随机变量的数字特征1.ppt

第七章 随机变量的数字特征,前面讨论了随机变量的分布函数，我们看到分布函数能够完整地描述随机变量的统计规律。然而在许多实际问题中，随机变量的分布并不容易求得，并且有时不需要去完全考察随机变量的变化情况，而只需要知道随机变量的某些特征，因而不需要求出它的分布函数。 例如 1、在评定某一地区粮食产量的水平时，在许多场合只要知道该地区的平均产量； 2、在研究水稻的品种优劣时，时常是关心稻穗的平均稻谷粒数；,3、在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度较大、偏离程度较小，质量就较好。 从上面的例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。随机变量的数字特征就是用数字表示随机变量的分布特点，在理论和实践上都具有重要的意义。,第七章 随机变量的数字特征,第七章 随机变量的数字特征,数学期望 方差和标准差 协方差和相关系数 切比雪夫不等式及大数定理 中心极限定理,7.1 随机变量的数学期望,一、离散型随机变量的数学期望,从平均数说起，设以数据集,2，3，2，4，2，3，4，5，3，2,为总体，求其平均数（设为）,=（2+3+2+4+2+3+4+5+3+2）/10,=（24+33+42+51）/10,=24/10+33/10+42/10+51/10,=3,概括得：,7.1 随机变量的数学期望,一、离散型随机变量的数学期望,下面我们逐步分析如何由分布来求“均值”： （1）算术平均：如果有n个数x1,x2,xn ，那么求这n个数的算术平均，只需将此n个数相加后除以n，即 （2）加权平均：如果这n个数中有相同的，不妨设其中有ni 个取值为xi(i=1,2,k)，列表为,7.1 随机变量的数学期望,一、离散型随机变量的数学期望,其实，这个“加权”平均的权数ni/n 就是出现数值 xi的频率，而频率在 n 很大时，就稳定在其概率附近。,（3）对于一个离散随机变量 X，如果其可能取值为x1,x2,xn ，若将这n个数相加后除以n作为“均值”，则肯定是不妥的，原因在于X 取各个值的概率是不同的，概率大的出现的机会就大，在计算中其权数就应该大。,用取值的概率作为一种“权数”作加权平均是十分合理的。,7.1 随机变量的数学期望,1.定义 设离散随机变量X的分布律为,一、离散型随机变量的数学期望,为随机变量X的数学期望，或称为该分布的数学期望， 简称期望或均值。,若级数 不收敛,则称X的期望不存在。,如果,则称,x1 x2 xn ,p1 p2 pn ,7.1 随机变量的数学期望,一、离散型随机变量的数学期望,(1) X的期望E(X)是一个数，它形式上是X的可能值的加权平均，其权重是其相应的概率，实质上它体现了X取值的真正平均，为此我们又称它为X的均值。因为它完全由X的分布所决定，所以又称为分布的平均值。,(2) E(X)作为刻划X的某种特性的数值，不应与各项的 排列次序有关。所以，定义中要求级数绝对收敛。,注释,所以A 的射击技术较B的好.,例:有甲，乙两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？,解 甲射击平均击中环数为,乙射击平均击中环数为,例:某人有10万元现金，想要投资于某项目，余估成功的机会为30%，可得利润8万元，失败的机会为70%，将损失2万元，若存入银行，同期间的利率为5%，问是否作此项投资？,解 设x为投资利润，则,E(X)=80.3-0.72=1(万元),存入银行的利息 105%=0.5（万元）,故应选择投资,例 设随机变量x服从参数为n，p二项分布，其分布律为,（k=0,1,2，）（0p1）,则有,当n=1时 x服从二点分布b（l，p）的数学期望为p,例 泊松分布,设xp（ ），且分布规律为,则有,例 几何分布,设随机变量x的分布律为,则有,例: 设有某种产品投放市场，每件产品投放可能发生三种情况：按定价销售出去，打折销售出去，销售不出去而回收。根据市场分析，这三种情况发生的概率分别为0.6，0.3，0.1。在这三种情况下每件产品的利润分别为10元，0元，15元（即亏损15元）。问厂家对每件产品可期望获利多少？,解: 设X表示一件产品的利润（单位元），X是随机变量，且X的分布律为,依题意，所要求的是X的数学期望,E(X)=100.6+00.3+(-15)0.1=4.5(元),7.1 随机变量的数学期望,2.