《图可平面图》PPT课件.pptVIP

1,8.7 可平面图 Planar Graphs,2,8.7 可平面图 Planar Graphs,例：,有六个结点的图如上， 试问：能否转变成与其等价的，但没有任何相交线的平面上的图？ 结论：不能,3,8.7 可平面图 Planar Graphs,DEFINITION A graph is called planar(可平面的) if it can be drawn in the plane without any edges crossing. Such a drawing is called a planar representation(平面表示) of the graph,4,例：,8.7 可平面图 Planar Graphs,5,例：,8.7 可平面图 Planar Graphs,6,8.7 可平面图 Planar Graphs,一个图的可平面表示把平面分割成一些面，包括一个无界的面。包围每个面的边界的长度称为面的次数，记为Deg(R)。,7,8.7 可平面图 Planar Graphs,EULERS FORMULA Let G be a connected planar simple graph with e edges and v vertices. Let r be the number of regions in a planar representation of G. Then r=e-v+2.,8,证明：用数学归纳法 归纳基础： 面数r=1，r=e-v+2成立。 面数r=2，G为一多边形，且e=v=3（e=v=4）， 得e-v+2=3-3+2=r成立， 或e-v+2=4-4+2=r成立；,8.7 可平面图 Planar Graphs,9,归纳步骤： 设图G的面为r时，r=e-v+2成立。 证明面数为r=r+1时，等式也成立。 (a)先构成图G，其中点数为v,边数为e,面数为r； (b)在G中，加入一条长度为L的简单通路（L1）,且与G共有二个结点，从而使G变为G；,8.7 可平面图 Planar Graphs,10,(c) e-v+2 =(e+L)-(v+(L-1)+2 =e+L-v-L+1+2 =e-v+2+1 =r+1 =r 定理成立,8.7 可平面图 Planar Graphs,L条边 (L-1)个点,G,11,8.7 可平面图 Planar Graphs,COROLLARY If G is a connected planar simple graph with e edges and v vertices, where v3, then e3v-6。,12,8.7 可平面图 Planar Graphs,证明： G为简单连通平面图 每一面至少用三条或更多条边构成， =所有面的边的总数。 因此边的总数 3r（ 包含重复计算的边）,13,8.7 可平面图 Planar Graphs,一条边是在至多二个面的边界中， 各面的实际总边数一定有3r（ 2e） 即 成立,14,8.7 可平面图 Planar Graphs,由欧拉定理：,15,8.7 可平面图 Planar Graphs,例：证明K5图不是平面图 K5图中，v=5,e=10, 3*5-6=910 K5图不为平面图 思考：证明K3,3不是平面图,16,8.7 可平面图 Planar Graphs,COROLLARY If G is a connected planar simple graph, then G has a vertex of degree not exceeding five. COROLLARY If a connected planar simple graph has e edges and v vertices with v3 and no circuits of length three, then e2v-4.,17,8.7 可平面图 Planar Graphs,Elementary subdivision(初等细分) Removing an edge u, v and adding a new vertex w together with edges u, w and w, v The graphs G1 and G2 are called homeomorphic(同胚) if they can be obtained from the same graph by a sequence of elementary subdivisions.,18,8.7 可平面图 Planar Graphs,例：同胚图,19,8.7 可平面图 Planar Graphs,THEOREM A graph is nonplanar if and only if it contains a subgraph homeomorphic to K3,3 or K5.,20,8.7 可平面图 Planar Graphs,Example: Determin