高考数学第四章三角函数、平面向量与复数第28讲平面向量基本定理及坐标表示练习文.docx

第28讲平面向量基本定理及坐标表示夯实基础【p66】【学习目标】1了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示2会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示平面向量共线的条件【基础检测】1下列关于基底的说法正确的是()平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；基底中的向量可以是零向量；平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的A B C D【解析】零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故错，正确【答案】C2已知向量a(1，1)，b(2，x)，若(ab)(4b2a)，则实数x的值是()A2 B3 C. D2【解析】因为a(1，1)，b(2，x)，所以ab(3，1x)，4b2a(6，4x2)因为(ab)(4b2a)，所以3(4x2)6(1x)0，解得x2.故选D.【答案】D3已知x、y是实数，向量a，b不共线，若(xy1)a(xy)b0，则x_，y_【解析】由已知得【答案】4已知点A(1，0)，B(0，2)，C(1，2)，则平行四边形ABCD的顶点D的坐标为_【解析】设D(x，y)，(1，2)(1x，2y)，D(0，4)【答案】(0，4)【知识要点】1平面向量基本定理如果e1和e2是一个平面内的两个_不共线_向量，那么对于该平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.我们把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj.这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a(x，y)，把a(x，y)叫作向量的坐标表示，|a|叫作向量a的长度(模)3平面向量坐标运算向量的加减法若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_(x1x2，y1y2)_，ab_(x1x2，y1y2)_实数与向量的积若a(x1，y1)，R，则a_(x1，y1)_向量的坐标若起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则_(x2x1，y2y1)_.4.两向量平行的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2y1x20.典 例 剖 析【p66】考点1向量基本定理及应用(1)在下列向量组中，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()Ae1(0，1)，e2(1，6)Be1(1，2)，e2(5，1)Ce1(3，5)，e2(6，10)De1(2，3)，e2【解析】选项A.011，可以作为基底向量选项B.25，可以作为基底向量选项C.3106，可以作为基底向量选项D.2，不可以作为基底向量故选D.【答案】D(2)已知点O是ABC内的一点，AOB150，BOC90，设a，b，c，且|a|2，|b|1，|c|3，试用b和c表示a.【解析】以O为原点，OC，OB所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的坐标系由OA2，AOx120，所以A(2cos 120，2sin 120)，即A(1，)，易求B(0，1)，C(3，0)，设12，即(1，)1(0，1)2(3，0)，解得abc.【小结】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决考点2向量共线的坐标表示及应用(1)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为_【解析】在梯形ABCD中，ABCD，DC2AB，2.设点D的坐标为(x，y)，则(4，2)(x，y)(4x，2y)，(2，1)(1，2)(1，1)，(4x，2y)2(1，1)，即(4x，2y)(2，2)，解得故点D的坐标为(2，4)【答案】(2，4)(2)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB(O为坐标原点)的交点P的坐标为_【解析】法一：由O，P，B三点共线，可设(4，4)，则(44，4)又(2，6)，由与共线，得(44)64(2)0，解得，所以(3，3)，所以点P的坐标为(3，3)法二：设点P(x，y)，则(x，y)，因为(4，4)，且与共线，所以，即xy.又(x4，y)，(2，6)，且与共线，所以(x4)6y(2)0，解得xy3，所以点P的坐标为(3，3)【答案】(3，3)【小结】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便(2)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量考点3平面向量坐标表示与几何问题给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的上运动若xy，其中x，yR，求xy的最大值【解析】以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1，0)，B.设AOC，则C(cos ，sin )，由xy，得所以xcos sin ，ysin ，所以xycos sin 2sin，又，所以当时，xy取得最大值2.【能力提升】(1)已知(1，2)，(a，1)，(b，0)(其中a0，b0，O是坐标原点)，若A、B、C三点共线，则的最小值为_【解析】，因为A、B、C三点共线，所以，即20，所以2ab1，所以4428，当且仅当即时取等号【答案】8(2)设两个向量a(2，2cos2)和b，其中、m、为实数，若a2b，则的取值范围是()A6，1 B4，8 C1，1 D1，6【解析】由a2b，知又cos22sin sin22sin 1(sin 1)22，2cos22sin 2，22m(2m2)2m2，m2.26，1【答案】A方 法 总 结【p67】1向量的坐标表示主要依据平面向量的基本定理，平面向量实数对(x，y)，任何一个平面向量都有唯一的坐标表示，但是每一个坐标所表示的向量却不一定唯一也就是说，向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系，但和起点为原点的向量是一一对应的关系，即实数对(x，y)一一对应,)点A(x，y)2已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时，一定要搞清方向，用对应的终点坐标减去始点坐标本讲易忽略点有二：一是易将向量的终点坐标误认为是向量坐标；二是向量共线的坐标表示易与向量垂直的坐标表示混淆3向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，可以使向量运算完全代数化，把关于向量的代数运算与数量的代数运算联系起来，从而把数与形紧密结合起来，这样很多几何问题，特别像共线、共点等