几种典型的离散型随机变量的数学期望,一、离散型随机变量的数学期望,i. X服从参数为p的(0,1)分布：,ii. 若Xb(n,p),则E(X)=np；,证明：X的分布律为,E(X)=0(1-p)+1p=p；,X,0,1,P,q,p,7.1 随机变量的数学期望,2.几种典型的离散型随机变量的数学期望,一、离散型随机变量的数学期望,iii.若XP()，则E(X)=。 证明：X的分布律为,7.1 随机变量的数学期望,二、连续型随机变量的数学期望,1.定义 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)， 如果 则称 为随机变量X的数学期望，记为E(X).,例:设随机变量X的概率密度函数为,试求X的数学期望,解,例 顾客平均等待时间,设顾客在某银行的窗口等待时间的服务的时间x（以分记）服从指数分布，其概率密度为 试求顾客等待服务的平均 时间？,解,因此顾客平均等待5分钟就可得到服务,7.1 随机变量的数学期望,二、连续型随机变量的数学期望,2.几种典型的连续型随机变量的数学期望,i.若XU(a,b),则 E(X)=(a+b)/2.,证：X的概率密度为,均匀分布结论：均匀分布的数学期望位于区间的中点,7.1 随机变量的数学期望,2.几种典型的连续型随机变量的数学期望,二、连续型随机变量的数学期望,证：X的概率密度为,ii.若X服从参数为的指数分布，则 E(X)=1/ .,7.1 随机变量的数学期望,二、连续型随机变量的数学期望,2.几种典型的连续型随机变量的数学期望,证：X的概率密度为,iii. 正态分布 若XN(,2)，则 E(X)=.,特别地，若XN(0,1)，则E(X)=0.,7.1 随机变量的数学期望,三、随机变量的函数的数学期望,定理 设Y是随机变量X的函数:Y=g(X)(g是连续函数)， (1) X是离散型随机变量，它的分布律为PX=xk=pk ，k=1，2， 若 绝对收敛， 则有,(2) X是连续型随机变量，它的概率密度为f(x)， 若 绝对收敛， 则有,例 先求,则有,例 已知随机变量的分布律如下 求 解,0.2 0.1 0.1 0.3 0.3,-2 -1 0 1 2,0.2 0.1 0.1 0.3 0.3,0.1 0.4 0.5,0 1 4,对相同的值合并，并把对应的概率相加，可得,所以,或,的数学期望。,的分布律为,例：某公司生产的机器其无故障工作时间X有密度函数,公司每出售一台机器可获利1600元,若机器售出后使用1.2万 小时之内出故障,则应予以更换,这时每台亏损1200元;若在1.2 到2万小时之间出故障,则予以维修,由公司负担维修费400元; 在使用2万小时以后出故障,则用户自己负责.求该公司售出每 台机器的平均获利.,解:,设Y表示售出一台机器的获利.则,7.1 随机变量的数学期望,三、随机变量的函数的数学期望,定理:设Z是随机变量X,Y的函数Z=g(X,Y) (g是连续函数).,(1)设二维随机向量(X,Y)的分布律为,(2)设二维随机向量(X,Y)的分布密度为f(x,y),若,若,则,则,例: 设（X,Y）的联合分布律如下，Z=XY，求E(Z).,解,X,Y,1 2 3,0,1,0.1,0.15 0.25,0.25 0.15 0.1,例 设（x，y）的分布规律为,求E(X),E(Y),E(Y/X),解：X的分布规律 得,Y的分布律为 得,由于 于是 得,例：设(X，Y)服从A上的均匀分布,其中A为由x轴，y轴及直线 x+y/2=1围成的平面三角形区域,求E(XY),解：,7.1 随机变量的数学期望,四、数学期望的性质,1.若C是常数,则 E(C)=C.,2.设X,Y是两个随机变量,若E(X),E(Y)存在,则对任意的实数a、b, E(aX+bY)存在,且有 E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y),3.