随机向量的数字特征.ppt

1,随机向量 的数字特征,第二节,2,一、随机向量的数学期望,(1) 若(X,Y)是离散型随机变量，且其联合分布律为,则,(2) 若(X,Y)是连续型随机变量，联合概率密度为f(x,y)，则,3,解,例1 设随机变量(X,Y)的联合概率密度为,4,解,例1 设随机变量(X,Y)的联合概率密度为,5,例2,解,易见 X 和Y 的联合概率密度为,6,解,易见 X 和Y 的联合概率密度为,例2,7,二、随机变量的和与积的数学期望及方差,性质2 设 X、Y 独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);,性质1 E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);,(诸Xi 独立时),推广：,注意：由E(XY)=E(X)E(Y)不能推出X,Y 独立 .,8,性质3,设 X 和Y 是两个相互独立的随机变量，则,证,而,9,当X 和Y 相互独立时，有,所以,推广：,若X1, X2, , Xn 两两独立, 则,更一般地，,性质3,设X和Y是两个相互独立的随机变量，则,证,10,注意：以下两个式子是等价的 ,例如,当 X 和Y 相互独立时,有,若X1, X2, , Xn 两两独立, 则,11,例3 一民航送客车载有20 位旅客自机场开出, 旅客有10个车站可以下车. 如到达一个车站没有旅客下车就不停车. 以 X 表示停车的次数, 求 E(X) (设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立) .,引入随机变量,则有,解,由题意, 有,12,则有,由题意，有,所以,由数学期望的性质，得,13,例4 下面利用期望和方差的性质重新求二项分布的数学期望和方差 .,设 X B ( n, p )，,X表示n重伯努利试验中的成功次数.,设,而 X= X1+X2+Xn ，,i =1, 2, , n,则,所以,Xi 相互独立，,14,三、随机变量的相关系数和相关性,为了研究随机向量的分量之间的相关程度，下面引进协方差和相关系数这两个概念.,定义,计算公式：,covariance,1. 协方差的概念及其性质,15,定义,计算公式：,其中,三、随机变量的相关系数和相关性,16,协方差的性质：,(1)对称性：,(2)线性性：,(3)若X 和Y 相互独立，则,因为X 和Y 相互独立,注意：反之未必成立.,17,(4),类似地有,推广：,因此，若 X1, X2, , Xn 两两独立，则有,18,协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受 X与Y 本身度量单位的影响 . 例如：,为了消除量纲的影响，下面提出随机变量标准化的概念 .,可以验证，,2.相关系数的概念及其性质,标准化随机变量消除了量纲的影响.,19,可以验证，,20,定义,计算公式：,21,例5 设(X,Y )的联合分布律为,解,先求出边缘分布，,22,23,例6 设(X,Y )的联合密度函数为,解,先求出边缘密度，,均匀分布,24,类似地，,25,26,注：实际上,本题不必求边缘密度,可以直接用以下公式计算E(X)、E(Y )等.,实际上,第一种方法限定了求积分的次序,有时不方便.,27,性质1,证,性质2,证,相关系数的性质：,28,性质2,证,29,例7,解,30,相关系数是随机变量之间线性关系强弱的一个度量(参见如下的示意图) .,| |的值越接近于1, Y与X的线性相关程度越高 ;,| |的值越接近于0, Y与X的线性相关程度越弱 .,3.随机变量的线性相关性,31,定义,下列事实彼此等价：,定理 若X与Y 相互独立，则X与Y 不相关.,注意：逆命题不成立,即X与Y 不相关时,不一定独立.,32,例8 设( X,Y )的分布律为,所以,这表示 X,Y 不存在线性关系 .,但,知 X,Y 不独立.,事实上, X,Y 具有非线性关系:,33,前面已经证明X和Y不是相互独立的.,但 X和Y不是相互独立的.,解,上的均匀分布，试验证X和Y是不相关的,例9 设二维随机变量(X,Y)服从单位圆,同理,(X,Y)的概率密度为,利用对称性,所以,即 X 和Y 不相关.,34,四、随机向量的协方差矩阵和相关矩阵,将二维随机变量（X1, X2）的四个二阶中心矩,排成矩阵的形式:,称此矩阵为(X1, X2)的协方差矩阵 .,这是一个 对称矩阵,35,类似定义n维随机向量(X1, X2, , Xn) 的协方差矩阵.,为(X1, X2, , Xn) 的协方差矩阵.,称矩阵,都存在,若,显然协方差矩阵是一个对称矩阵.,可以证明：协方差矩阵是一个半正定矩阵.,36,例10 已知随机向量(X,Y )的协方差矩阵为,求随机向量(X+ Y,X-Y )的协方差矩阵 .,解,由题意知,所以(X+ Y,X-Y )的协方差矩阵为,37,还可定义n维随机向量(X1, X2,