《解释几何第四版》讲解与习题第二章轨迹与方程.ppt

第二章 轨迹与方程,主要内容：,2.1、平面曲线的方程,2.2、曲面的方程,2.3、空间曲线的方程,2.1 平面曲线的方程,解析几何 Chapter 2,第一节 平面曲线的方程,一、曲线与方程： 定义2.1.1：当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线有着关系：,（1）满足方程的(x,y)必是曲线上某一点的坐标；,（2）曲线上任何一点的坐标(x,y)满足这个方程；,则这个方程称为这条曲线的方程，这条曲线称为 方程的图形。,曲线的方程常表示为：,F(x,y)=0 或 y=f(x),二、曲线的向量式方程,例1、求圆心在原点，半径为R的圆的方程。,解：向量式方程,普通方程,x2+y2=R2,化为普通方程为,xy=2 (x+y2),故曲线为,1、向量函数,当动点按某种规律运动时，与它对应的向径也随着 时间t的不同而改变（模与方向的改变），这样的向径 称为变向量，记为r(t)。如果变数t(atb)的每一个值 对应于变向量r的一个完全的值（模与方向）r(t)，则称 r是变数t的向量函数，记为r=r(t) (atb).,2、向量函数的分量表示,设平面上取定的标架为O;e1,e2,则向量函数可 表示为,r(t)=x(t)e1+y(t)e2 (atb). （1）,其中x(t),y(t)是r(t)的分量，它们分别是变数t的函数。,3、向量式参数方程,若取(atb)的一切可能值，由（1）,4、坐标式参数方程,曲线 的参数方程常可以写成下列形式：,称为曲线的坐标式参数方程。,的终点总在一条曲线上；反之，在这条曲线上的任意 点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由t的某 一值t0(at0b)通过（1）完全确定，则称表达式（1）为曲线的向量式参数方程，其中t为参数。,表示的向径r(t),例3、一个圆在一直线上无滑动滚动，求圆周上一点 P的轨迹。,解： 取直角坐标系，设 半径为 a的圆在x轴上滚 动，开始时点 P 恰在原 点， 经过一段时间的滚 动， 圆与直线的切点移 到 A 点，圆心的位置移 到C点，这时有,A,则,又因为,所以,从而点P的向量式参数方程为,r=a(-sin)i+a(1-cos) （+）,其坐标式参数方程为,这种曲线称为旋轮线或摆线。,例4 已知大圆的半径为 ，小圆的半径为 , 若大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚 动，求动圆上某一定点P的轨迹的方程。,称为内旋轮 形线(或称内摆线) 解：设运动开始时动点P与大 圆周上的点A重合，取大圆中 心O为原点，OA为x轴，过O 点垂直于OA的直线为y轴， 经过某一过程之后，小圆与 大圆的接触点为B，并设小圆 中心为C，那么C一定在半径 OB上，有,由于 ，所以,特殊地，当 应用公式 曲线方程化为,例5：把线绕在一个固定的圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线从圆周上解放出来，使放出来的部分成为圆的切线，则线头的轨迹所形成的曲线叫做圆的渐伸线或切展线（involute）,三 曲线的参数方程,解：设圆的半径为R，线头P的最初位置是圆周上的点A，以圆心为原点，OA为x轴，经过某一过程以后，切点移至B，PB为切线，那么,设 那么,且向量 对x轴所成的有向 角为 而 所以,三 曲线的参数方程,例6 把椭圆的普通方程式 化为参数方程。,法一,法二,设y=tx+b,代入原方程得,解得,在第二式中取t=0,得x=0，所以舍去第一式，取,从而,在法二中，若令u=-t，则得椭圆的另一种表示式为,注：第二种解法中，设y=tx+b，实际上是在椭圆上取 一定点(0,b),作以(0,b)为中心的直线束，而这时的椭圆 的参数方程恰为直线束中的直线与椭圆交点的一般表 达式。由于这时过点(0,b)的y轴的斜率不存在，因此需 补上点(0,-b)，或把它看成当t时的交点。,第一种参数方程以角度 为参数：,第二种参数方程以斜率 为参数：,例7 化方程 y2(2a-x)=x3 (a0) 为参数方程。,解：设y=tx，代入可得参数方程,注1：有些曲线只能用参数方程表示而不能用普通方程 表示，即不能用x,y的初等函数来表示，如,注2：在曲线的普通方程与参数方程的互化时，必须注 意两种形式的方程的等价性，即考虑参数的取值范围。,一、曲线的方程,二、曲线的参数方程,三、常见曲线的参数方程,Contents,求曲线方程一般需要下面的5个步骤：,1）选取适当的坐标系（如题中已给定，这一步可省）；,2）在曲线上任取一点，也就是轨迹上的流动点；,3）根据曲线上的点所满足的几何条件写出等式；,4）用点的坐标x,y,z的关系来表示这个等式，并化简得方程；,5）证明所得的方程就是曲线的方程，也就是证明它符合定义.,作业 P77-78,2 , 3, 8,2.2 曲面的方程,一. 定义2.2.1: 若曲面S与三元方程F (x, y, z) =0有如下关系:,(1) S上任一点的坐标满足方程F (x, y, z) =0;,(2) 满足方程F (x, y, z) =0的(x,y,z) 在曲面S上,那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面S叫做方程F (x, y, z) =0的图形.,例1、求连结两点A(1,2,3),B(2,-1,4)的线段的垂直平分 面的方程。,解：垂直平分面可以看成到两定点A和B等距离的动点 M(x,y,z)的轨迹，故点M的特征为,用两点间的距离公式代入并化简可得：,2x-6y+2z-7=0,例2 求两坐标面xOz和yOz所成二面角的平分面的方程。