设X,Y是互相独立的随机变量,则有 E(XY)=E(X)E(Y) 性质2、3都可推广到有限个互相独立的随机变量之积 的情况.,例 一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到 达一个车站没有旅客下车就不停车，以x表示停车的次数，求E（x）（设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立） 解： 引入随机变量xi 则 i=1,2，10 由此,7.1 随机变量的数学期望,四、数学期望的性质,性质2 E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y),证明 (1)设离散型随机向量(X,Y)的联合分布列和边缘分布列分别为,PX=xi,Y=yj=pij, i,j=1,2, PX=xi=pi., i=1,2, PY=yj=p.j, j=1,2,则,7.1 随机变量的数学期望,四、数学期望的性质,性质2 E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y),(2)设连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度和边际概率密度分别为f(x,y)和fX(x), fY(y),则,7.1 随机变量的数学期望,四、数学期望的性质,性质3 如X,Y是互相独立,则 E(XY)=E(X)E(Y),证明 (1)设离散型随机向量(X,Y)的联合分布律和边缘分布律分别为,PX=xi,Y=yj=pij, i,j=1,2, PX=xi=pi., i=1,2, PY=yj=p.j, j=1,2,则,7.1 随机变量的数学期望,四、数学期望的性质,性质3 如X,Y是互相独立,则 E(XY)=E(X)E(Y),(2)设连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度和边际概率密度分别为f(x,y)和fX(x), fY(y),则,例：将n个球随机地放入M个盒子中去，设每个球放入各个盒子 是等可能的，求有球盒子数X的期望,解：,记,i=1,2,M,则,P(第i个盒无球),因而,例: 抛掷6颗骰子，X表示出现的点数之和，求E(X).,从而由期望的性质可得,练习,例 你知道自己该交多少保险费吗？根据生命表知，某年龄段保险者里，一年中每个人死亡的概率为0.002，现在有10000个这类人参加保险，若在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金。问每个人一年需交保险费多少元？ 解：设1年中死亡人数为x，则xb（10000,0.002） 被保险人所的赔偿金的期望值应为 若设每人一年需交保险费为a元 由被保险人交的“纯保险费”与他们所能得到的赔偿的期望值相等时 故每人一年应向保险公司交保险费4元。,7.2 方差和标准差,引例 有两批钢筋(每批10根)它们的抗拉强度为：,第一批 110,120,120,125,125,125,130,130,135,140,第二批 90,100,120,125,125,130,135,145,145,145,可以计算出两批数据的平均数都是 126, 但直观上第二 批数据与平均数126有较大的偏离,因此, 欲描述一组数据的分布,单单有中心位置的指标 是不够的,尚需有一个描述相对于中心位置的偏离程度 的指标.,通常可用EX-E(X)2描述相对于期望的偏离,7.2 方差和标准差,一、方差的定义,定义 设X是一个随机变量，若EX-E(X)2存在，则称 EX-E(X)2 为X的方差，记为D(X) ， 即: D(X)=EX-E(X)2 注释： (1)方差是随机变量X与其 “中心”E(X)的偏差平方的平均。它表达了X的取值与其期望值E(X)的偏离程度。若 X 取值较集中，则D(X)较小，反之，若取值较分散，则D(X)较大。 (2)应用上，常用量 ，称为标准差或均方差，记为 (X)= 。,7.2 方差和标准差,二、方差的计算公式,方差实际上是随机变量X的函数g(X)=X-E(X)2的数学期望.于是,(1)对于离散型随机变量X,若 PX=xk=pk,k=1,2, 则,(2)对于连续型随机变量X,若其概率密度为f(x),则,7.2 方差和标准差,二、方差的计算公式,(3) D(X)=E(X2)-E(X)2 证明：D(X)=EX-E(X)2 =E(X2-2XE(X)+E(X)2),=E(X2)-2E(X)E(X)+E(X)2,=E(X2)-E(X)2,7.2 方差和标准差,三、常见分布的方差,1. （0-1）分布的方差,定理：若PX=0=q,PX=1=p,则 D(X)=pq.,证明,X,0,1,P,q,p,7.2 方差和标准差,三、常见分布的方差,2. 