工程图学学报

20072007 年 工 程 图 学 学 报 2007 2007 第 5 5 期 JOURNAL OF ENGINEERING GRAPHICS No.5 基于共轭包络原理的齿面生成计算机模拟与仿真 唐进元， 蒲太平 （中南大学机电工程学院，湖南 长沙 410083） 摘 要： 以共轭齿面包络原理为理论基础， 布尔运算为方法， 商用三维软件为工具， 进行了齿轮加工制造的计算机模拟与仿真研究。 取磨前滚刀加工圆柱齿轮为对象， 给出了刀 具与齿轮之间相对运动关系v12的计算机实现过程，和在商用软件平台上实现齿面包络生成 原理的方法与步骤。 文中提出的方法无需推导齿轮实体的曲面方程就能够准确、 真实地模拟 制造过程，建立实际的齿轮齿面几何模型，为复杂曲面零件的CAD/CAE建模与分析提供了 新途径。 关 键 词：计算机应用；实体建模；布尔运算；圆柱直齿轮 中图分类号：TP 391 文献标识码：A 文 章 编 号：1003-0158(2007)05-0023-06 The Gear Manufacture Simulation and the Solid Modeling Based on the Gear Generation Principle TANG Jin-yuan, PU Tai-ping ( College of Mechanical and Electrical Engineering, Central South University, Changsha Hunan 410083, China ) Abstract: Based on the gear generation principle, taking the Boolean calculation as the method and using commercial three dimensional software as the tool, the research on modeling gear manufacture processing is carried out. By taking the manufacture of spur-gear using pre-grinding hob as example, using Pro/Engineer to set up accurate three-dimension solid model of cylindrical gear, a new way of getting FEM geometry model of complicated curve surface parts is put up. Because the developed method can model all kinds of cylindrical gear with not having to deduce the equation of involute and transition curve, it lays the foundation for the CAD/CAM modeling, especially for modeling of the parts of complicated curved surface. Key words: computer application; solid modeling; Boolean operation; spur gear 收稿日期：2007-01-18 基金项目：国家重点基础研究发展计划（973 计划）资助项目（2005CB724100） ；国家自然科学基金资助项目（50475139） ；湖南省科技 厅资助项目（05JT1045） ；中南大学大学生创新教育计划资助项目（LB06117） 作者简介：唐进元（1962-） ，男，湖南永州人，教授，主要研究方向为齿轮传动及数字化制造。 许多复杂曲面零件（如各类齿轮、凸轮、蜗 杆及一些轧制零件用的模具等）的制造是基于包 络原理通过切削或磨削工艺实现的，要对这些复 杂曲面零件进行有限元分析或 CAD/CAM 研究， T 24 T 工 程 图 学 学 报 2007 年 必须先知道它们的几何实体模型，现有的方 法118基本上是根据啮合原理先求得复杂曲面 的解析方程，用计算机高级语言（如FORTRAN、 MATLAB等）生成齿廓曲线的数据文件，再利用 有限元软件的接口程序（如ANSYS的APDL等） 读数据文件，最终生成有限元分析所需的三维几 何实体模型。这种方法的前提条件是必须知道零 件的曲面方程，对复杂曲面零件而言，推导出其 曲面的解析方程工作量非常大有时还很困难，如 磨前滚刀，剃前滚刀等加工出来的齿轮齿廓曲线 就是由多段曲线交叉重叠而成的18， 由这些曲线 生成实际的齿廓方程，方法与过程非常复杂，并 且合成后的曲线是分段非线性方程，因此用现有 的建模方法来构建复杂曲面零件的实体模型有 较大的局限性。 文章提出了一种生成复杂曲面零件几何实 体的新方法，其思路是先构建相对简单的刀具实 体模型，以啮合原理为理论基础，布尔运算为方 法，商用三维软件为工具，通过计算机模拟真实 齿轮制造过程，由已有商用软件实现共轭齿面方 程的计算机表达，最后得到所需的复杂曲面零件 几何实体。利用提出的方法，只需知道刀具齿廓 方程和刀具与工件的相对运动就可以精确的构 建出与实际制造相同的齿轮的三维实体模型，无 须推导复杂的齿廓曲面方程，其意义在于用计算 机软件辅助实现了共轭齿面的啮合包络原理与 范成加工模拟与仿真，为基于啮合包络原理的复 杂曲面零件数字化设计与制造的实现提供了一 种有用的研究方法。 