,解：因为所求平分面是与两坐标面xOz和yOz有等距离 的点的轨迹，因此M(x,y,z)在平分面上的充要条件是,|y|=|x|,即,x+y=0 与 x-y=0,(x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 = R2 (1),称方程(1)为球面的标准方程.,特别: 当球心在原点O(0, 0, 0)时, 球面方程: x2 + y2 + z2 = R2,例3、求球心为M0(x0, y0,z0), 半径为R的球面的方程.,解：对于球面上任一点M(x, y, z), 都有|M M0|2 =R2.即,解,根据题意有,所求方程为,解: 原方程可改写为,(x 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 5,故: 原方程表示球心在M0(1, 2, 0), 半径为 的球面.,例5: 方程 x2 + y2 + z2 2x + 4y = 0表示怎样的曲面?,例6 方程 的图形是怎样的？,根据题意有,图形上不封顶，下封底,解,二、曲面的参数方程,1、双参数向量函数,在两个变数u,v的变动区域内定义的函数,r=r(u,v) 或 r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 (2),称为双参数向量函数，其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是变 向量r(u,v)的分量，它们都是变数u，v的函数。,当u,v取遍变动区域的一切 值时，径矢,的终点M(x(u,v),y(u,v),z(u,v) 所画的轨迹一般为一张曲面。,2、曲面的向量式参数方程,定义2.2.2：若取u,v(aub,cvd)的一切可能值，由（2） 表示的向径r(u,v)的终点M总在一个曲面上，反之，在 这个曲面上的任意点M总对应着以它为终点的向径， 而这向径可由u,v的值 (aub,cvd)通过（2）完全决 定，则称（2）式为曲面的向量式参数方程，其中u,v为 参数。,因为向径r(u,v)的分量为x(u,v),y(u,v)z(u,v),所以曲面 的参数方程也常写成,表达式（3）称为曲面的坐标式参数方程。,例6 求中心在原点，半径为r的球面的参数方程。,所以,r=(rsincos )i +(rsinsin )j+ (rcos)k (4),此即为中心在原点，半径为r的球面的向量式参数方程。,中心在原点，半径为r的球面的坐标式参数方程为,（4），（5）中的，为参数，其取值范围分别是 0与-。,例7 求以z轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数方程。,解：如图,有,所以 r=(Rcos)i+ (Rsin )j +uk （6）,此即为圆柱面的向量式参数方程。,其坐标式参数方程为,（6）（7）式中的，u为参数，其取值范围是,-，-u+ ,一般按下列三个步骤进行：,二、曲面的参数方程,三.球坐标系与柱坐标系,就称为点M 的球坐标.,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,1.球坐标系,2. 柱坐标系,就称为点M 的柱坐标.,直角坐标与柱面坐标的关系:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,Contents,一、曲面的方程,二、曲面的参数方程,三、球坐标系与柱坐标系,作业 P8788 2（4） ， 3（3），4（3）,2.3 空间曲线的方程,解析几何 Chapter 2,Contents,一、空间曲线的方程 二、空间曲线的参数方程,空间曲线的一般方程,曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.因此方程组（2.31）表示一条空间曲线 的方程，,空间曲线C可看作空间两曲面的交线.,特点：,一、空间曲线的一般方程,注：空间曲线可以用不同形式的方程组来表达.,我们把它叫做空间曲线的一般方程.,例2、求在xOy 坐标面上，半径为R，圆心为原点的 圆的方程。,解：,例1、写出Oz轴的方程。,解：,Oz轴可看成两个平面的交线，如,或,可见，空间曲线的一般方程的表示不是唯一的。,例3,例4: 球面 x 2 + y 2 + z 2 = 32与平面 z = 2的交线是,x 2 + y 2 + z 2 = 32 z = 2,一个圆,它的一般方程是,解: 方程,方程.,它的准线xOy面上的圆, 圆心在点,所以方程组表示上述半球面与圆柱面的交线.,（维维安尼曲线Viviani）,表示球心在原点O, 半径为a的 上半球面.,表示母线平行于z 轴的圆柱面,二、空间曲线的参数方程,将曲线C上动点的坐标x, y, z都表示成一个参数t的函数.,x = x (t) y = y (t) (2) z = z (t),当给定 t = t1时, 就得到C上一个点(x, y, z), 随着 t的变动便可得曲线C上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的坐标式参数方程.,例5: 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2 上以角速度 绕 z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升(其中,v都是常数), 那末点M 构成的图形叫做圆柱螺旋线, 试建立其参数方程.,解: 取时间t为参数, 设当t = 0时, 动点位于x轴上的一点 A(a, 0, 0)处。,经过时间t,由A运动到M(x, y, z), M在xOy面上的投影为M (x, y, 0).,(1) 动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转, 所以经过时间t, AOM = t. 从而,x = |OM | cosAOM = acos t,y = |OM | sinAOM = asin t,(2) 动点同时以线速度v沿 z 轴向上升. 因而,z = MM = vt,得螺旋线的参数方程,x = acos t y = asin t z = vt,注: 还可以用其它变量作参数.,例如: 令 = t. 为参数; 螺旋线的参