二项分布的方差,定理:若随机变量X服从二项分布XB(n,p),则 D(X)=npq.,证明,7.2 方差和标准差,三、常见分布的方差,3. 泊松分布的方差,定理：设随机变量X服从泊松分布XP(),则 D(X)=.,证明,7.2 方差和标准差,三、常见分布的方差,4. 均匀分布的方差,定理:设随机变量X服从均匀分布XU(a,b),则 D(X)=(b-a)2/12.,证明,7.2 方差和标准差,三、常见分布的方差,5. 指数分布的方差,定理:设随机变量X服从参数为 的指数分布,则,证明,7.2 方差和标准差,三、常见分布的方差,6. 正态分布的方差,定理:设随机变量X服从正态分布XN(,2) , 则 D(X)=2,证明,7.2 方差和标准差,常见分布的期望和方差表,7.2 方差和标准差,四、方差的性质,假定以下所遇到的随机变量的方差存在: (1) 设C是常数，则 D(C)=0； (2) 设X是随机变量，a是常数，则D(aX)=a2D(X),从而 D(aX+b)=a2D(X)； (3) 设X，Y是两个相互独立的随机变量，则有 D(XY)=D(X)+D(Y)；,(2) 证: D(aX+b)=E(aX+b)-E(aX+b)2 = E(aX+b)-E(aX)-b2 = EaX-E(aX)2 =Ea(X-E(X)2 =a2EX-E(X)2 =a2D(X),7.2 方差和标准差,由于X，Y相互独立，XE(X)与YE(Y)也相互独立，由数学期望的性质， 2EX-E(X)Y-E(Y)=2EX-E(X)EY-E(Y)=0 于是得 D(X+Y)=D(X)+D(Y).,四、方差的性质,(3)证: D(X+Y)=E(X+Y)-E(X+Y)2 =E(X-E(X)+(Y-E(Y)2 =EX-E(X)2+EY-E(Y)2 +2EX-E(X)Y-E(Y),这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量 之和的情况。,7.2 方差和标准差,四、方差的性质,若,相互独立，,为常数,则,若X ,Y 相互独立,例 设X1,X2,Xn独立同分布，E(X)=,D(X1)=2.,记,若用X1,X2,Xn表示对某物件重量的n次重复测量的误差, 而2为测量误差大小的度量，公式 表明n次 重复测量的平均误差是单次测量误差的1/n，换言之，重 复测量的平均精度比单次测量的精度高.,证明:,证,注,已知 X 的 概率密度函数为,其中 A ,B 是常数，且 E (X ) = 0.5.,求 A ,B. 设 Y = X 2, 求 E (Y ),D (Y ),练习,解 (1),(2),例 设随机变量x具有概率密度 求D（x） 解： 方差D（x）作为分散程度的一个指标，有一个缺陷，即方差的单位是x单位的平方，为单位一致，常用衡量分散程度的另一指标标准差,一般的称 为x的k阶原点矩，称 为x的k阶中心距，其中k为正整数。例如期望E(x)是一阶原点矩，方差D(x)是二阶中心距。 实际应用中，高于4阶的矩很少使用，三阶中心距 主要用来衡量随机变量的分布是否有偏。 四阶中心距 主要用来衡量随机变量的分布在均值附近的陡峭程度如何。 D（x）大，E(x)的代表性差，D（x）值小，E(x)代表性好。,7.3 协方差与相关系数,引 言,对于二维随机向量(X,Y)来说,数学期望E(X)、E(Y)只反映了X与Y各自的平均值,方差只反映了X与Y各自离开均值的偏离程度,它们对X与Y之间相互关系不提供任何信息.,但二维随机向量(X,Y)的概率密度p(x,y)或分布律pij全面地描述了(X,Y)的统计规律,也包含有X与Y之间关系的信息.我们希望有一个数字特征能够在一定程度上反映这种联系.,7.3 协方差与相关系数,一、协方差,定义：设二随机向量(X,Y)的数学期望(E(X),E(Y)存在,若E(X-E(X)(Y-E(Y)存在,则称它为随机变量X与Y的协方差,记为cov(X,Y),即 cov(X,Y)= E(X-E(X)(Y-E(Y),若X，Y为连续型随机变量,(1)用定义求：若X，Y为离散型随机变量,计算,7.3 协方差与相关系数,一、协方差, 协方差有计算公式 Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y),(2)用公式求,证 