1 共轭齿面虚拟制造与仿真原理 1.1 基本原理 包络加工法（也称范成法）是利用一对共轭 曲面互相啮合时其曲面互为包络的原理来进行 切削加工的。对齿轮而言，其包络加工法主要有 插齿、滚齿和展成磨，插齿刀具有齿轮插刀和齿 条插刀，齿条插刀在工作时沿节线方向移动，在 齿坯上包络出渐开线齿廓。滚齿刀的齿廓在水平 工作台面上的投影为一齿条，滚刀转动时该投影 齿条就沿其节线方向移动，在齿坯上包络出渐开 线齿廓，这和齿条插刀的工作原理是一样的，由 曲面啮合原理可知刀具与被加工齿轮工作时满 足如下方程。 P O r(1) r(2) O(1)(t) O(2)(t) (1) (2) 1 2 图 1 两共啮齿面啮合示意图 如图 1 所示，若已知刀具切削面 ( )1 方程 ( ) () 1 , ,u v tr、 ( )1 与被加工齿面 ( )2 的相对位置 关系，则共轭包络齿面 ( )2 方程式可表示为 ( ) () 2 , ,u v tr= ( ) () 1 , ,u v tr+ （1） 其中 为被加工齿面中心到刀具中心的距离， 必须满足啮合方程 ( , , )u v t ()12 0=?n v （2） 上式中为两共轭齿面在接触点处的公法 单位矢量， n ()12 v是两共轭齿面在接触点处的相 对运动速度， ()12 v与两齿面的转速矢 ( )1 、 ( )2 及 ( )1 r、 d dt 有关。 由联立方程（1） 、 （2）可求出齿面 ( )2 的方 程 ( ) () 2 , ,u v tr， 在刀具 ( ) ( 1 , ,u v tr)复杂或两共轭 曲 面 相 对 运 动 关 系 复 杂 时 ， 被 加 工 曲 面 ( ) () 2 , ,u v tr的方程解析表达是非常复杂的。 下面 使用两个实体之间布尔原理，在维持两共轭齿面 满足方程（1） 、 （2）的条件下，由计算机构建出 被加工齿面。 1.2 齿轮切制过程仿真 1.2.1 切制过程仿真的布尔原理 设两个实体为 A 和 B， 根据计算机图形学及 计算几何学的推导，两个实体之间布尔运算的原 理如下 第 5 期 唐进元等：基于共轭包络原理的齿面生成计算机模拟与仿真 25 T T 1 1 AB=AinB+BinA AB=AoutB+BoutA AB=AoutB+(BinA) BA=BoutA+(AinB) I U （3） 式中 AinB和AoutB分别指的是实体A的表面中 处于实体B内和外的部分， (AinB) 1指A的表面在 实体B内的部分的补集，对于平面模型来说， (AinB) 1即是将AinB所有的法矢反向后的结果， 同理可得BoutA，BinA，(BinA) 1。 利用布尔运算的差运算原理，在毛坯零件中 减去刀具零件的位置就可以模拟真实加工过程。 1.2.2 基于布尔运算的齿轮切制过程仿真原理 与方法 齿轮在范成加工过程中，刀具切削刃在齿坯 上切出的“痕迹” ，即刀具迹线。刀具迹线形成 过程的仿真，旨在再现齿坯上刀具迹线逐次形成 的过程，形象的描述刀具齿廓曲线和齿轮齿型的 关系。为此，将坐标系固连在齿坯上，随齿坯按 照齿坯的转动速度一起转动。在此坐标系中，齿 坯“静止不动” ，刀具则按一定的规律作平面运 动，一方面绕齿坯轴线转动，构成刀具的牵连运 动， 同时， 还要作相对于刀具坐标系的直线运动， 刀具的运动是这两种运动的合成。刀具作复合运 动的任一瞬时，都会留下一条“迹线” ，不同瞬 时的刀具迹线的集合则形成“迹线族” ，即刀具 包络线。 机床的切削加工是一个连续的过程，而仿真 只能是给出刀具和工件有限个相对位置。所以必 须将运动关系式离散化，得到有限个相对位置对 应的数据。所谓离散化就是将运动关系式中的一 个变量作为自变量，给出其在加工过程中的一些 取值点，再根据运动关系算出这些取值点上对应 的其它变量值。 已知被加工齿轮模数 m、齿数 z、变位系数 x、齿坯轴线到齿条刀具分度线距离为 l，l=m*z/2 x*m, 齿条刀具以速度 v 沿 x 正向运动， 齿坯则 以角速度 w 转动，由纯滚动的条件可知：w=v/l。 为便于仿真处理，该文采用位置参数，某一时间 t，齿坯转角 a，刀具移动距离 s，有 as/l。现 将 a 为自变量离散化为 n 等分可得aa/n，可 得sa*l。故在齿轮啮合过程中，齿条刀具 即以角增量a 运动， aaa， 又以位移增量 s 运动，sss。 2 基于 Pro/E 软件的齿轮制造仿真 方法 在研究的基础上，总结出了在 Pro/E 软件里 模仿齿条刀具的加工过程，利用软件建模功能来 实现共轭齿面包络加工原理，具体的齿轮切制仿 真步骤为： （1） 先按加工位置建立刀具的曲面参数化 模型和齿轮毛坯实体模型； （2） 用刀具的曲面参数化模型去切齿轮毛 坯实体模型得到第 1 个刀具位置的齿廓； （3） 将刀具曲面绕齿坯轴线旋转a，并 沿刀具节线方向平移s，再去切齿轮毛坯实体 模型得到第 2 个位置的齿廓； （4） 重复上面的步骤，直到切除一个完整 的齿廓； （5） 类似分度运动，将完整的齿廓绕齿坯 轴线阵列，得到整个齿廓。 3 应用实例 下面将以磨前滚刀为例介绍其包络加工模 拟与仿真方法。 3.1 磨前滚刀相关参数介绍 根据 JB/T 7968.1-95 规定，磨前滚刀有、 两种型式的触角，因型触角分析方法与型 类似，故该文取型为研究对象。磨前滚刀参数 见表 2，凸角形状见图 2。 