般单符号离散信道的信道容量.ppt

4.2 离散单个符号信道及其容量,4.2.1 离散单符号信道及其容量 4.2.2 离散无干扰信道 4.2.3 对称信道 4.2.4 准对称信道 4.2.5 一般离散信道的信道容量,信息传输率R：信道中平均每个符号所能传送的信息量 信息传输速率Rt:信道在单位时间内平均传输的 信息量。t为平均传送一个符号所需的时间。,对于某特定的信道，转移概率p(bj|ai)已经确定，则互信息是关于输入符号分布概率的凸函数。 也就是说可以找到某种概率分布p(ai)，使I(X;Y)达到最大，也即R 达到最大，该最大值就是信道所能传送的最大信息量，即信道容量。 信道容量也可定义为信道的最大的信息传输速率Rt。,【注】、一般地，我们只考虑第一种定义方式。,说明： 信道容量是信道本身的特性，与信源无关； 不是所有的信源传输符号时都可以达到这个传输速率，使信道达到最大传输率的输入概率分布称为最佳输入分布； 信道容量是信息传输率R的上限，定量了信道信息的最大通过能力。,信道传递信息过程中引入两个定义：,1、信道疑义度:H(X|Y) 2、噪声熵:H(Y|X),1、信道疑义度,这是收到 后关于X的后验熵，表示收到 后关于输入符号的信息测度,这个条件熵称为信道疑义度，表示输出端在收到一个符号后，对输入符号尚存的不确定性，这是由信道干扰造成的，如果没有干扰，H(X|Y)=0,一般情括下H(X|Y)小于H(X)，说明经过信道传输，总能消除一些信源的不确定性，从而获得一些信息。,I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)= H(Y)-H(Y|X),2、噪声熵,平均互信息I(X;Y)表示信道传递的信息量。,H(X|Y)即信到疑义度，也表示通过有噪信道造成的损失，故也称为损失熵，因此信源的熵等于收到的信息量加上损失的熵；而H(Y|X)表示已知输入的情况下，对输出端还残留的不确定性，这个不确定性是由噪声引起的，故也称之为噪声熵。,4.2.2 无干扰离散信道,无噪现象：1个输入只对应1个输出，噪声熵H(Y|X)=0 无损现象：1个输出只对应1个输入，疑义度H(X|Y)=0 无噪无损信道：即X、Y一一对应，则 H(Y|X)= H(X|Y)= 0 有噪无损信道：一个输入X产生多个输出Y （有噪）,而且每个X值所对应的Y值不重合；又因为信道无损，接收到符号Y后，X完全确定。 因为无损：H(X/Y)=0，有噪：H(Y/X)0 所以：I(X;Y)=H(X)H(Y),无噪有损信道： 一个Y对应多个X，而且每个Y 值所对应的X值不重合。接收到符号Y后不能完全消除对X的不确定性。 H(X/Y) 0；I(X;Y)=H(Y) H(X),损失熵（疑义度）H(X/Y) = 0 的信道称为无损信道，其信道容量为： 其中，r为输入信源X的符号个数，等概率分布时H(X)最大。 噪声熵 H(Y/X) = 0 的信道称为无噪信道，其信道容量为： 其中，s为输出信源Y的符号个数，等概率分布时H(Y)最大。,一一对应的信道称为无噪无损信道,X、Y一一对应，无噪无损信道 CmaxI(X;Y)log r 多个输入变成一个输出，无噪信道 CmaxI(X;Y)maxH(Y) 一个输入对应多个输出，无损信道 CmaxI(X;Y)maxH(X),4.2.3 对称DMC信道,对称DMC信道定义 输入对称 转移概率矩阵P的每一行都是第一行的重新排列(包含同样元素)，称该矩阵是输入对称。 输出对称 转移概率矩阵P的每一列都是第一列的重新排列(包含同样元素)，称该矩阵是输出对称。 对称的DMC信道 输入、输出都对称。,对称DMC信道例子,接下来考虑对称信道的信道容量：,因为输入对称所以条件熵,与信道输入符号概率分布无关。则信道容量为,又输出对称，若信道输入符号等概率分布，则 与j无关，即信道输出也等概率分布；反之，若信道输出符号等概率分布，对称信道的输入符号必定也是等概率分布的。因此要使H(Y)最大，只有信道输出符号等概率分布，此时输入符号也等概率分布。 则对称DMC信道的容量为,信道转移概率矩阵如下：信道输入符号和输出符号的个数相同，都为r，且正确传输概率为1，错误概率被对称地均分给r-1个输出符号，此信道称为强对称信道或均匀信道，是对称离散信道的一个特例,当n=2时，即为二进制对称信道 C1H（）=1- log - (1- )log(1- ),4.2.4 准对称DMC信道,定义： 如果转移矩阵P 的列可以划分成若干个互不相交的子集Bk，（即B1B2 Bk=；B1B2Bk= P） 且每个子集所组成的子阵都是输入输出对称矩阵，则称该信道是准对称DMC信道。,要判断一个信道是否为离散准对称信道，必须对该信道的转移矩阵进行适当的调整，即按列重排再按列分块。这种调整，就是定义中所说的将转移矩阵的列划分成子集再组成子阵的过程。转移矩阵的列与输出符号对应，因此，把转移矩阵的列划分成互不相交的子集，也相当于把信道的输出符号集合中的符号划分成互不相交的子集。,结论：对于准对称DMC信道，当输入分布为等概分布时，互信息达到最大值。信道容量表示为： 将转移概率矩阵划分成若干个互不相交的对称的子集，r为输入符号集个数；p1，p2，ps是转移概率矩阵P 中一行的元素；Nk 是第k个子矩阵中行元素之和，Mk是第k个子矩阵中列元素之和，t是互不相交的子集个数。,如,4.2.5 一般离散信道的信道容量,信道容量计算：对所有可能的输入概率分布P(ai)求该信道平均互信息I(X;Y)的极大值。 由于I(X;Y)是P(ai)的型上凸函数，所以极大值一定存在。n个变量满足概率存在条件： P(ai)1。 当信道给定时，条件转移概率矩阵P(bj|ai)都为定量。 计算：拉格朗日乘数法计算该条件极值 引进一个新函数,先求出达到极值的概率分布和拉格朗日乘数的值，然后再求解出信道容量C。,令：,例,信道的输入符号有两个，设p(a1)，p(a2)1。信道的输出符号有三个，用b1、b2、b3表示。,即输入符号分布等概率时，I(X;Y) 达到极大值。所以信道容量为,定理： 一般离散信道达到信道容量的充要条件是输入概率分布满足,该定理说明，当平均互信息达到信道容量时，信源每一个符号都对输出端输出相同的互信息。,证明,可以利用该定理对一些特殊信道求得它的