由协方差的定义及数学期望的性质，得,7.3 协方差与相关系数,一、协方差, 任意两个随机变量X与Y的和的方差 D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y),(2)用公式求,证 由方差公式及协方差的定义，得,例,设（X，Y）有联合分布律,Y,X,0 1,0,1,1/4,1/4,1/3,1/6,7/12,5/12,1/2,1/2,1,求 cov(X，Y）.,解,E（X）=01/2+11/2=1/2,E（Y）=07/12+15/12=5/12,E（XY）=11/6=1/6,cov(X,Y)=E（XY）- E（X）E（Y）,=1/6-5/24,=1/24,例: 设(X，Y)N(1, 2 ,12, 22,)，求cov(X,Y),YN(2,22)，,解: XN(1,12),E(X)=1, D(X)=12；,E(Y)=2, D(X)=22；,令,7.3 协方差与相关系数,一、协方差,(1) Cov(X,Y)= Cov(Y,X)；,(3) Cov(aX+b,cY+d)=acCov(X,Y)，,a,b,c,d为常数；,(2) Cov(X,X)= D(X)；,性质,证 Cov(X,Y)= E(X-E(X)(Y-E(Y) = E(Y-E(Y) (X-E(X) = Cov(Y,X),证 Cov(aX+b,cY+d)=E(aX+b-E(aX+b)(cY+d-E(cY+d) =Ea(X-E(X)c(Y-E(Y) =acEX-E(X)Y-E(Y) =acCov(X,Y),7.3 协方差与相关系数,二、相关系数,定义:设二维随机变量(X,Y)的方差D(X)0,D(Y)0,协方差Cov(X,Y)均存在,则称,为随机变量X与Y的相关系数或标准协方差.,一般地，数学期望为0，方差为1的随机变量的分布称为标准分布，故XY又称为标准协方差。,7.3 协方差与相关系数,二、相关系数,性质,1. |XY|1；,3. |XY|=1， 称之为X与Y完全相关，其充要条件为,存在常数a,b使得PY=aX+b=1.,2. XY=0，称之为X与Y不相关；,意义: |XY|=1当且仅当Y跟X几乎有线性关系。这在一定程度上说明了相关系数的概率意义。XY并不是刻画X，Y之间的“一般”关系，而只是刻画X，Y之间线性相关的程度。,说明： 假设随机变量X，Y的相关系数XY存在，当X与Y相互独时,XY=0,即X与Y不相关，反之若X与Y不相关，X与Y却不一定相互独立。,7.3 协方差与相关系数,二、相关系数,o,X,Y,o,o,o,X,X,X,Y,Y,Y,01,-10, =1, =-1,相关情况示意图,解 X与Y的分布律分别为,例：二维随机变量（X,Y）的联合分布律如下表，求,，,解,例 设(X,Y)服从二元正态分布N(1,2 ,12,22,) ，则,因为 (X,Y) N(1,2 ,12,22,) 且 ，所以,证 (1) 必要性,X N(1,12),Y N(2,22),所以,故X与Y相互独立,证 (2) 充分性,因为X,Y相互独立所以, f(x,y)=f(x)f(y),所以 =0,小结： 结论1：X与Y相互独立 XY=0 X与Y不相关； 反之，XY=0 不能推出X与Y相互独立。 结论2：对任意X与Y，以下结论等价 XY=0 Cov(X,Y)=0 E(XY)=E(X)E(Y) D(X+Y)=D(X)+D(Y)。 结论3：若(X，Y)N(1, 2 ,12, 22,)，则X与Y相互独立 XY=0 X与Y不相关。,7.3 协方差与相关系数,7.3 协方差与相关系数,三、随机变量的矩,定义:设X和Y是随机变量, (1)若E(Xk)(k=1,2,)存在,则称它为X的k阶原点矩,简称k阶矩. (2)若EX-E(X)k (k=1,2,)存在,则称它为X的k阶中心矩.,例如：,期望是一阶原点矩，方差D（X）是二阶中心矩,(3)对正整数k与l，称E(XkYl)为X和Y的k+l阶混合矩； (4)若EX-E(X)kY-E(Y)l存在，称它为X和Y的k+l 阶混合中心矩。,7.3 协方差与相关系数,三、随机变量的矩,协方差的计算公式 性质,7.3 协方差与相关系数,三、随机变量的矩,相关系数的性质 结论 （1）二维正态分布密度函数中，参数 代表了x与y的相关的系数 （2）二维正态随机变量x与y相关系数为零等价于x与y相互独立。,例 设 ，试求x与y的相关系数。 