刀具节线 az ha hc hB hA C B A D E az hc* 图 2 磨前滚刀示意图 T 26 T 工 程 图 学 学 报 2007 年 表 1 齿轮参数 齿数 压力角 模数 齿宽 轴孔直径 变位系数 Z1/Z2 m B d0X1/X2 36/36 20o5mm 60mm 15mm X1=-X2 表 2 磨前滚刀参数 m (mm) hC (mm) hB B (mm) hA (mm) Sx0 (mm) ( ) ( ) r1 (mm) 留磨量 (mm) 5 2.819 1.250 0.987 7.442 3.383 11 0.3*m0.2 3.2 参数化刀具和齿坯的构建步骤 （1） 【新建】 “chilun.prt”文件，取消勾 选“使用缺省模板” ， 并选择 “mmns_part_solid” ， 进入零件模块后按步骤 3.1 修改系统精度。选择 【工具】/【参数】根据“表 1” ， “表 2”设置如 下参数： m（模数） 5 z（齿数） 36 B（齿厚） 60 ha （hA） 0.987 hb （hB） B 1.25 hc （hC） 2.819 theta （） 11 alpha （） 20 djrx (刀尖圆角系数) 0.3 hax（齿顶高系数） 1 cx （顶隙系数） 0.25 x (变位系数) 0 设置参数后，可以通过修改参数的方法来更 新模型，实现了相同类型刀具的不同参数加工出 来的齿轮的建模。 （2） 选择【插入】/【拉伸】命令“拉伸” 齿坯， 如图 3 所示， 其直径由关系 “(z+2*hax)*m” 控制。 （3） 选择【插入】/【拉伸】进入“拉伸” 工作面板后， 由图 2 草绘刀具截面， 选择 【工具】 /【关系】建立尺寸关系，如图 4 所示。尺寸关系 的建立是草图尺寸和外部参数联系的桥梁，外部 参数通过关系来控制草图尺寸，当修改外部参数 时，草图尺寸会自动修改。最后所得的参数化刀 具和齿坯如图 5 所示。 图 3 齿轮毛坯模型 图 4 刀具截面图 图 5 参数化刀具和齿坯图 3.3 第 1 个齿廓的创建 利用【复制】 、 【选择性粘贴】等命令对刀具 曲面进行旋转变换（参考轴线为齿坯轴线）和平 移变换（参考方向为刀具节线方向） ，其中旋转 角 度 a 取 0.5 ， 则 平 移 量 s= a*l =0.5/360*2*pi*(m*z/2x*m)，再用【实体化】等 命令对齿轮毛坯进行切齿，反复以上步骤可得第 第 5 期 唐进元等：基于共轭包络原理的齿面生成计算机模拟与仿真 27 T T 1 个齿槽的齿廓如图 6 所示。 图 6 第 1 个齿槽的齿廓 3.4 整个齿轮模型的构建 利用【阵列】命令，以齿坯轴线为“旋转阵 列”的参考轴，可得整个齿轮实体模型如图 7 所 示，齿廓曲线如图 8 所示。 图 7 齿轮实体模型图 图 8 齿廓曲线图 从齿廓曲线局部放大图可以看出，这种方法 构建出来的齿廓曲线是由很多短线连接而成，和 真实加工的齿轮齿廓相同。 4 结 束 语 在分析了共啮包络加工原理的基础上，建立 了刀具切削过程仿真过程的运动模型，利用 Pro/E 软件的强大建模功能构建了圆柱直齿轮的 三维实体模型，能准确、真实地描述整个渐开线 齿轮端面齿廓，为基于啮合原理的复杂曲面零件 的有限元建模提供了参考，特别是为复杂曲面零 件的 CAD/CAE 建模与分析奠定了基础。 参 考 文 献 1 Argyris J, Donno M De, Litvin F L. Computer program in visual basic language for simulation of meshing and contact of gear drives and its application for design of worm gear drive J. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2000, 189(2): 595-612. 2 Bair B W. Computer aided design of elliptical gears J. ASME of Journal Mechanical Design, 2002, 124(4): 787-793. 3 魏延刚, 唐宜胜, 徐 立, 等. 标准磨前滚刀型齿 形及其加工齿轮齿形的研究J. 大连铁道学院学报, 1996, 17(3):57-59. 4 Winter H, Hirt M. The measurement of actual strain at gear teeth, influence of fillet radius on stresses and tooth strength J. ASME Journal of Engineering for Industry, 1974, 96(1): 33-50. 5 Chang S H, Huston R L, Coy J J. A finite element stress analysis of spur gears including fillet radii and rim thickness effects J. ASME Journal of Mechanisms, Transmissions, and Automation in Design, 1983, 105(3): 327-330. 6 Ramamuti V, Vijayendra N H, Sujatha C. Static and dynamic analysis of spur and bevel gears using FEM J. Mech. Mach. 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