一个充分小的常数e 0，黎卡提方程,具有正定解X0。,关于H范数的两个基本定理(2),2019年7月23日,鲁棒控制,15,H范数与Riccati不等式,设严格正则有理传递函数 ，则 为稳定阵，且 的充分必要条件为存在矩阵P0，满足Riccati不等式,2019年7月23日,鲁棒控制,16,设严格正则