解：由,故 于是,结论 （1）二维正态分布密度函数中，参数 代表了x与y的相关的系数 （2）二维正态随机变量x与y相关系数为零等价于x与y相互独立。,例 已知随机变量x，y分别服从N（1,32）,N(0,42)， 设z=x/3+y/2 （1）求z的数学期望与方差（2）求x与z的相关系数（3）问x与z是否相互独立？为什么？ 解：1）由E（x）=1，D（x）=9，E（y）=0，D（y）=16 得,2） 故 3）由二维正态随机变量相关系数为零和相关独立两者是等价的结论，可知x与z是相互独立的。 注意：1）不相关与相互独立的关系 2）不相关的充要条件：,7.3 协方差与相关系数,三、随机变量的矩,推广 对于n维随机向量(X1,X2,Xn),把向量(X1,X2,Xn)用列向量形式表示并记为X，即X=(X1,X2,Xn)。 定义 设X=(X1,X2,Xn) 为n维随机向量,并记i=E(Xi)，,则称=(1,2,n)为向量X的数字期望或均值，称矩阵,为向量X的协方差矩阵。,7.3 协方差与相关系数,cij=Cov(Xi,Xj)=EXi -E(Xi)Xj -E(Xj ),例: 设(X,Y)N(1,2,12,22,),求X和Y的协方差矩阵.,解,7.4 切比雪夫不等式及大数律,(1) 事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数.,(2) 在实践中人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性.,现象：,7.4 切比雪夫不等式及大数律,一、伯努利大数律,设 X1,X2,是相互独立的随机变量序列,具有相同的数学期望E(Xk)=和方差D(Xk)=2(k=1,2,),则对于任意给定的0,恒有,其中,若上式对任何0成立，则称 依概率收敛于，且可表示为,7.4 切比雪夫不等式及大数律,一、伯努利大数律,例如:,意思是:当,a,而,意思是:,时,Xn落在,内的概率越来越大.,当,7.4 切比雪夫不等式及大数律,切比雪夫(Chebyshev)不等式: 设随机变量X具有数学期望E(X)=,方差D(X)=2 ,则对于任意正数,有,二、切比雪夫(Chebyshev)不等式,7.4 切比雪夫不等式及大数律,证明 (1)设X的概率密度为p(x),则有,(2)设离散型随机变量X的分布律为PX=xk=pk,则有,二、切比雪夫(Chebyshev)不等式,例:在供暖的季节,住房的平均温度为20度,标准差为2度,试估计住房温度与平均温度的偏差的绝对值小于4度的概率的下界.,解,例 设随机变量 相互独立，且有如下分 布律 是否满足切比雪夫定理？ 解：独立性依题意可知，检验是否具有数学期望 说明每一个随机变量都具有数学期望，检验是否具有有限方差 说明离散型随机变量有有限方差,7.4 切比雪夫不等式及大数律,三、切比雪夫(Chebyshev)大数定律,设 X1,X2,是相互独立的随机变量序列,具有数学期望E(Xi) 和方差 D(Xi) i=1,2,.若存在常数 C,使得D(Xi)C(i=1,2,),则对于任意给定的 0, 恒有,证明,7.5 中心极限定理,在一定条件下,许多随机变量的极限分布是正态分布: “若一个随机变量X可以看着许多微小而独立的随机因素作用的总后果,每一种因素的影响都很小,都有不起压倒一切的主导作用,则X一般都可以认为近似地服从正态分布.”,例如对某物的长度进行测量,在测量时有许多随机因素影响测量的结果.如温度和湿度等因素对测量仪器的影响,使测量产生误差X1;测量者观察时视线所产生的误差X2;测量者心理和生理上的变化产生的测量误差X3;显然这些误差是微小的、随机的,而且相互没有影响.测量的总误差是上述各个因素产生的误差之和,即Xi.,7.5 中心极限定理,一般地,在研究许多随机因素产生的总影响时,很多可以归结为研究相互独立的随机变量之和的分布问题,而通常这种和的项数都很大.因此,需要构造一个项数越来越多的随机变量和的序列:,我们关心的是当n时,随机变量和Xi的极限分布是什么?,7.5 中心极限定理,设随机变量X1,X2,Xn是n个相互独立且每个都服从(0-1)分布(PXi=0=1-p,PXi=1=p),现在来求,Yn= X1+X2+Xn,这里每个Xi只能取0，1，,的分布,Yn只能取0，1，n,即Yn服从B（n,p）,7.5 中心极限定理,设X1,X2,Xn同分布，且XiB(1,p